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過去のスケジュール ページ
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このページには，「講座のスケジュール」に関する次の情報を載せています：
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２０２３年度 春学期講座
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一覧
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- ※講座IC、MAはオンライン参加可能です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程III
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項目
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- 微分法I
- 微分可能性と基礎定理
- 大域的な可微分関数
- 開区間で微分可能な函数の性質
- 微分の平均値定理
- 逆関数の微分可能性
- Riemann積分と微積分の基本定理
- 定義とDarboxの定理
- Riemann可積分関数の性質
- 連続関数の積分
- 微積分の基本定理
- Lebesgue積分の導入について
以降は、級数、関数列、函数項の級数に続く
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２１、 ２／４、 ２／１８
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＩＢ． 続Cauchy理論
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項目
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- 準備
- Cauchyの積分定理、積分公式
- Cauchy変換とCauchy-Taylorの表現定理
- 正則性の特徴付け
- 若干の応用
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／９、 ３／２３、 ４／６
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
帯球関数
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内容
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雛形は、複素上半平面上の調和解析学である。
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項目
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- 帯球関数の定義と基本的な性質
- クラス1表現
- 帯球関数のFourier変換
- 帯球関数の構成
- Pontrjaginの双対定理
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日付
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日曜日・全６回
１／１４、 １／２８、 ２／１１、 ３／３、 ３／１７、 ３／３１
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＥＤ． Hilbert空間上の線型作用素の基礎理論
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内容
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Hilbert空間、Banach空間等の基本的な知識のある方なら、新規参加可能です。
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項目
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- 最低限の基礎知識
- Hilbert空間上の有界線型作用素の一般論
- コンパクト作用素
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／３、 ３／１７、 ３／３１
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数II
線型空間の帰納極限、テンソル積
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項目
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- 線型空間のテンソル積 一般論
- 線型写像のテンソル積
- テンソル空間の基底
- 多重テンソル積
- 有限次元線型空間のテンソル積
- 線型写像のテンソル積の性質、Kronecker積
- 内積空間のテンソル積
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／１４、 １／２８、 ２／１１
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＡ． Banach＊代数とC*代数の表現II
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内容
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作用素環やC*代数、解析学や幾何学などの、より発展的な問題に取り組むためには表現論の知識は不可欠です。
数学工房の講座に度々形を変えては、表現論に関係するテーマが現れるのはそういう理由です。
今学期は、一般論の核心である正線型形式と巡回表現の関係を取り扱います。
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項目
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- 準備
- Banach＊代数の正線型形式と巡回表現
- Banach＊代数の既約表現の空間と既約表現の存在
- Banach＊代数のC*ノルムと包絡C*代数
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１０、 ３／２４、 ４／７
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． Completely positive map
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内容
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秋学期の作用素空間、作用素系上の完全有界、完全正写像の初等的な理論を受けて、G.N.S表現の一般化である、Stinespringの定理までを取り扱う。
次学期はK理論の概略を予定している。
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項目
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- Schur productから作られる乗法子の完全正写像の特徴付け
- 様々な完全正写像
- StinespringのDilation Theorem
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／２０、 ２／３、 ２／１７
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時間
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１３：３０－１７：３０
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２０２３年度 冬期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナー参加：¥18,000〔オンラインは¥16,000〕です。
- ※1日のみの集中セミナー参加：¥11,000です。
- 「小講義付きオンライン新年会」の参加費は¥3,000です。
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講座名
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代数及び解析特論
Invitation to Fourier analysis on Group I
3つの表現定理が出会うところに
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内容
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〔2023/12/19更新〕 ※オンライン受講可能の講座です。
漸くスケッチがまとまってきました。函数解析で重要な3つの基本的な表現定理があります。
今回のセミナーでは、この3定理が具体的な相で出会うことになります。
可換Banach＊代数のGelfand表現、Riesz-Markov-Kakutaniの定理、Lp空間の双対に関するRieszの表現定理の美しい相互作用を味わってください。
今回のセミナーでは、時間の制約上証明はあまりしません。また構造的なメカニックな定式化もしません。
ご紹介出来るのはほんのとば口だけですが、その豊かさを感じていただければ、と思っています。
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項目
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- 準備
- 可換位相群
- 函数解析からの準備 概念、鍵になる重要な定理、記号
- Haar測度、Lpにおける平行移動の連続性
- Convolution
- 指標群とFourier変換
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日時
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１２月２３日（土） １３：３０－１７：３０、
１月６日（土） １３：３０－１７：３０
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講座名
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小講義付きオンライン新年会
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内容
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〔2024/1/8更新〕 ※オンライン実施。
13:00―14:40：解析演習「3つの典型的な古典的局所コンパクトAbel群」
内容を始めの構想と変更します。丁度、今回の冬期集中セミナーの古典的な例になります。
始めの構想は大きなものになりそうなので、変更させていただきました。
抽象概念がどのように具体化されるのか、問題を理解し解くことを楽しんでいただけたらと思います。
14:40―17:00：「懇談会 数学と私」
数学で何を実現したいのか、などを楽しく語りましょう。乾杯用に好きなお飲み物をご用意ください。
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日時
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１月８日（月・祝） １３：００－１７：００
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２０２３年度 秋学期講座
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一覧
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- ※講座IC、MA、MBはオンライン参加可能です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程II
完備性、連続関数
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項目
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- 数直線の完備性
- 単調増加列、基本的な列
- 区間縮小法、Weierstrass-Bolzanoの定理
- Cauchy完備
- 点列コンパクト
- 連続関数
- 基本的な定義と性質
- 連続関数環
- 関数の極限
- 局所定数関数と区間
- 連続関数の3つの基本定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／１０、 ９／２４、 １０／８
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論
Cauchy理論I
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内容
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Cauchyの積分定理、積分公式は数学の諸定理の中で最も重要で有用な定理の一つである。
応用の豊かさはもとより、数学の諸分野に与えた影響も大きい。今回は局所理論を扱う。
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項目
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- 複素線積分
- Cauchyの積分定理、積分公式
- 正則関数の基本定理
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／４、 １１／１８、 １２／２
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
Unitary表現の繋絡作用素、正定値関数と巡回表現
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項目
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- Gelfand-Raikovの定理
- 繋絡作用素
- 局所コンパクト群上の正定値関数と巡回表現
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／１７、 １０／１、 １０／１５、 １０／２９、 １１／１２、 １１／２６
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＥＤ． 関数解析演習
Hilbert空間の基礎構造
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内容
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ノルム空間、Banach空間、内積空間等の基本的な知識は仮定します。
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項目
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- 内積空間とその双対、Hilbert空間
- 完全正規直交系の存在と特徴づけ
- 内積空間の完備化
- 弱位相
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日付
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隔週日曜日・全３回
１０／２９、 １１／１２、 １１／２６
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数
無限次元線型空間（代数的理論）
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項目
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- 2つの標準空間
- 線型空間の直積、直和
- 線型空間の内部演算、span、独立、従属、基底
- 基底の存在、座標空間、双対とその表現
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／１７、 １０／１、 １０／１５
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＡ． Banach＊代数とC*代数の表現
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内容
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解析の諸分野や局所コンパクト群の表現などへの具体的応用を考えると、
Banach＊代数の表現を先ず考え、それからC*代数の表現を考えた方が好都合である。
Von Neumann代数やBanach＊代数、C*代数の基本事項は既知とする。
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項目
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- 序論
- Banach＊代数の正線型形式
- Banach＊代数の＊表現
- 純粋状態と既約表現
- Banach＊代数の表現と正線型形式
- Banach＊代数における既約表現の存在
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／５、 １１／１９、 １２／３
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． 核型C*代数と完全正写像
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項目
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- 順序線型空間と正写像
- C*代数の行列環の正元
- 作用素空間、作用素系の完全有界写像、完全正写像、完全縮小写像
- 3つのタイプの写像の関係
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／９、 ９／２３、 １０／７
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時間
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１３：３０－１７：３０
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２０２３年度 夏期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナー参加：¥18,000です。
- 1日間の集中セミナー参加：¥11,000です。
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講座名
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多項式空間の構造と正規作用素のスペクトル定理
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内容
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前半は多項式空間のイデアルと分解定理、後半は線型変換の分解、特に正規作用素の分解定理を扱います。
今回は通常講座で示唆したような関数解析的な方法は用いません。このセミナーの内容はJordan標準形の準備にもなります。
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日時
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８月１１日（金・祝） １３：３０－１７：３０、
８月１３日（日） １０：３０－１５：３０（昼食休憩を含む）
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２０２３年度 夏学期講座
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入門・初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- ※一部のセミナーはオンライン参加可能の予定です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程（完全版）
数直線
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レベル
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入門・初級
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内容
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集合論、トポロジー、積分論といった現代数学の基礎的な道具は、数直線を厳密な基礎を与えその上に微積分を建設するという流れの中で得られました。
関数解析の多くの結果や技法は明らかにすでに微積分の段階で現れていますし、作用素環は微積分に現れる諸概念をとらえなおしています。
この講座を通して現代数学を捉え直してみませんか!
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項目
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- 代数的概念
- Weierstrassの完備性公理、上限、下限
- 数列と数列の収束
- 数直線の完備性
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／１４、 ５／２８、 ６／１１
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論IV
初等超越関数
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レベル
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入門・初級
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項目
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- 周期連続関数と周期加群、Eulerの指数関数
- Cos関数、Sin関数
- 複素対数関数
- 冪型関数
- 無限積
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日付
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隔週土曜日・全３回
７／８、 ７／２２、 ８／５
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
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レベル
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中級
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項目
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- Banach＊代数の表現、まとめ
- Gelfand-Raikovの定理
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／２１、 ６／４、 ６／１８、 ７／２、 ７／１６、 ７／３０
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＩＳ． 特別講座
数学理解の技法
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レベル
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初級・中級
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内容
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詳細については、しばらくお待ちください。
※不定期 読切 検討中
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項目
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日付
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時間
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講座名
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ＥＣ． 関数解析の演習I
一般添え字の級数
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レベル
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入門・初級
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項目
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- ネットの収束と一般添え字の級数
- 複素数値一般添え字の級数
- Hilbert空間の完全正規直交系
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／２、 ７／１６、 ７／３０
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数への招待VIII
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レベル
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入門・初級
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項目
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- 正規作用素と展開定理
- スペクトル定理
- 関数算法
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／２１、 ６／４、 ６／１８
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＡ． Von Neumann代数
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レベル
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初級・中級
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項目
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- Banach両側加群、双対両側加群
- C*代数の第2双対のV.N.A構造
- W*代数
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／９、 ７／２３、 ８／６
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． C*代数のテンソル積
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レベル
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中級
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内容
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この講座は、20世紀の作用素環と関連分野の本格的に学ぶために必要な数学的素養を身につけていただくことが目標です。
Murphyの教科書はその点、実に簡潔に良くかけています。
今学期は、まず初めにC*代数のテンソル積におけるspatial normの最小性を片づけます。
そのあとはさらに専門的な題材を扱う素養として核型C*代数の平坦性、核型の各種特徴付けの第1段として、
完全正写像による核型C*環の特徴付けを扱います。完全正写像というのは、正定値関数の一般化で、
正定値関数が正測度と1対1に対応するBochnerによる印象的なFourier変換の基本定理、
確率論の知識をお持ちなら確率分布と特性関数が1対1という有用な基本定理をご存知でしょう。
ちなみに講座ICでは、局所コンパクト群上の正定値関数と巡回表現を扱う予定です。これはもう一つの直接的拡張です。
そして最後に、ホモロジー代数の方法のC*代数への導入をして、この領域の専攻への準備を終える予定です。
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項目
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- Spatialノルムの最小性
- 核型C*代数と完全系列
- Complete positivityと核型C*代数
- Introduction 正定値関数
- M(n A)
- M(n A＊)の順序
- 完全正写像の概念
- 補遺 V.N.Aの正規線型作用素と完全加法性
- Stinespringの定理
- いくつかの結果
- 完全正写像による核型の特徴付け
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／１３、 ５／２７、 ６／１０
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時間
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１３：３０－１７：３０
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２０２２年度 春期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナー参加：¥18,000〔オンラインは¥16,000〕です。
- 1日間の集中セミナー参加：¥11,000です。
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講座名
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凸関数とΓ関数
E.Artinによる初等的理論
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内容
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Γ関数の重要性は、純粋、各応用分野での重要さから、複素関数論の知識を用いずに、学部の微積分の範囲で済ませたい
という要求を解決したのが、E.Artinの1931年に出版した小冊子です。
このレベルの内容を扱うためには、通常は有理型関数の基礎理論と無限積表示の知識が必要です。
それを、対数凸の理論を用いて解決した初等数学の珠玉ともいうべき理論です。現代数学の手法に傾きがちないつもと趣を変えて、
今回はこの理論を手を動かしながらじっくり味わいましょう。学部教養程度の微積分と代数の知識は必要です。
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項目
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- 凸関数と対数凸関数
- 凸関数
- 対数凸関数
- Γ関数
- 基礎理論
- 一意性定理とそのいくつかの帰結
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日時
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５月６日（土） １３：３０－１７：３０、
５月７日（日） １０：３０－１５：３０（昼食休憩を含む）
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２０２２年度 春学期講座
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入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- ※一部のセミナーはオンライン参加可能の予定です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論III
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レベル
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入門・初級
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内容
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〔2023/2/21掲載〕
※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
秋学期に、複素関数論に現れる各種の収束概念を詳しく論じました。今学期は、正規収束が最も基本的な道具です。
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項目
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- 収束べき級数で表示される正則関数
- 初等超越関数
- 複素対数関数
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／１１、 ３／２５、 ４／８
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
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レベル
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中級
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内容
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〔2023/2/21掲載〕
※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
前半で、局所コンパクト空間上のLCS空間値関数値関数の弱積分を導入し、局所コンパクト群の有界Banach表現を、Radon測度のBanach環の表現に拡張しました。
後半は、Gelfand-Raikovの定理です。
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項目
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- Banach表現
- Banach＊代数の表現から局所コンパクト群の表現へ
- Gelfand-Raikovの定理
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日付
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隔週日曜日・全６回
１／２２、 ２／５、 ２／１９、 ３／５、 ３／１９、 ４／２
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時間
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１０：３０－１２：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＡ． 一般位相特論
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レベル
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初級・中級
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項目
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- Urysohnの補題
- Paracompact空間
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／１５、 １／２９、 ２／１２
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＤ． Hahn-Banachの定理の応用
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レベル
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初級
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内容
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〔2023/2/21掲載〕
秋学期は、位相線型空間の基本事項とHahn-Banachの定理の基礎を取り扱いました。
今学期は、LCS上への展開として分離定理とそれを用いた凸集合の特徴付け、
そして応用上きわめて重要なKrein-Milmanの定理です。
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項目
|
- LCSの分離定理と凸集合の位相
- Krein-Milmanの定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／５、 ３／１９、 ４／２
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時間
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１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 複素内積空間I
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レベル
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入門・初級
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２２、 ２／５、 ２／１９
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＡ． Von Neumann代数
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レベル
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中級
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内容
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〔2023/2/21掲載〕
※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
秋学期は、超弱位相、弱位相を導入し、強位相を含めてこの3つの、L(H)のLCS位相の関係を、Dualityを鍵として整理しました。
また任意のVon Neumann代数はpredualを持つことを示しました。
今学期は、測度論でいえば有界収束定理のような役割をするKaplanskyの定理を示します。
その有用さを見るために、Von Neumann代数のカテゴリーの射が、弱連続＊準同型であることを示してみましょう。
後は、C*代数の第2双対の議論で、このBanach空間にC*代数の構造が入ることを言いたい。
時間があればW*代数の概念と、これがVon Neumann代数の完全な特徴付けになることを示します。
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項目
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- Kaplanskyの定理
- Von Neumann代数のカテゴリー
- 補遺
- Banach両側加群
- C*代数の第2双対
- W*代数
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１２、 ３／２６、 ４／９
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． C*代数のテンソル積
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レベル
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中級
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項目
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- Spatialノルムの最小性
- C*代数のテンソル積上のユニタリ
- C*代数のテンソル積上の純粋状態
- Takesakiの定理
- Spatialノルムの最小性
- 核型C*代数再論
- 核型C*代数の短完全系列
- 補遺
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／１４、 １／２８、 ２／１１
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時間
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１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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２０２２年度 冬期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナー参加：¥18,000です。
- 1日間の集中セミナー参加：¥11,000です。
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講座名
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一般位相特論
一様空間入門
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内容
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一様空間の雛形は、位相線型空間と位相群である。そこで、特に今回は一様構造との関係を意識して位相線型空間入門を
取り上げたい。
※集中セミナー日時変更のお知らせ：1月7～8日は山手線工事の影響で外回りは全面運休、
その他の関連する路線も減便等かなり影響を受けるようです。そのため、2日目は当初1月8日を予定していましたが、翌9日に変更します。
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日時
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１２月２５日（日） １３：３０－１７：３０、
１月９日（月・祝） １０：３０－１５：３０（昼食休憩を含む）
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２０２２年度 秋学期講座
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入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔講座について〕
- 諏訪先生の特別講義については、後日改めてお知らせします
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- ※一部のセミナーはオンライン参加可能の予定です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論II
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レベル
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入門・初級
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項目
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- Wirtinger算法と調和関数
- 収束の様相
- 収束冪級数で表示される解析関数
- Möbius変換とcross ratio
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／１２、 １１／２６、 １２／１０
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
続Haar測度・等質空間の測度
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レベル
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中級
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
|
|
項目
|
- Haar測度
- 局所コンパクト群上の有限複素測度のコンボリューション代数
- 局所コンパクト群の有界Banach表現と有限複素測度のBanach＊代数の表現
- Gelfand-Raikovの定理
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／２５、 １０／９、 １０／２３、 １１／６、 １１／２０、 １２／４
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＥＡ． 距離空間II
コンパクト・全有界・完備
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レベル
|
初級・中級
|
|
内容
|
※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
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|
項目
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- 一様連続、一様同相
- 全有界
- Fréchet compact、完備、全有界
- 補遺
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２５、 １０／９、 １０／２３
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＤ． 現代応用解析序論VII
Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの定理
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レベル
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初級
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項目
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- 位相線型空間入門
- Hahn-Banachの定理の2つの表現形式
- Hahn-Banachの定理が応用される3つの型
- Krein-Milmanの定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／６、 １１／２０、 １２／４
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時間
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１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数への招待VI
複素線型空間
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レベル
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入門・初級
|
|
内容
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純代数的な理論は、Cが代数へ閉体であるという事実に由来する性質を除いては既知です。
解析学や幾何学、さらに諸科学への応用を考えるときには、当然実構造がかかわってくるので、
まず初めに、複素線型空間の実線型空間としての構造と、複素線型空間としての性質との相互関係を理解しなければなりません。
例えば、C1級という概念は実構造に属する概念で、それがCauchy-Riemann方程式により結びつくと、
正則性という複素構造に属する概念になるわけです。
次に、実の線型空間が自然に埋め込まれる複素線型空間を研究します。実の対象を複素化する、実際これが複素関数論の起源です。
以上の概略を見たのち、本来の目標である複素内積空間上の線型作用素のクラスを扱います。
抽象線型代数の一般論と有限次元実内積空間とその上の各種作用素の概略についてご存知の方は、この講座は新規参加可能です。
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項目
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- 複素線型代数と実構造
- 複素線型空間の複素構造
- 実ベクトル空間の複素化
- 複素内積空間
- 複素内積
- 複素内積空間上の線型作用素
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／１８、 １０／２、 １０／１６
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
|
ＭＡ． Von Neumann代数
L(H)上の4つの局所凸位相
|
レベル
|
中級
|
|
内容
|
※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
|
|
項目
|
- L(H)弱位相と超弱位相
- 弱位相
- 超弱位相
- 3つの局所凸位相
- Von Neumann代数のpredual、W-＊代数
- Kaplanskyの定理
- 弱位相によるvon Neumann代数の特徴付け
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日付
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日曜日・全３回（変則日程です）
１１／１３、 １１／２７、 １２／１８
|
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時間
|
１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． C*代数のテンソル積
Spatial norm の最小性
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レベル
|
中級
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|
内容
|
※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
|
|
項目
|
- C*代数の無限直和のテンソル積
- 普遍表現のテンソル積とSpatialノルムのステート表現
- C*代数のテンソル積上のステート、＊-自己同型
- C*代数のテンソル積上の純粋状態とTakesakiの定理
- Spatial norm の最小性
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／１７、 １０／１、 １０／１５
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時間
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１３：３０－１７：３０
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２０２２年度 夏期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナー参加：¥18,000です。
- 1日間の集中セミナー参加：¥11,000です。
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講座名
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対称変換の基本定理
基本定理の帰結と展開
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内容
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2次形式の分類、スぺクトル定理、関数算法、Schatten形式と特異値分解などを扱います。
これらの結果は、作用素環の理論の中に自然な拡張を持ちます。
というより本当は、これらの理論は解析学や関数解析の中に現れたのです。それをBourbakiが抽象線型代数の形に焼き直したのです。
その様なことを念頭に置くと一層理解が深まるでしょう。
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日時
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８月２１日（日） １３：００－１７：００、
８月２８日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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２０２２年度 夏学期講座
|
入門・初級
初級
初級・中級
中級
諏訪先生の特別講義【数学の理解のアート シリーズ（各回完結）】
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。なお、諏訪先生の特別講義については、各回¥5,000です。
- ※一部のセミナーはオンライン参加可能の予定です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論
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レベル
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入門・初級
|
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内容
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学部で受けた数学の講義の白眉は複素関数論でした。印象は強烈で、ほとんどノートは取らずに、一言一句聞き漏らすまいと思いました。
家に戻って毎回講義を自分の言葉で復元していきました。
扱われた内容は数直線、複素数平面から始まってCauchyの積分公式の基本的な応用ぐらいまでだったか。
試験は講義最終日で出された2つの課題にこたえることでした。一つはLiouvilleの定理の一般化、もう一つは複素関数論における積分の役割を論ぜよというものでした。
この試験の準備のおかげで、解析におけるトポロジーの役割、局所性と大域性という基本的な概念が理解できました。
複素関数論には現代数学の方法のエッセンスが詰まっています。
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項目
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- 複素微分可能性と正則関数
- 実微分可能性と複素微分可能性、Poincaré-Wirtinger算法
- べき級数
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日付
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隔週土曜日・全３回
７／９、 ７／２３、 ８／６
|
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時間
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１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
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レベル
|
中級
|
|
内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
|
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項目
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- Radon測度・局所凸空間に値をとる測度
- Haar測度
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日付
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隔週日曜日・全６回 の予定でしたが、都合により、次のように講座日程が変更になりました。
５／２２、 （６／５）、 ６／１９、 ６／２６、 ７／３、 ７／１７、 ７／３１
|
|
時間
|
１０：３０－１２：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相V
距離空間
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レベル
|
初級・中級
|
|
内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
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項目
|
- 基本概念
- 距離による位相の記述
- 一様連続性
- 完備・全有界・プレコンパクト
- Baireのカテゴリー定理
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日付
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隔週日曜日・全３回 の予定でしたが、都合により、次のように講座日程が変更になりました。
５／２２、 （６／５）、 ６／１９、 ６／２６
|
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時間
|
１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＤ． 現代応用解析序論VI
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レベル
|
初級
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内容
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※ICはEDと対になっています。
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項目
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- Baireのカテゴリー定理
- 一様有界性原理といくつかの基本定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／３、 ７／１７、 ７／３１
|
|
時間
|
１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数への招待V
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レベル
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入門・初級
|
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内容
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※次学期は、抽象線型代数への招待補遺となります。
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項目
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- 内積空間の作用素I
- 随伴
- 線型写像の構造
- 作用素ノルム
- 内積空間の作用素II
- 対称変換・等長変換・正射影
- 2次形式の最大原理と対称変換の固有値分解・スペクトル定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／１５、 ５／２９、 ６／１２
|
|
時間
|
１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
|
ＭＡ． Von Neumann代数
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レベル
|
中級
|
|
内容
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L(H)上の基礎的な各種局所凸位相を論じる準備です。コンパクト作用素の2つの主要なクラスを詳しく取り扱います。
目標は、コンパクト作用素の空間の双対と全有界線型作用素の空間の双対を定めることです。
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項目
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- Hilbert-Schmidtクラス
- Trace class
- コンパクト作用素空間の双対、L(H)の双対
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／１０、 ７／２４、 ８／７
|
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時間
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１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＢ． C*代数のテンソル積
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レベル
|
中級
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|
項目
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- ＊代数のテンソル積とC*ノルム
- Spatialノルムの最小性
- 核型C*代数の短完全系列
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|
日付
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隔週土曜日・全３回
５／１４、 ５／２８、 ６／１１
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時間
|
１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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Lagrange補間とNewton補間
～桑野先生の講義を後楽園でこう聴いた。
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講：¥5,000、オンライン受講：¥4,000
諏訪先生の数学の理解のアートシリーズの第1弾は、「Lagrange補間とNewton補間～桑野先生の講義を後楽園でこう聴いた。」です。
プロの話をプロがどのように聴いたか。数学を深く理解し、使いこなすためのアートを対話形式で。
〔ご挨拶〕
会報でもご挨拶いたしましたが、桑野先生のご厚意で、数学工房でこれから講義をする機会を得ました。
そして、「数学の理解のアート」という素敵なシリーズ名を考えていただきました。
会員の皆様に対話を通じて数学を理解するこつをお伝えできることを、
そして、それが桑野先生のご講義の理解を深める一助となることを願っています。 諏訪紀幸
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日時
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５月７日（土） １３：３０－１６：００（質疑応答の時間を含む）
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講座名
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環の同型定理を巡って
～環の準同型定理を題材に小中高と続く数学の流れに沿っての旅を楽しむ。
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講：¥5,000、オンライン受講：¥4,000
諏訪先生の数学の理解のアートシリーズの第2弾は、「環の同型定理を巡って～環の準同型定理を題材に小中高と続く数学の流れに沿っての旅を楽しむ。」です。
- 環の準同型定理 源流を求めて
- 線型代数の効用 一つに合わさる流れを眺めながら
- 環の準同型定理の効用 平野に流れ込む川を眺めながら
- 言葉の整理整頓 河口に佇んで
第１節では環の準同型定理を中高生だったらどう理解できるだろうかという話をします。
第２節では中高数学から大学数学への転換点の一例として、体論における線型代数の効用について説明します。
第３節では環の準同型定理に戻って、中高で学んだ数式を集合の言葉で定式化した環論、
その基本定理である環の準同型定理が中高数学ではとても歯が立たない問題を片付けて行く様子を鑑賞します。
第４節は付録で、数学の学びのこつの一つとして言葉の整理整頓の要領についてお話しします。 諏訪紀幸
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日時
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５月２１日（土） １３：３０－１６：００（質疑応答の時間を含む）
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講座名
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EuclidとEulerの対話
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講：¥5,000、オンライン受講：¥4,000
諏訪先生の数学の理解のアートシリーズの第3弾は、「EuclidとEulerの対話」です。
- 完全数
- Ptolemyの定理
- 素数は無限に存在する
今回は「原論」に取材して、時空を越えて交わされた数学の対話についてお話しします。
第1節では、「原論」第9巻の最後に配置された命題36で述べられている完全数に関する命題を取り上げます。
第2節では、「原論」にはありませんが、初等幾何では定番であったPtolemyの定理について述べます。
第3節では、「原論」第9巻命題20「素数は無限に存在する」を取り上げます。
「原論」の証明も見事ですし、Eulerによる証明の発想は素晴らしいの一言に尽きます。
数学の歴史の中でも五指に入る時空を越えた対話だと思います。 諏訪紀幸
|
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日時
|
「６月４日開講」の予定でしたが、都合により、次のように講座日程が変更になりました。
６月１８日（土） １３：３０－１６：００（質疑応答の時間を含む）
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▲目次へもどる
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講座名
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整数と多項式
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講：¥5,000、オンライン受講：¥4,000
諏訪先生の数学の理解のアートシリーズの第4弾は、「整数と多項式」です。
- 群の元の位数
- 代数的元の最小多項式
- 素因数分解の定理
- 因数分解の定理
- 可換代数の視点から～principal ideal domain と unique factorization domain
- 圏論の視点から～generator
第2回では、中高数学の中に剰余環や環の準同型定理の祖形がある、中高生が数式の計算で無意識に実行している作業を言語化する、
そうして感覚をつかみながら環論や体論を学ぶと理解がより深まるのではないか、そんな提言をしました。
さて、小中高では整数について「約数」「倍数」「公約数」「公倍数」「最大公約数」「最小公倍数」「素数」「合成数」「素因数分解」と
多くの言葉を学び、それに関する計算練習を重ねています。
また、中高数学では多項式が現れますが、「多項式の整除」「因数分解」「剰余定理」「因数定理」と多項式の理論の一合目か二合目にまで至ります。
今回は、小中高で学ぶ整数と中高で学ぶ多項式を題材として、分かっているはずの小中高の数学を正確に論述する作法を学びながら、代数学への誘いにと考えています。
さらに、小中高の数学が現代数学にどのように流れ込んでいるのか、その風景が眺められればと思います。 諏訪紀幸
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日時
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「６月１８日開講」の予定でしたが、都合により、次のように講座日程が変更になりました。
７月２日（土） １３：３０－１６：００（質疑応答の時間を含む）
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講座名
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組み合わせを捉えなおす。
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講：¥5,000、オンライン受講：¥4,000
諏訪先生の数学の理解のアートシリーズの第5弾は、「組み合わせを捉えなおす。」です。
今回は中高数学から組合せを取り上げます。教育実習では教職志望の学生を中高の教育現場に送り出しますが、「場合の数」は教えにくい単元であるようです。
それは「場合の数」が公式丸暗記あるいは解法丸暗記の学習法では済ませられない内容であるのが大きな理由だと見ています。
さて、数学工房では集合と写像は必須の言葉ですので，組合せを集合と写像の言葉で捉え直すことは絶好の思考訓練になると思います。
論証軽視の教育ですっかり色褪せた組合せも本来の魅力を見せるに違いありません。 諏訪紀幸
組み合わせは現在では数え上げのアートとして、活発で才気にとんだ現代数学の一分野という印象を持っています。
諏訪先生が、今回も中高の数学に現れる組み合わせがどのように「数え上げのアート」化けるのか、諏訪先生の仕掛けやいかに？お楽しみ！ 桑野
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項目
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- 重複順列
- 順列
- 組合せ
- 重複組合せ
- Stirling数
- Bell数
- 解く喜び～路地裏の散歩を楽しむ
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日時
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「７月２日開講」の予定でしたが、都合により、次のように講座日程が変更になりました。
７月１６日（土） １３：３０－１６：００（質疑応答の時間を含む）
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講座名
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一様収束をめぐって
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講：¥5,000、オンライン受講：¥4,000
今回のシリーズ最終回は、一様収束がテーマです。いうまでもなく、イプシロンデルタによる極限や連続性の記述、
一様収束の理解など将来の技術的素養や感覚を養う上で入門段階の最も重要な稽古です。
アドバンストコースで学ばれている皆さんは、その大切さが身に染みているでしょう。
一様収束をめぐる諏訪先生との対話を楽しみつつ、ご自身の数学の理解のアートを深めてください。 数学工房桑野耕一
〔諏訪先生の今回の序文から抜粋〕
桑野先生には2001年から2017年まで、中央大学理工学部の数学科2年次配当科目「数学特別講義」で毎年ご講義をいただきました。
「数学特別講義」は数学を仕事で活用しておられる6～7人の講師を招き、
それぞれに実地での数学の応用について2回ずつお話しいただくオムニバス形式の科目です。
さて、2017年最後のご講義では函数列の一様収束について取り上げられました。
大学数学の最初の関門がイプシロンデルタ論法ですが、函数列の一様収束はそれに続く微分積分学における難所です。
数学工房でも何度となく取り上げられた題材だと想像しますけれど、級数の収束の定義についてきちんとおさらいしてから、
函数列に対する一様収束の概念が確立されるまでのSeidelやStokesの仕事にふれ、函数列の一様収束の定義や意義について理解を深めようという、
掉尾を飾るに相応しい講義でした。
(中略)
今回は桑野先生のご講義をどのように受け止めたかということでお話しします。
- 院生への手紙 2017年6月8日付
- 院生への手紙 2017年6月15日付
- 実函数列の一様収束について
- 複素函数列の一様収束について
- 冪級数
- Weierstrassのペー函数
- Dirichlet級数
- 読書案内～先人の歩みを辿る
第1節と第2節は桑野先生の講義を聴いた直後に研究室に配属されていた大学院生二人に宛てた手紙です。
この二人には桑野先生の講義に出席するよう勧めました。
学部生には桑野先生の講義の意義は殆ど理解できなかったようですが、大学院生でも学部での学びをどれだけ振り返れたのか心許ないものがありました。
第3節は実函数列の一様収束に関する要論です。実函数の一様収束を取り上げる講義は担当したことはありませんが、
楕円函数やモジュラー函数、ゼータ函数やL函数は学部4年次や大学院の講義で何度か取り上げたことがあります。
第4節から第7節はそこからの要約です。
第8節では、今回の一連の講座の締め括りとして、入手しやすい新書や文庫から紹介、一部引用しながら先人の歩みを辿ります。
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日時
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「７月３０日開講」の予定でしたが、都合により、次のように講座日程が変更になりました。
８月２７日（土） １３：３０－１６：００（質疑応答の時間を含む）
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２０２１年度 春期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナー参加：¥18,000〔オンラインは¥16,000〕です。
- 1日間の集中セミナー参加：¥12,000〔オンラインは¥10,000〕です。
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講座名
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続Duality
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内容
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〔2022/4/20更新〕 冬期集中セミナーでは、Duality序論と題してベクトル空間の双対系の定義からBipolar Theoremまで一通り学びました。
ここから様々な発展があるわけですが、ひとまず、先に進むのは停止して、基本的なDualityの例を練習問題を通してみていきましょう。
いつも申し上げる通り、理解された対象がどのように棲息しているのか、実際の数学の現象の中で見つけなければなりません。
そこまで達しないと、抽象的な数学は理解したとは、言えないのです。
そこで、今回はあまり扱うのに多大な知識や労力を要求しない関数解析や代数、解析からの例を扱います。
ED、G程度の知識は仮定します。幸いにも数学工房の会員の皆さんは、論じられた理論は理解される方は多い、その様な方はもう一段のレベルアップをしてください。
尚この講座はオンライン対応です。
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項目
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- 理論の概略と補遺
- Lp空間の双対性 Radon測度
- 数列空間のDuality
- 多項式空間と形式べき級数
- 整関数と解析的汎関数
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日時
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５月１日（日） １３：３０－１７：３０、
５月３日（火・祝） １０：３０－１５：３０（昼食休憩を含む）
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２０２１年度 春学期講座
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入門・初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＢ． Fourier級数のLp理論II
各クラスのFourier級数の特徴付け
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レベル
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入門・初級
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
１／１６、 １／３０、 ２／１３、 ３／６、 ３／２０、 ４／３
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
局所コンパクト群の表現と群環の表現
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レベル
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中級
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
１／２３、 ２／６、 ２／２０、 ３／１３、 ３／２７、 ４／１０
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相IV
フイルタ、直積位相
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レベル
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入門・初級
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／１６、 １／３０、 ２／１３
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＣ． 多様体概論
Hodge作用素と調和解析入門
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レベル
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初級・中級
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項目
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- 代数的準備
- 調和積分（Hodge理論）
- Laplacianと直交曲線座標系、球面調和関数
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／６、 ３／２０、 ４／３
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＤ． 現代応用解析序論V
Radon-Nikodymの定理、トポロジーと測度
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レベル
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初級・中級
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項目
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- Radon-Nikodymの定理
- 位相空間上のRadon測度
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１３、 ３／２７、 ４／１０
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数への招待IV
内積空間の幾何学
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レベル
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入門・初級
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２３、 ２／６、 ２／２０
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＡ． Von Neumann代数
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レベル
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中級
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項目
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- Hilbert空間上のコンパクト作用素（一般論）
- Schatten表示と展開定理
- Trace Class と Hilbert-Schmidt Class
- L(H)の3つの局所凸位相
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／１２、 ３／２６、 ４／９
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． C*代数のテンソル積
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レベル
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中級
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／１５、 １／２９、 ２／１２
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時間
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１３：３０－１７：３０
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２０２１年度 冬期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
※一部のセミナーはオンライン参加可能の予定です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナーは¥18,000(学割¥15,000)です。
- 1日間の集中セミナーは¥10,000(学割¥8,000)です。
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講座名
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抽象線型代数特論
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内容
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多項式空間とその双対を理解することは、代数、解析はもとより関数解析の各種概念の理解、そして実用的な各種応用数学にも有用です。
多項式空間が有用なモデルとして使えるためには、まず、線型代数としての構造を各種問題の中に見出しよく理解する必要があります。
今回は、興味深い多項式のクラスの性質を線型代数的な方法で探求してみましょう。
会報にも書きましたが、抽象線型代数を理解するということは、様々な領域の数学的現象の背後に線型構造を見出して、線型代数の言葉で対象を記述して、
線型代数の方法を問題解決の道具にできることです。何をどんなふうに？ これは、どうも言うほど簡単ではなさそうです。
そこで、このようなアドヴァンストレベルの勉強法（稽古法）のヒントとして、比較的扱いやすい多項式のクラスの諸現象をテーマに集中セミナーを計画しました。
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日時
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１２月１８日（土） １３：３０－１７：３０、
１２月１９日（日） １０：３０－１５：３０（昼食休憩を含む）
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講座名
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Duality序論
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内容
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位相線型空間における最も深く美しい壮大な理論で、Banach空間の弱位相、汎弱位相等を一般化して、さらに広いクラスの双対性を統合したもので、
主にBourbakiによって整備されました。
現代的な関数解析の最も基本的で強力な道具です。特に作用素環の位相の基礎理論の主要な部分は、ほぼDualityの応用といってよいでしょう。
多分、作用素環を勉強されている多くの方にとって、なじみがなく理解しにくいかもしれません。
そこでごく基礎的な部分に限定して、Dualityの入門講座を準備しました。
その代わり、具体的なDualityの例、例えば、多項式空間と形式べき級数の空間、絶対総和可能な数列の空間と0に収束する数列の空間などを、
演習問題として豊富に用意しました。
必要な予備知識としては理論については、線型代数のごく基礎的な一般論と、多少の、一般位相の始位相あたりまでのごく基本的な知識で十分です。
第1日目は基礎理論、2日目は応用編です。
※オンライン受講可能の講座です〔¥16,000（通しで参加の場合）、¥9,000（1日のみ参加の場合）〕。
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項目
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- 定義と基本的な性質、例
- 極集合、Bipolar Theorem
- 弱閉部分空間のPre-dual
- Von Neumann代数のPre-dual
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日時
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１２月２５日（土） １３：３０－１７：３０、
１月８日（土） １３：３０－１７：３０
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２０２１年度 秋学期講座
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入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＢ． Fourier級数のLp理論
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レベル
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入門・初級
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
９／１２、 ９／２６、 １０／１０、 １０／３１、 １１／１４、 １１／２８
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
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レベル
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中級
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項目
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- Banach＊代数の表現から誘導されるC*表現
- 抽象的Plancherelの定理
- 局所コンパクト群の表現 イントロダクション
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
９／１９、 １０／３、 １０／１７、 １１／７、 １１／２１、 １２／５
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＩＨ． 可換代数
可換環の帰納極限
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レベル
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初級
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／１８、 １０／２、 １０／１６
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時間
|
１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相III
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レベル
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入門・初級
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|
項目
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- 補遺 位相空間の有限直積と始位相
- 連結性
- パラコンパクト
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／１２、 ９／２６、 １０／１０
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＣ． 多様体概論
ベクトル場の発散、Laplacian
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レベル
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初級・中級
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日付
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隔週日曜日・全３回
１０／３１、 １１／１４、 １１／２８
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＤ． 現代応用解析序論IV
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レベル
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初級・中級
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項目
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- Banach空間に関する基本事項
- Lp
- Banach空間の双対についての基本的結果
- Lpの双対
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／７、 １１／２１、 １２／５
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数への招待III
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レベル
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入門・初級
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項目
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- 線型変換と自己同型環
- 射影と直和
- 行列表現
- 最小多項式と固有値
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／１９、 １０／３、 １０／１７
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＡ． Von Neumann代数
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レベル
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中級
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項目
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- Borel functional Calculus
- Von Neumann代数の構造定理
- C*代数の作用とVon Neumann代数
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／６、 １１／２０、 １２／４
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． C*代数のテンソル積
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レベル
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中級
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|
項目
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- UHF代数とAF代数とVon Neumann代数への応用
- C*代数のテンソル積
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／１１、 ９／２５、 １０／９
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時間
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１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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２０２１年度 夏学期講座
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入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔講座について〕
- 今学期の新規開講講座は、IBのみです。
- 一部の講座はオンライン参加可能の予定です。
- 春学期に続いて、当面講座の時間を30分早めます。
すなわち、午前の講座は10:30～12:30、午後の講座は、13:30～17:30となります。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＢ． Fourier級数とFourier変換I
Fourier級数の古典理論と応用
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レベル
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入門・初級
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項目
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- イントロダクション
- 平均収束、Fejérの定理
- Weylの一様分布定理
- 各点収束の基本的な判定
- 歴史覚書
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
５／９、 ５／２３、 ６／６、 ６／２７、 ７／１１、 ７／２５
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
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レベル
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中級
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
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項目
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- 続 Banach＊代数の表現
- 復習
- サイクリック表現と正線型形式
- ピュアステート
- Banach＊代数の包絡C*代数
- 抽象的Plancherelの定理
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
５／１６、 ５／３０、 ６／１３、 ７／４、 ７／１８、 ８／１
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＩＨ． 加群のテンソル積II
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レベル
|
入門・初級
|
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項目
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- 加群の完全系列
- テンソル積と完全系列
- スカラーの添加
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／１５、 ５／２９、 ６／１２
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相II
|
レベル
|
初級
|
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
|
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項目
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- 連続写像
- 連続写像（定義と基本的な性質）
- 開写像・閉写像
- 同相写像（位相同型）
- コンパクト性
- 相対位相
- コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性
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日付
|
隔週日曜日・全３回
５／９、 ５／２３、 ６／６
|
|
時間
|
１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＣ． 多様体上の積分
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レベル
|
初級・中級
|
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項目
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- Stokesの定理
- 写像度
- ベクトル場の発散、Laplacian
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日付
|
隔週日曜日・全３回
６／２７、 ７／１１、 ７／２５
|
|
時間
|
１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＤ． 現代的応用解析序論III
直積測度、Fubiniの定理
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レベル
|
初級
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項目
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- 複素測度
- Lp
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日付
|
隔週日曜日・全３回
７／４、 ７／１８、 ８／１
|
|
時間
|
１３：３０－１７：３０
|
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▲目次へもどる
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講座名
|
Ｇ． 抽象線型代数への招待II
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レベル
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入門・初級
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項目
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- Linear Mapping
- 重ね合わせ原理
- 線型写像の演算
- 線型写像の存在と一意性定理
- 線型写像の核と像
- 線型同型
- 線型形式と双対空間
- 線型空間論からの補遺
- 外部直和と内部直和
- 商線型空間と3つの同型定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／１６、 ５／３０、 ６／１３
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＡ． 続 Von Neumann代数
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レベル
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中級
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
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項目
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- 強稠密定理、Double Commutant Theorem
- Von Neumann代数の定義と例
- Von Neumann代数の基本的な性質
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日付
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隔週土曜日・全３回
６／２６、 ７／１０、 ７／２４
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． C*代数の帰納極限
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レベル
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中級
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
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項目
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- 包絡C*代数
- C*代数の帰納極限
- UFP代数
- AF代数
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／８、 ５／２２、 ６／５
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時間
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１３：３０－１７：３０
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２０２０年度 春学期講座
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入門・初級
初級
初級・中級
中級
懇親会
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〔講座について〕
- 今学期の新規開講講座は、G、EAの2講座です。また、講座MAについては、C*代数の基礎、イデアル、
正線型形式、遺伝的C*部分代数などの知識をお持ちの方は、参加可能です。
- 一部の講座はオンライン参加可能の予定です。
- 〔2021/1/12更新〕緊急事態宣言発令に伴う対策として、当面講座の時間を30分早めます。
すなわち、午前の講座は10:30～12:30、午後の講座は、13:30～17:30となります。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 初等超越関数
級数で与えられる関数
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レベル
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入門・初級
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内容
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本講座は、2019年夏学期講座の数直線の捉え方から始まり、2020年秋学期には実解析関数の基礎理論まで進みました。
先学期の結果を踏まえて、指数関数、対数関数、三角関数、べき乗関数等が体系的に統一的に導入されます。
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項目
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- 定数係数の常微分方程式
- 指数関数、自然対数関数
- 三角関数
- べき乗関数
- 超越関数
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／６、 ３／２０、 ４／３
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
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レベル
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中級
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
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項目
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- 復習
- Banach *代数の*表現
- Banach *代数に付随するC*代数
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
１／１７、 １／３１、 ２／１４、 ３／７、 ３／２１、 ４／４
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時間
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１０：３０－１２：３０
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講座名
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ＩＥ． 線型微分方程式と群論
（歴史を含むまとめ）
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レベル
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初級
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内容
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Gaussの超幾何微分方程式に始まり、特異点の周りの解析接続という決定的なアイデアによって
超幾何微分方程式の大域解としてのRiemannの仕事を出発点に、歴史的な流れに沿った概説です。
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
１／２４、 ２／７、 ２／２１、 ３／１４、 ３／２８、 ４／１１
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時間
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１０：３０－１２：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＨ． 加群のテンソル積
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レベル
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入門・初級
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内容
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〔2021/3/6更新〕 テンソル積は、解析学における多変数関数の積和による近似に起源があると思われる。
変数分離によるFourierの微分方程式の解法はこの考え方を明確に述べている。Taylor多項式による近似、Weierstrassの多項式近似定理などはテンソル積の特別なものである。
多変数関数を、1変数関数の積和で近似しようというわけである。
ここで扱うテンソル積は、そのようなものたちの代数的抽象化であるということを注意しておこう。
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項目
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- 完全性
- 加群のテンソル積
- スカラーの制限と拡大
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／１３、 ３／２７、 ４／１０
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相I
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レベル
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初級・中級
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内容
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道具としての一般位相の体系的な講座です。とりわけ作用素環等の展開を意識した内容です。
会員の熱心なお勧めで、「少しは役立つのかな？」と思い、やることになりました。
基礎から丁寧に積み上げていきますが、論証、集合族や写像族等の扱いにはある程度の習熟を仮定しています。
長丁場にわたる講座になりますので、このテーマによる体系的な講座は、数学工房では最後の講座になります。
一般位相を体系的に学びたい方、まとめておきたい方はこの機会をご利用ください。
※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
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項目
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- 開集合系と位相空間、関連する概念
- 同値な他の基本概念
- 連続写像
- コンパクト性、連結性
- ネット、フィルター
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／７、 ３／２１、 ４／４
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＣ． 微分多様体概論
Riemann多様体上の積分II
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レベル
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初級・中級
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項目
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- 続 微分形式の積分
- Stokesの定理
- 写像度
- ベクトル場の発散、Laplacian
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／１７、 １／３１、 ２／１４
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＥＤ． 現代的応用解析序論II
可測関数の積分
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レベル
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初級
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内容
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可測関数の積分から収束定理までを予定しています。
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項目
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- 可測関数の積分
- 収束定理まで
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１４、 ３／２８、 ４／１１
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時間
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１３：３０－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数への招待
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レベル
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入門・初級
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内容
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次年度から抽象線型代数の最終コースを開講する予定です。その講座の準備コースとして設けました。
基礎からアドバンストコースの応用までを視野に入れたコースは、これが最後になりますので、
この講座は、線型代数の個別の知識以上に、現代数学の理論の読み方、基本的な道具を作り近付く方法を
習得してもらうことが目的です。
当然、基礎からやるとはいえ、通常、入門書にあるような基礎知識はないと肝心な部分をつかみ損ねる恐れがあります。
このコースは、抽象線形代数へ向けての手解きです。
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項目
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- 線型空間の定義と基本的な帰結、例
- Span、独立、従属、基底、次元
- 線型写像の定義と基本的な性質
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／２３、 ２／６、 ２／２０
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＡ． Von Neumann代数入門I
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レベル
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中級
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
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項目
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- 基礎事項の概略
- 位相解析の基礎定理
- Hilbert空間上の有界作用素
- 強作用素位相
- 自己共役作用素環の単調収束定理
- Double commutant Theorem
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／１６、 １／３０、 ２／１３
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． C*代数の基礎
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レベル
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中級
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内容
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※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
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項目
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- 続 C*代数の表現 Liminal、Postliminal C*代数
- C*代数のテンソル積
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２４、 ２／７、 ２／２１
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時間
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１３：３０－１７：３０
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講座名
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オンライン懇親会
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内容
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〔2021/2/6掲載〕 来たる2月11日（木・祝）14:00～16:00に、オンライン懇親会を開催いたします。
今年は、例年様々な形で行っている新年会ができませんでしたので、その代わりです。
設定は会員の江草文子さんにお願いしました。オンラインですので遠方の方も参加しやすいと思いますので、ご参加をお待ちしております。
どんな数学に興味があるのか？ あなたの生活に占める数学の位置？ コロナの逼塞状況下で数学を楽しむ抱負など、数学を愛好する者同士、ざっくばらんに交流しましょう。
会費はありません。お気軽にご参加ください。
※参加ご希望の方は事前に、数学工房までご連絡ください。
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日時
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２月１１日（木・祝） １４：００－１６：００
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２０２０年度 冬期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
※一部のセミナーはオンライン参加可能の予定です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナーは¥18,000(学割¥15,000)です。ただし、「代数学、解析学演習」のセミナーで、
「可換代数編」もしくは「C*代数編」のみ参加する場合は、¥12,000です。
- 1日間の集中セミナーは¥10,000(学割¥8,000)です。
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講座名
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環の行列代数および行列式
代数、解析学演習
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内容
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幾何学や作用素環などを学ぶと、しばしば非可換係数の行列が有用な役割をする場面に出会います。
私自身は普段あまり行列を用いないのですが、作用素環の強収束の取り扱いなどで、作用素係数の行列のなすC*代数の有用性、
特にその見通しのよさに感心することが多いです。
そこでもう少し原理に立ち返り、非可換も含めて行列の理論を演習もかねて扱ってみましょう。
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日時
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１２月２０日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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代数学、解析学演習
「可換代数編」・「C*代数編」
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内容
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可換代数の準同型定理と、プライムスペクトル、Zariski位相そして、C*代数の準同型定理と構造空間、指標空間への拡張を例に、
どうやって理論の見通しを付け、自分の足で様々な結果を見つけるのかを体感しよう！
この講座は可換代数のプライムスペクトルへの入門であると同時に、C*代数の表現論を学ばれている方には、
結果の見通しをどう付けるかの実践講座でもあります。
様々なカテゴリーである同値関係を保存する写像が重要な役割を果たします。この様な、概念の重要さに初めて気づいたのは、
Klein流の複素関数論やHyperfunctionの理論を勉強しているときでした。商空間上のモルフィズムを元の空間のモルフィズムでとらえる簡単な結果ですが、
対象の構造を明晰にとらえる際に役立つ基本原理です。事柄の性質上いたるところにこの結果の反映が現れます。
数学工房の講座では、すでに「数学の基本語彙と文法」や「抽象線型代数」に現れますが、初めて学ぶ際には事柄の重要さには気づかれなかったかもしれません。
今回はC*代数編では、この結果を出発点に、準同型がスペクトル空間（一般指標空間）や原始イデアルの空間にどう持ち上がるかを明確に理解しましょう。
可換代数編は、Atiyahに従い可換代数のプライムスペクトルを紹介します。ちなみにC*代数の原始イデアルの空間は、この理論のC*代数バージョンです。
「可換代数編」あるいは「C*代数編」のみの受講も可能です。
※オンライン受講可能の講座です〔¥16,000（通しで参加の場合）〕。
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日時
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１２月２６日（土） １４：００－１８：００、
１月９日（土） １４：００－１８：００
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講座名
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多様体におけるFrobeniusの定理
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内容
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通常講座では、時間の都合上Frobeniusの定理は省略して、積分可能多様体の理解のみにとどめ、
Riemann多様体上の積分に進みました。集中セミナーの機会を通して、この定理を理解しましょう。
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日時
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１月１０日（日） １３：００－１７：００、
１月１１日（月・祝） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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２０２０年度 秋学期講座
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入門
入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔講座について〕
- 今学期の新規開講講座は、EDの1講座です。中途参加可能な講座は、IE、IH、ECです。
- 一部の講座はオンライン参加可能の予定です。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程
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レベル
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入門・初級
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内容
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Taylor公式と幾つかの応用を丁寧に扱います。次の節は実解析関数の一般論で、古典解析の土台です。
この節での関数の展開とTaylor公式を混同している人が多い、注意すべきところです。
今学期の講座IEはこの節の歴史的にも、理論的にも自然な発展編です。
最後に私たちに最もなじみ深い初等超越関数たちを統一的に扱います。
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項目
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- 剰余付きTaylor公式
- 実解析関数
- 初等超越関数
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／１９、 １０／３、 １０／１７
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
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レベル
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初級・中級
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内容
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今回は、C*代数のカテゴリにおける可換C*代数のGelfandの表現定理と関数算法への応用の復習から入り、
Banach代数の表現の準備、そしてVon Neumann代数に入ります。
この講座では、Von Neumann代数の定義は、講座IBと異なってDouble commutantが自分自身と一致するという、もう一つの定義を採用しました。
Banach *代数の表現論は、結局C*代数の表現に帰着することを理解し、一般化されたPlancherelの定理やBochnerの定理を導きます。
作用素環の知識を違う切り口から深めたい人にはお勧めします。
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項目
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- 可換C*代数のGelfand表現
- Banach *代数の表現
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日付
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土曜日・全３回（変則日程です）
９／２６、 １０／１０、 １０／３１
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＤ． 多変数の微積分と初等線型代数
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レベル
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入門
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項目
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- 対称変換と極値の分類
- 高階微分と剰余付きTaylor公式
- 体積形式の積分I
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／７、 １１／２１、 １２／５
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＥ． 微分方程式概論
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レベル
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入門・初級
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内容
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古典解析の自然な発展であるとともに、群論と結びつき現代数学への道を拓いた深い内容を持つ世界への準備となるでしょう。
この講座は、夏学期からのつづきですが、古典解析と複素関数論の基本的な知識がある人にとっては、新規講座として受講できるようになっています。
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項目
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- 確定特異点型微分方程式まとめ
- Bessel関数
- 超幾何関数
- Fuchs型微分方程式
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
９／２０、 １０／４、 １０／１８、 １１／８、 １１／２２、 １２／６
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＨ． 可換代数概論
加群I
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レベル
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入門
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内容
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現代的な可換代数のイントロダクションです。テンソル積の理論に続きます。
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項目
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- 加群と加群の準同型
- 部分加群と剰余加群
- 直和と直積
- 部分加群の種々の演算
- 有限加群
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
９／１３、 ９／２７、 １０／１１、 １１／１、 １１／１５、 １１／２９
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＣ． 微分多様体概論
Riemann多様体上の積分I
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レベル
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初級
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内容
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まずは、向きの数学定式化から始めます。向きの概念を言い換えると正の体積形式の概念が出てきます。これを基礎にして積分を定義するわけです。
線型代数の奥深さを実感されるでしょう。
最終的には、コンパクト多様体上のLaplacianと調和関数あたりまで扱う予定です。
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項目
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- 多様体上の向きと体積要素
- 微分形式の積分
- Stokesの定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２０、 １０／４、 １０／１８
|
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＤ． 現代的応用解析序論I
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レベル
|
初級
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項目
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- 測度の一般論から
- 実解析学の基礎事項（特にLebesgue積分と微分）
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／１４、 １１／２８、 １２／１２
|
|
時間
|
１４：００－１８：００
|
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＡ． 関数解析概論
正線型形式とGelfand-Naimarkの定理
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レベル
|
初級・中級
|
|
内容
|
※オンライン受講可能の講座です。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
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項目
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- 正線型形式II 正線型形式の特徴付けからA*のJordan分解
- GNS構成法とGelfand-Naimarkの定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／８、 １１／２２、 １２／６
|
|
時間
|
１４：００－１８：００
|
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▲目次へもどる
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講座名
|
ＭＢ． C*代数の表現
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レベル
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中級
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内容
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表現の縮小、拡大とそれに伴って、生じる原始イデアルの空間、一般指標空間の間の関係から始めます。
『講座料』
通常受講
「一括前納」¥32,000（学割¥25,000）、「各回払い」【1回目、2回目】各¥12,000（学割各¥9,000） 【3回目】¥10,000（学割¥9,000）
オンライン受講：
「一括前納」¥25,000、「各回払い」¥9,000
|
|
項目
|
- 表現の拡張と縮小
- Liminal、Postliminal Algebra
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／１３、 ９／２７、 １０／１１
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． Sobolev空間
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レベル
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中級
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項目
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- 高階のSobolevの埋蔵定理
- Fourier変換概略
- Sobolev空間とFourier変換
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／１、 １１／１５、 １１／２９
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時間
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１４：００－１８：００
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２０２０年度 夏学期講座
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入門
入門・初級
初級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程
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レベル
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入門
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項目
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- 連続関数の積分
- 微積分の基本定理
- 高階微分
- Ck級関数のクラス
- 剰余付きTaylorの定理
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日付
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隔週土曜日・全３回
６／１３、 ６／２７、 ７／１１
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群の表現
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レベル
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中級
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内容
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現代的な局所コンパクト群の表現論への入門で、C*代数やVon Neumann代数の本格的な演習講座にもなっています。
Banach代数のスペクトルの基本定理の知識を用いて、自己共役元のスペクトルの性質、位相的ゼロ因子の性質との相互関係から始めます。
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項目
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- 速習Banach代数II
- Banach *代数の表現I
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日付
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土曜日・全３回（変則日程です）
８／１、 ８／１５、 ８／２２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と多変数の微積分
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レベル
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入門
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内容
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微積分学の最も応用上重要な部分の一つです。極値の定性的性質は座標によらぬことの理解は重要で、それが多様体上の解析学のアイデアになるわけです。
微積分の局所化が線型代数の雛形であるということを理解してください。
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項目
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- 2次形式と極値の分類
- 高階導関数のテンソル表示
- 剰余付きTaylor公式
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日付
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隔週日曜日・全３回
８／２、 ８／１６、 ８／３０
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＥ． 微分方程式概論
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レベル
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入門・初級
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項目
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- 周期係数を持つ線型微分方程式
- 解析的微分方程式
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
６／７、 ６／２１、 ７／５、 ７／２６、 ８／９、 ８／２３
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＨ． 可換代数序論
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レベル
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入門・初級
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項目
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- 素イデアル、極大イデアル
- イデアルの演算II
- 多項式代数による各種イデアルの例の検討
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
６／１４、 ６／２８、 ７／１２、 ８／２、 ８／１６、 ８／３０
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＥＣ． 微分多様体概論
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レベル
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初級
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項目
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- Cohomology環
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日付
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隔週日曜日・全３回
６／１４、 ６／２８、 ７／１２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＡ． 関数解析概論
正元、正の線型形式II
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レベル
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中級
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内容
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MBで講義の同時Zoom配信の実験をしてまいりましたが、何とか実用に耐えられそうなので、夏学期はMAに限りオンライン参加者の受講も受け付けます。
ただしリスクがありますので、講座料は若干お安くなっています。トラブルにより講座が中断したりした場合は、後程該当部分のレジュメを送付いたします。
〔必要な素養としては、関数解析とBanach代数の基礎理論（例えば開写像定理やBanach-Alaogluの定理が引用されたとき意味が分かる程度）です〕
今回は遺伝的C*代数から開始する予定でしたが、春学期講座第3回 近似単位の道具としての重要さを踏まえてレジュメの内容の説明から始めます。
例えばC*代数の閉イデアルがC*部分代数になるという重要な事実は近似単位を用いると簡明です。Gelfand-Naimarkの表現定理に続きます。
『講座料』
通常受講
一括前納：¥32,000、各回：¥12,000（1回目、2回目）¥10,000（3回目）
オンライン受講：
一括前納：¥25,000、各回：¥9,000
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項目
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- 遺伝的C*代数
- 正の線型形式
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日付
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土曜日・全３回（変則日程です）
７／４、 ７／２５、 ８／８
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． C*代数の表現論
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レベル
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中級
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項目
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- 原始イデアルと既約表現
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日付
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隔週日曜日・全３回
６／７、 ６／２１、 ７／５
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． Sobolev空間
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レベル
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中級
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内容
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Sobolev空間は、超関数の意味でのm階以下の導関数がp乗可積分であるような関数の作るBanach空間達と
関連する各種の関数のBanach空間との相互関係を積分不等式を通じて調べるわけですが、
ようやく不等式の森から抜け出して関係が明らかになります。
特に応用上重要なのは、適当なSobolev空間で解いた関数方程式の超関数解が埋蔵定理より滑らかな解になる場合です。
RNに限りますが詳しく論じます。最後にFourier変換との関係を見ます。
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項目
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- RNにおける1階のSobolevの埋蔵定理
- RNにおける高階の埋蔵定理
- Sobolev空間とFourier変換
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／２６、 ８／９、 ８／２３
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１９年度 春学期講座
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入門
入門・初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程
微分法I、微積分の基本定理
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レベル
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入門・初級
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内容
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発展的な目で微積分の基礎を見直すことが、この講座の目的です。
現代数学の多くの基礎概念の種子を含んでいます。知っているつもりで、
漫然と学習しなければ得るものは大きいでしょう。
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項目
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- 微分法I
- Riemann積分
- 微積分の基本定理
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日付
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隔週土曜日・全３回
２／２９、 ３／１４、 ［※３／２８］
※代替日として５／９を予定しておりましたがやむを得ず、参加メンバーの了解を得て、レジュメ送付の上メール・Zoomによる質問形式に変更となりました。
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 局所コンパクト群のUnitary表現
（Banach *-代数の表現）
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レベル
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初級・中級
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内容
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群や環、トポロジーについての基礎知識は必要です。講座MAと扱う内容が並行していますが、
この講座は位相群の表現、特に局所コンパクト群の表現を視野に入れた総合的な立場から作られています。
0．Banach代数の基礎 では、単位の添加、近似単位、スペクトル、位相的零因子などを取り扱います。いわゆる証明は控えめにして構造を理解しましょう。
表現論に興味がある人はもとより、Banach代数やC*代数の知識がある人の進んだ立場からの理解の整理にも有用です。ご活用ください。
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項目
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- Banach代数の基礎
- Banach代数、Banach *代数、C*代数
- 単位の添加
- Banach代数の近似単位
- Banach代数のスペクトル、C*代数のスペクトル
- Banach代数の位相的零因子
- 可換C*代数のGelfandの定理
Banach *代数の表現定理に続く
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／１８、 ２／１、 ２／１５
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＤ． 多変数の高階微分と幾つかの基本定理
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レベル
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入門
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内容
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座標フリーの多次元の微分法の基礎です。そこでは実線型代数そして2次形式、テンソル積が本質的な言語であることがわかるでしょう。
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項目
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- 線型代数学からの補充
- 連続微分可能な関数のクラス
- グラージェント、ヘッシアン、ラプラシアンと線型形式
- 高階微分と剰余付きTaylor公式
- 2次形式と極値の分類
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／８、 ３／２２、 ［※４／５］
※代替日として５／１７を予定しておりましたがやむを得ず、参加メンバーの了解を得て、レジュメ送付の上メール・Zoomによる質問形式に変更となりました。
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＥ． 微分方程式概論 変数係数の線型微分方程式再論
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レベル
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入門・初級
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項目
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- resolvent
- resolventと線型変換の指数関数、Jordan標準形
- 周期係数の線型微分方程式
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日付
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隔週日曜日・全６回
１／２６、 ２／９、 ２／２３、 ３／８、 ３／２２、 ［※４／５］
※代替日として５／１７を予定しておりましたがやむを得ず、参加メンバーの了解を得て、レジュメ送付の上メール・Zoomによる質問形式に変更となりました。
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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レベル
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入門
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内容
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項目
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- 代数系と総和記号
- 集合の概念と集合の代数
- 部分集合族
- 写像と写像の基本的性質
- 像と原像の代数
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日付
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開講日は、受講希望者と相談して決定します。
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時間
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講座名
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ＩＨ． 可換代数序論（解析のための代数入門）
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内容
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線型代数続編として、解析学への基本的な道具としての代数講座です。この程度の知識は解析においても自由に使うのです。
幾何や解析のアドヴァンストコース、応用解析に進みたい方には必須です。
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項目
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- 可換環の定義、基本概念、記号
- イデアル、商環
- イデアルの演算
- 零因子、冪零元、単元
- 素イデアル、極大イデアル
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日付
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隔週日曜日・全６回
１／１９、 ２／２、 ２／１６、 ３／１、 ３／１５、 ［※３／２９］
※代替日として５／１０を予定しておりましたがやむを得ず、参加メンバーの了解を得て、レジュメ送付の上メール・Zoomによる質問形式に変更となりました。
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＥＣ． 多様体
外微分とLie微分II 多様体のコホモロジー環
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レベル
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初級・中級
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項目
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- 微分形式の外微分（続）
- テンソル場のLie微分と微分形式
- 多様体上のコホモロジー環
- 微分形式系と積分多様体
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／１９、 ２／２、 ２／１６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＡ． C*代数の正元、正の線型形式
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レベル
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中級
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内容
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お正月セミナーでC*代数の正元と正線型形式の重要性について話しました。
今学期、来学期は核心となるこれらの概念を扱います。Banach代数についてGelfandの表現定理あたりまでの知識は仮定します。
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項目
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- C*代数の正元と正錘
- 作用素と半線型形式から
- 近似単位と準同型
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／７、 ３／２１、 ［※４／４］
※代替日として５／１６を予定しておりましたがやむを得ず、参加メンバーの了解を得て、レジュメ送付の上メール・Zoomによる質問形式に変更となりました。
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． C*代数の表現II
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レベル
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中級
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内容
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1．Transitive Theorem
既約表現の推移性の分析からC*代数の既約表現の位相的性格は代数的な性格で決定してしまうことを示す。
純粋状態から作られるGNS構成は、代数的性格を持つことを示す。
2．C*代数の左イデアル
可換C*代数においては、既約表現全体と極大モジュラーイデアルが全単射に対応していた。
非可換な場合は既約表現と極大モジュラー左イデアルが全単射に対応することを調べる。
3．Primitiveイデアル
可換C*代数では指標空間と極大イデアル空間が全単射に対応していた。それでは純粋状態の空間の対応する自然なイデアルの空間は？
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項目
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- Transitive Theorem
- C*代数の左イデアル
- Primitiveイデアル
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２６、 ２／９、 ２／２３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． Sobolev空間の基礎（続）
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レベル
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中級
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内容
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Sobolev空間はLpの理論の細分化ですが、様々な積分不等式達を制御する哲学とも言えます。
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項目
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- Sobolev空間におけるオペレーション
- n次元Euclid空間におけるSobolevの埋蔵定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１、 ３／１５、 ［※３／２９］
※代替日として５／１０を予定しておりましたがやむを得ず、参加メンバーの了解を得て、レジュメ送付の上メール・Zoomによる質問形式に変更となりました。
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１９年度 冬期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナーは¥18,000(学割¥15,000)です。ただし、「特別講座 多次元空間における積分、曲面上の積分」については、¥20,000です。
- 1月12日開催の「集中セミナー＋懇親会」は、¥5,000です（茶菓代込み）。
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講座名
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高階微分から共変テンソル場へ
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日時
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１２月２１日（土） １４：００－１８：００、
１２月２２日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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多次元空間における凸関数
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日時
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１月１１日（土） １４：００－１８：００、
１月１３日（月・祝） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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Positive Functionalsと積分（抽象の意味をめぐって） ＋懇親会
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内容
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例年は、ゲストや会員にお話をお願いすることが多いのですが、今年は種々の都合で諏訪先生をゲストにお招きして、私自身がお話しさせてもらうことにしました。
最初は、表現論とVon Neumann環の話をするつもりだったのですが、少し専門的過ぎるということで、
趣を変えてC*代数とその上の正の線型形式入門を兼ねて、「良い抽象化」とは何か？ をご一緒に考えましょう。
より進んだ知識のある方は、非可換解析学の建築素材としての、正の線型形式の役割の理解を深めてください。
題して「全てはRiesz-Markov-Kakutaniの定理から始まる。」です。
ところで正の線型形式というのは、順序が定義されたR上の線型空間で正の元を正の値に移す線型形式のことで、積分はまさに正の線型形式です。
当日は参加される皆さんの助っ人として私たちの小旅行に諏訪先生にもご参加いただきます。会員の皆さんとの交流を楽しみにしておられるそうです。
今回は、あくまでもアドヴァンストな解析学への道を理解してもらうための小旅行ですので、難しいことはやりません。お気軽にご参加ください。
また会員同士の交流もお深めください。
※参加費は、¥5,000です（茶菓代込み）。
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日時
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１月１２日（日） １３：００－１５：３０ ※懇親会は、１５：５０－１７：５０
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講座名
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特別講座
多次元空間における積分、曲面上の積分
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内容
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定員に達しませんでしたので、休講いたします。
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日時
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１月２５日（土） １４：００－１８：００、
２月２２日（土） １４：００－１８：００
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２０１９年度 秋学期講座
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入門
入門・初級
初級
初級・中級
中級
集中
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。ただし、「実解析特論 凸関数」は、¥16,000となります。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程II
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レベル
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入門
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項目
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- 絶対収束級数
- 連続関数と連続関数の3つの基本定理
- 微分法
- Riemann積分
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／２１、 １０／５、 １０／１９
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． Unitary表現
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レベル
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初級・中級
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内容
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今回はまず、今までやってきた古典的な枠組みでのUnitary表現の理論を完成させ、より現代的立場からの局所コンパクト群への展望を紹介したい。
コンパクト群の枠組みでは容易にできた、例えば実際に既約表現が存在することを示すことが今までの枠組みではできなくなり、
可換C*代数のGelfand表現やBanach *-代数の表現論などの研究が重要になってきます。無論この分野でもGelfandは活躍しています。
実際Gelfandは、局所コンパクト群の既約表現を作っています。
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項目
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- Unitary表現の分解定理
- Schurの補題と行列要素の直交関係
- Peter-Weylの定理とその帰結
- 現代的観点からの展望 局所コンパクト群の表現へ向けて
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／９、 １１／２３、 １２／７
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＤ． 多変数の微積分と初等線型代数（改訂版）II
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レベル
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入門
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項目
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- 線型代数からの補充
- 体積形式と応用
- 領域上の積分と基礎公式
- 変数変換公式
- いくつかの積分
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日付
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〔2019/10/13更新〕 隔週日曜日・全３回 の予定でしたが、台風により、次のように講座日程が変更になりました。
９／２９、 （１０／１３）、 １０／２７、 １１／４
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
|
ＩＥ． 微分方程式概論
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レベル
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入門・初級
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項目
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- 定数係数の線型方程式
- 線型方程式の変形理論
- 比較定理
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日付
|
〔2019/10/13更新〕 隔週日曜日・全６回 の予定でしたが、台風により、次のように講座日程が変更になりました。
９／２９、 （１０／１３）、 １０／２０、 １０／２７、 １１／１０、 １１／２４、 １２／８
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時間
|
１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法I
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レベル
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入門
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項目
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- 代数系と総和記号
- 集合の概念と集合の代数
- 部分集合族
- 写像と写像の基本的性質
- 像と原像の代数
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日付
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時間
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講座名
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ＥＣ． 多様体概論
テンソル場と微分形式II
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レベル
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初級
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内容
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夏学期では、共変テンソルの代数的理論を詳しく取り扱いました。今学期はC∞級の共変テンソルの理論から始まります。
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項目
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- 共変テンソル場（続）
- ベクトル場上のp次形式とp次共変テンソル場
- 写像によるテンソル場の変形
- 微分形式と外微分作用素
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／１０、 １１／２４、 １２／８
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数（標準形）
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レベル
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初級
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内容
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定員に達しませんでしたので、今学期は休講いたします。
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項目
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日付
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休講
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時間
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講座名
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ＭＡ． 可換C*代数のGelfand表現と関数算法
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レベル
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中級
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項目
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- 可換C*代数のGelfand表現と関数算法
- 連続関数算法
- スペクトル測度
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日付
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〔2019/10/13更新〕 隔週土曜日・全３回 の予定でしたが、台風により、次のように講座日程が変更になりました。
９／２８、 （１０／１２）、 １０／２６、 １１／２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． C*代数の表現論
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レベル
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中級
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内容
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Gelfand-Naimarkの定理（Hilbert空間の標準表現の存在）を既知として、既約表現への分解を問題にします。
pure state を導入しstateの空間の端点として特徴づけられることを示し、pure state全体が既約表現と1対１に対応するという美しい結果を理解します。
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項目
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- 既約表現と状態
- 正値線型形式とサイクリック表現
- 非退化表現の分解
- 既約表現
- 純粋状態
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／３、 １１／１７、 １２／１
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． Sobolev空間II
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レベル
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中級
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項目
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- 弱導関数と滑らかな関数との積
- Wm,pにおけるテスト関数の稠密性
- C∞級のWm,pのWm,pにおける稠密性
- 線分条件を満たす開集合における稠密定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２２、 １０／６、 １０／２０
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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実解析特論
凸関数
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内容
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凸性は言うまでもなく、幾何学的に面白く、美しいだけでなく、解析学の有用な基礎原理です。楽しめるように実1変数に限定しました。
※講座料は、¥16,000となります。
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項目
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- 凸関数の4つの特徴付け
- 凸関数の滑らかさ、実解析的特徴
- 練習問題
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／３、 １１／１７、 １２／１
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時間
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１１：００－１３：００
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２０１９年度 夏期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- いずれの集中セミナーも¥18,000(学割¥15,000)です。
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講座名
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Euclid空間の基本図形の幾何学、凸図形、アフィン平面
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項目
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- 準備
- アフィン平面
- 凸図形
- 総合演習
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日時
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８月３１日（土） １４：００－１８：００、
９月１日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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解析学、線型代数演習 Bernoulli数
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項目
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- Seki-Bernoulli数
- 多項式の微積分について若干の準備
- Bernoulli多項式の発見
- 応用演習
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日時
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９月７日（土） １４：００－１８：００、
９月８日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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行列、線型写像の解析学
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項目
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- ベクトル場の微積分 一般論
- 行列の級数
- 行列値関数の微積分
- 1-パラメータ群
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日時
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９月１４日（土） １４：００－１８：００、
９月１５日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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２０１９年度 夏学期講座
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入門
入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔講座について〕
- 今学期の新規開講講座は、IA、ID、IE、G、MA、MCの6講座です。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。ただし、IFは、一括前納¥30,000です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程I
数直線のとらえ方
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レベル
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入門
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内容
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数直線は、全解析学の最も根源的な建築素材です。古典的な対象の捉え方から、よりソフィスティケートされた立場への移行を意識した教程です。
実数の基礎付けを通して、初期の一般位相の理論は始まりました。関数解析学はその自然な延長上にあります。
一般位相やより進んだ解析学の概念や技術の多くの原型はすでにこの段階で現れてきます。くれぐれも漫然と勉強しないようにしてください。
この講座のもう一つの特徴は、諸結果を、代数語を用いて整理することを意識的にしています。
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項目
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- 実数を特徴づけるWeierstrassの完備性公理
- 数列と数列の収束
- 数直線の完備性
- 級数の基礎理論
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日付
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隔週土曜日・全３回
７／１３、 ７／２７、 ８／１０
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 群の表現
Unitary表現II
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レベル
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初級・中級
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内容
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前回までで、位相群の可測集合に対する作用、関数に対する作用、不変測度について論じました。
今回はコンパクト作用素の基本的な性質から始めて、Peter-Weylの定理を目標にします。
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項目
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- 関数解析からの準備
- Hilbert空間上のコンパクト作用素
- コンパクト群のUnitary表現の分解
- Schurの定理と行列成分の直交関係
- Peter-Weylの定理
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日付
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土曜日・全３回（変則日程です）
５／２５、 ６／１５、 ６／２９
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＤ． 多変数の微積分と初等線型代数（改訂版）I
Euclid空間とその上の線型代数
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レベル
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入門
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内容
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多次元空間の概念は、19世紀の初めに多変数の微積分の直感的な描像としてあらわれ、その後100年かけて解析学の対称が働く場としての抽象空間へと発展したのです。
線型代数はこの幾何学の代数化として20世紀になり発展整備されたのです。
今回の改訂版は、多次元空間の部分を大幅に削って、標準的な線型代数と、多変数の微積分の取り扱いの例を強化しました。
その分独創性が薄れて標準的な教程に近づいたといえます。
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項目
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- 数空間
- 線型代数の基本概念から
- 内積・直交性
- 線型写像
- 線型形式と双対空間
秋学期は、体積形式と行列式 連続ベクトル場 写像の微分法 連続関数の積分に続きます
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日付
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土曜日・全３回（変則日程です）
５／１８、 ６／１、 ６／２２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＥ． 微分方程式概論
存在定理、線型微分方程式
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レベル
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入門・初級
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内容
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微分方程式は、状況に応じ色々な形のものを流れの中で取り上げてきましたが、定数係数の場合を除いて体系的に取り上げたことはありませんでした。
一つは個別の一階二階の微分方程式は、数学工房の会員はよく知っているだろうということでためらいもありました。
そこで自分自身のまとめとして取り上げることにしました。
今述べた理由から、個別の微分方程式の古典的な解法から始める王道をとりませんでした。
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項目
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- 存在定理
- 線型微分方程式
- 定数係数の斉次微分方程式
- 線型微分方程式の一般解
- 特殊解を求めるいくつかの方法
- 古典的な種々の方程式
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
５／２６、 ６／１６、 ６／３０、 ７／１４、 ７／２８、 ８／１１
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法III（特別講座）
同値類、商空間
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レベル
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入門・初級
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内容
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〔2019/7/2更新〕 数学と他の諸芸を区別するのは、対象の扱いの折り目正しさではないでしょうか。
そもそもそういう性格を持っていたのですが、20世紀になると数学語そのものが、文字通りその折り目を表す機能を兼ね備えるようになるのです。
初級以上の教程に進まれる前にI、IIとともに必ず学んでおいて欲しい内容です。本格的に数学を始める前に、漫然ととらえていた数学的対象を
折り目正しくはっきりと捕まえる必要があるのです。
例えば2つのものが等しいとは何か？ それに対する解答が同値関係で与えられますが、概念をはっきりさせることによって
新しい数学的対象を作る普遍的な方法が、見いだされます。
数学工房の教程は大学の前半で学ぶ数学の基本を、単に知識としてだけでなく意識的に数学語の使い方の演習をしながら理解しなおすことを狙いとしています。
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項目
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- 同値関係と集合の分割
- 群構造に整合する同値関係
- 商空間演習
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日付
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隔週土曜日・全２回
７／６、 ７／２０
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時間
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１３：００－１８：００
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講座名
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ＥＣ． 多様体の基礎理論IV
Riemann多様体 テンソルと微分形式
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レベル
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初級・中級
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内容
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多様体上のテンソル場、外微分形式の狙いは、多様体上の高階微分の構造と可積分条件を確立することです。
テンソル場には、共変テンソル場、反変テンソル場、混合テンソル場がありますが、問題の性質上もっぱら共変ベクトル場を扱うことになります。
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項目
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- 一般的なテンソル積
- 代数的なテンソルの理論まとめ
- 多様体上のテンソル場と微分形式
- テンソル場のLie微分と微分形式の外微分
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／１４、 ７／２８、 ８／１１
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 内積空間上の対称作用素のクラスと2次形式
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レベル
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初級
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内容
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今回の内容は、本来関数解析から始まった内容で、のちに線型代数化されたものです。諸領域の応用解析に登場する最も重要な道具です。
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項目
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- 準備
- 双線型形式の表現定理と2次形式
- 2次形式の最大原理と対称変換の固有値
- 正射影と単位の分解
- スペクトル定理とその帰結
- 関数算法
- Schatten展開と特異値、特異ベクトル
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
５／１９、 ６／２、 ６／２３、 ７／７、 ７／２１、 ８／４
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＭＡ． C*代数のGelfandの表現定理と連続関数算法、Borel関数算法 I
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レベル
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中級
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内容
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作用素論や非可換解析の先端へ進むにあたっての、最も強力で基礎的な道具として欠かせない、C*代数の基本概念とGelfandの表現定理、
その応用として連続関数算法、Borel関数算法をとりあげます。
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項目
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- C*代数の概略
- C*代数のGelfandの表現定理
- スペクトル測度
- 連続関数算法
- Borel関数算法
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日付
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日曜日・全３回（変則日程です）
５／１９、 ６／２、 ６／２３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． Von Neumann Algebras V
可換Von Neumann代数と測度空間への表現
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レベル
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中級
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内容
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可分なHilbert空間上の可換Von Neumann代数は、指標空間上にあるRadon測度が定まりその上の本質的に有界な関数たちの作るBanach環へと表現されます。
このことが、C*代数が連続関数環の非可換化でVon Neumann代数が可測関数の非可換化の研究とみなされる理由なのです。
この章が終わると再びC*代数の表現論に戻ります。
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項目
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- 一般位相からの補充
- 可換Von Neumann代数とその標準表現
- C*代数の表現論その2
- 既約表現と純粋状態についてのまとめ
- Kadisonの定理とその帰結
- C*代数の左イデアルと純粋状態
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日付
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日曜日・全３回（変則日程です）
５／２６、 ６／１６、 ６／３０
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＣ． Sobolev空間I
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レベル
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中級
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内容
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〔2019/7/2更新〕 最初の予定より基本事項に留意して、関数空間論の演習としての性格を強調するようにしました。
Banach空間の基礎理論を一通りご存知の方にお勧めです。この理論はきわめて強力な応用を持ちますが、
Banach空間の理論の使い方を実地で学びながら有益な知識を広げてください。
Sobolev空間の理論は、大まかに言って導関数の理論を無限回微分可能な関数のカテゴリーに変えて、
より緩やかな可積分関数のカテゴリーに拡大して扱おうとするものです。
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項目
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- Sobolev空間の定義
- Banach空間としてのSobolev空間
- Sobolev空間の完備性
- Sobolev空間の双対
- Sobolev空間の元の、通常の実解析学的な特徴付け
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／７、 ７／２１、 ８／４
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１８年度 春期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- いずれの講座も、料金は¥18,000(学割¥15,000)です。
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講座名
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代数系と順序
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内容
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乗法的整数論的関数のMöbiusの反転公式はよく知られています。
この公式は、整数論的関数のなす乗法的convolution（Dirichlet積）の正則元の逆をMöbius関数を用いて表示する公式です。
整除するという関係は順序であることに注意すると、接合積は順序に関する和に一般化されたMöbius関数が出現するのです。
抽象的観点の有用性を学んでください。
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日時
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４月２７日（土） １４：００－１８：００、
４月２８日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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複素関数論特論
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内容
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Residue解析あたりまでの関数論の基礎を一応ご存知の方向け、gamma関数やzeta関数、L関数、そこから派生する興味深い和などを材料にした複素関数論演習です。
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日時
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４月２９日（月・祝） １４：００－１８：００、
５月３日（金・祝） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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形式冪級数と3つの変換
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内容
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今年のお年玉講義の中でも取り上げられて、糸数列と差分と定数係数の微分方程式との関係、母関数との関係e.t.c.をより構造的な観点から取り上げます。
写像空間のBorel積と形式冪級数環、Laurent級数環、また、1/zの形式冪級数環の間の関係を俯瞰し１つの演算子法を作ってみましょう。
代数的構造的視点の強力さを味わってください。
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日時
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５月４日（土・祝） １４：００－１８：００、
５月５日（日・祝） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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２０１８年度 春学期講座
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入門
入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。ただし、IFは、一括前納¥30,000です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程
古典的Fourier級数
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レベル
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入門・初級
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項目
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- Introduction
- Fourier級数の基礎概念
- 部分和、Dirichlet核
- 平均収束・Fejérの定理
- 実表現との関係
- Weylの一様分布定理
- 各点収束についての基礎判定法
- Fourier級数の幾何、核関数、完全正規直交件
- 直交多項式のFourier級数
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
１／２０、 ２／３、 ２／１７、 ３／１０、 ３／２４、 ４／７
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＢ． Residue Calculus
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レベル
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入門・初級
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項目
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- Introduction
- 基本的な考え方
- Improper Integral
- 三角関数の定積分
- 数直線上の積分
- 特別なタイプの定積分
- 定積分の計算
- Topic
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２７、 ２／１０、 ２／２４
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 群の表現
Unitary表現
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レベル
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初級
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内容
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今回扱う内容は、主に表現論の基本的な考え方と典型的なものとしてコンパクト群のUnitary表現を理解してもらうことですが、
同時に演習として関数解析の基礎的な原理やHilbert空間とその上の有界作用素、さらにはBanach環やC*代数がどのように使われるかを知るチャンスになるでしょう。
必要なことは、最低限引用をしますが、若干の素養（数学工房の初級程度）は仮定します。
微積分、代数、一般位相の基本事項、測度、関数解析の基本をある程度理解されている方なら参加できます。
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項目
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- Unitary表現の概念と基本問題
- Compact群のUnitary表現
- Hilbert直和
- Unitary表現の直和分解
- Cyclic表現
- Hilbert-Schmidtの定理
- Shurの補題
- 行列成分
- Peter-Weylの定理
- 指標
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／１６、 ３／３０、 ４／１３
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法II
無限の作法
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レベル
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入門
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内容
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無限の相の下で、数学的対象の存在を保証する論理を使う立場から学んでいきます。
集合の濃度についても、あくまでも実際の数学に必要な素養として取り上げています。
基礎論的な問題にさかのぼりたい方は専門書に当たられたら良いでしょう。
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項目
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- （準備）
- Zornの補題
- 選択公理
- 集合の濃度
- 集合の対等
- 集合の濃度
- トピックス
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日付
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全２回
１／１９、 ２／１１
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時間
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１／１９ １３：００－１８：００、
２／１１ １１：００－１７：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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ＥＡ． 一様位相III
関数空間におけるコンパクト
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レベル
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初級
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|
項目
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- Introduction
- 同程度連続性
- 連続関数空間の位相まとめ
- 同程度連続な一様連続写像族の基本定理
- Ascoli-Arzelaの定理
- いくつかの応用
- 一様構造
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／２６、 ２／９、 ２／２３
|
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＣ． 多様体の基礎理論III
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レベル
|
初級
|
|
項目
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- Introduction
- 多元環上の交換子環
- ベクトル場の交換子積
- Lie環
- ベクトル場のLie環
- ベクトル場上の1パラメータ群
- Riemann多様体の無限小運動
- 多様体上のテンソル積
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日付
|
隔週日曜日・全３回
１／２０、 ２／３、 ２／１７
|
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時間
|
１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数（基礎編III）
内積空間の幾何と作用素のクラス、2次形式
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レベル
|
初級
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|
項目
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- 内積空間
- 定義と例
- 内積の基本的な性質
- 内積空間の幾何
- 直交系、正規直交系
- 正射影定理とCauchy-Schwarzの不等式
- 正規直交基底の存在、Gram-Schmidtの直交化、Gram行列
- 一般論 Adjoint、定義と諸性質
- 作用素ノルム
- 対称変換
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
１／２７、 ２／１０、 ２／２４、 ３／１７、 ３／３１、 ４／１４
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＡ． 関数解析概論 Banach環II
Gelfondの定理
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レベル
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初級・中級
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内容
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Banach環的な方法が解析だけでなく、トポロジーや代数でも大きな影響を与えるきっかけになった、Gelfand表現を理解することが今回の中心です。
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項目
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- Maximal Ideal 空間
- Banach環のGelfand表現
- 基本的な例
- Banach *環と正の汎関数
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１０、 ３／２４、 ４／７
|
|
時間
|
１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＢ． Von Neumann Algebras IV
弱位相、σ弱位相、強位相、Kaplanskyの定理
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レベル
|
中級
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|
項目
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- Von Neumann環のPre-dual
- Kaplanskyの定理
- 可換 Von Neumann環
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日付
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土曜日・全３回（変則日程です）
２／２、 ２／１６、 ３／９
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． 「シュワルツ超関数入門」を読むVII
開集合上の超関数
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レベル
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初級・中級
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内容
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教科書142p－162pを予定しています。開集合上の超関数の終わりも見えてきました。続編は超関数の応用としてSobolev空間を考えています。
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項目
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- Schwartzの核定理
- 擬微分作用素
- 超関数の合成積
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１７、 ３／３１、 ４／１４
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１８年度 冬期集中セミナー
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一覧
懇親会：
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナーは¥18,000(学割¥15,000)です。1日の集中セミナーは¥10,000(学割¥8,000)です。
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講座名
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関数解析・作用素論演習
Toeplitz作用素の理論
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内容
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〔2018/12/19更新〕 この演習は関数解析やFourier解析、そしてHilbert空間の作用素についての基本事項を
扱いやすい例で理解することを通して、特に連続な表徴を持つToeplitz作用素の生成するC*代数を紹介する。
この理論は複素関数論、Fourier解析、K理論と深い結びつきがある。（例えば Murphyの教科書第7章、いずれ取り上げる予定）
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項目
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- 準備
- Laurant作用素
- Toeplitz作用素
- 連続なシンボルをもつToeplitz代数
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日時
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１２月２２日（土） １４：００－１８：００、
１２月２３日（日・祝） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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抽象線型代数演習
行列表示、Trace、射影の代数
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内容
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〔2018/12/19更新〕 線型代数演習として次の３つの内容を取り上げます。
(1) 行列表示の理論
(2) Trace
(3) 射影の幾何学的見方と射影の代数
将来の発展に基本的な視野を与えるにもかかわらず、この辺りは意外にちゃんと理解している人は少ない。
演習を通して、これらの概念をしっかり身に着けていただきたい。
例えば関数解析や作用素代数は解析の理論の代数化、幾何学化が方法の根幹にある。
代数的取り扱いと幾何学的直観の基礎はほとんどがこのレベルで養われるのです。
Topicsとして線形変換の空間の双対の標準的な実現を与えた。
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日時
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１２月２４日（月・振休） １４：００－１８：００、
１月１２日（土） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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線型代数・解析学演習
直交多項式系とGauss-Jacobiの近似積分公式
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内容
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直交多項式系は、初学者が近づきやすくかつ内積空間の応用として最も美しく応用豊富な対象の一つです。
線型代数のような抽象論は、具体的な対象にどう使うかという感覚がなければ分かったとは言えません。
どのように線型代数の言葉が使われるのかを吟味しながら，味わいながら演習をしてください。
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項目
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- 再性核とChristoffel-Darbox公式
- 直交多項式の零点分布とGauss-Jacobiの数値積分公式
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日時
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１月５日（土） １４：００－１８：００、
１月６日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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お年玉講義
「数学の楽しみ方～フィボナッチ数列を題材にして」
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内容
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諏訪先生のメッセージ
「フィボナッチ数列を含むルーカス数列は、高校数学で扱われる階差数列の典型的な例です。
ルーカス数列については膨大な研究結果の蓄積があり、専門誌 Fibonacci Quaterly が発刊されている程ですが、
今回はルーカス数列を題材に数学の楽しみ方について、皆さんと対話をしながら考えて行きたいと思います。」
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日時
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１月１３日（日） １３：００－１６：００
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講座名
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新年の懇親会
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内容
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講義に引き続いて懇親会を教室で行います。数学の楽しみの後は、軽食を取りながら会員間の交流をお楽しみください。
当日の会費は懇親会込みで\4,000です。懇親会当日も受け付けますが、人手がありませんのでなるべくお振込みいただくと助かります。
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日時
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１月１３日（日） １６：２０－１８：００
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講座名
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超関数論演習
緩増加超関数のFourier変換からの例題
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内容
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緩増加超関数のFourier変換の理解に資する問題を、基本概念と結果概略の復習後演習する。
問題は1変数の場合に限ることにする。
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日時
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１月１４日（月・祝） １３：００－１８：００
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２０１８年度 秋学期講座
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入門
初級
初級・中級
中級
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〔講座について〕
- 今学期の新規開講講座は、IC、MAの2講座です。その他の講座も、ご希望の方の素養によっては中途からの参加も可能です。ご相談ください。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程
初等超越関数、微分方程式
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レベル
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入門
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内容
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古典解析は、実解析関数の理論とその応用と言ってもよいでしょう。前回の一般論を受けて、今回は初等超越関数と解析的微分方程式を主に取り扱います。
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項目
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- 実解析関数のまとめ
- 初等超越関数
- 定数係数の常微分方程式
- 常微分方程式
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／３０、 １０／１４、 １０／２８、 １１／１１、 １１／２５、 １２／９
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＢ． Residue定理とその応用
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レベル
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入門
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内容
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夏学期は、Global Cauchy理論の概略を論じました。今学期は、Residue理論とその応用の基本を扱います。
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項目
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- Residue理論
- 定義と基本的な性質
- Residue定理
- Residue定理の応用
- 零点と極の数え上げ
- Rouchéの定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２３、 １０／７、 １０／２１
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 位相群の表現
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レベル
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初級
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内容
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表現論の基礎から始めます。線型代数の概念構成の仕方と、一般位相の基礎知識をお持ちの方なら、新規開講講座ですので参加しやすいと思います。
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項目
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- 準備の章
- 位相群の表現
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／３、 １１／１７、 １２／１
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＥＡ． 一様位相II
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レベル
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初級
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内容
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夏学期に、一様位相の基礎的な概念と結果を一通り取り扱いました。
今回は、一様空間の完備化から始め、しばしば実際的にも有用な関数族の相対コンパクトの特徴づけをします。
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項目
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- 完備性と完備化
- 全有界とコンパクト集合
- Baire Category定理
- 同程度連続、同程度一様連続
- 連続写像空間の各種一様位相
- Ascoli-Arzelàの定理
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／２２、 １０／６、 １０／２０
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＥＣ． 多様体の基礎理論II
ベクトル場
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レベル
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初級
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内容
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前回は、接空間、多様体間の可微分写像まで扱いました。今学期は、多様体という現象が生じる場のより詳しい検討です。
次学期はテンソルと外積代数に入る予定です。
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項目
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- 位相からの注意
- ベクトル場と微分作用素
- 1パラメータ群
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日付
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〔2018/10/8更新〕 隔週日曜日・全３回 の予定でしたが、９月３０日の台風により、次のように講座日程が変更になりました。
（９／３０）、 １０／１４、 １０／２８、 １２／８
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数（基礎編II）
線型写像、線型変換
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レベル
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初級
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内容
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線型代数の概念構成の枠組みと諸結果は、初等的な部分だけでも有用であることはよく知られています。
この講座の材料を選ぶにあたって念頭においたのは、抽象線型代数の枠組みが有用な様々な分野、
例えば多様体、表現論、関数解析学、そしていくつかの著しい応用分野です。
ここで学ぶことは、様々な世界に姿を変えて有用な、理解の道具として現れるのを見ることができるでしょう。
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項目
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- 線型写像の一般論
- 線型形式と双対空間
- 直和と商空間
- 線型変換と線型変換の自己準同型環
- 多項式の作用と最小多項式
- 射影変換と内部直和
- 行列表現
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／２３、 １０／７、 １０／２１、 １１／４、 １１／１８、 １２／２
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＭＡ． 関数解析概論 Banach環I
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2018/11/5更新〕 純粋および応用において極めて有用な基礎理論です。初歩から丁寧にやりますので、微積分、線型代数、一般位相、
Banach空間とその双対（特にHahn-Banachの定理の使い方）の基礎的な部分が理解できる方なら参加できます。
いわゆる解析だけでなく表現論の基礎知識としても学んでおかれると宜しいかと思います。
※内容は、関数解析学や表現論の現代的な理論の重要な道具であるBanach環の基本概念と結果を取り上げます。
初めの予告では1回完結になっていましたが、一般論とGelfond表現を中心とした可換Banach環の理論との2回に分けました。
基礎からやりますので 関数解析学や表現論のアドバンストコースを学びたい方にお勧めです。
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項目
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- （準備）
- 定義と基本的な例
- イデアル
- 商代数
- スペクトルとスペクトル半径
- 定義と例
- 基本的な結果
- スペクトル半径
- 部分環のスペクトル
- 単位の添加
可換Banach環に続く
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／１１、 １１／２５、 １２／９
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． Von Neumann Algebras III
弱位相、超弱位相
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レベル
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中級
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内容
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先ず、Hilbert空間のtrace classの作用素のイデアルを調べ、H上の有界線型作用素環がその双対になることを示します。
したがってL(H)上にこの双対に対する弱位相が定義されます。この局所凸位相を超弱位相といいます。
しかもこの事実は、von Neumann代数の重要な特徴付け：V.N.AはあるBanach空間の双対であること
を示唆します。
今学期は3つのTVS位相の関係論じた後、この結果が必要であることを示します。逆は我々の段階では取り上げられない。
これはSakaiの結果である。
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項目
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- Hilbert空間上のtrace classとtrace classの双対としてのL(H)
- L(H)の弱位相と超弱位相
- Von Neumann代数の弱位相による特徴づけ
- Pre-dualによるvon Neumann代数の特徴づけ
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日付
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隔週土曜日・全３回
１０／１３、 １０／２７、 １１／１０
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． 「シュワルツ超関数入門」を読むVI
Schwartz超関数の構造
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レベル
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初級・中級
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内容
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今学期は、超関数の局所性と貼り合わせから始めます。超関数が正に解析的対象であることが示されるわけです。
それを用いると超関数の局所構造がきまります。
後半は超関数の列、級数についての基本的な性質および超関数のテンソル積です。
※テキスト：シュワルツ超関数入門（垣田高夫著、日本評論社）（111p-140p）
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項目
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- 超関数の局所構造
- １の分解と貼り合わせ
- コンパクト台を持つ超関数の特徴づけ
- 構造定理
- コンパクト台を持つ超関数の表現定理
- 超関数の列の収束
- 超関数のテンソル積
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／４、 １１／１８、 １２／２
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１８年度 夏期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 「数学の基本語彙と文法I」は通常講座（IF）扱いのため、¥30,000です。それ以外の2日間の集中セミナーは¥18,000(学割¥15,000)です。1日の集中セミナーは¥10,000(学割¥8,000)です。
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講座名
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数学の基本語彙と文法I
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内容
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集合族、写像の自由な使いこなしの基礎を与えます。
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項目
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- 数学的帰納法と総和
- 集合のブール代数と集合族、直積の取り扱い
- 写像、像と原像、集合族の像、原像
- 写像の代数
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日時
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８月２５日（土） １３：００－１７：００、
８月２６日（日） １１：００－１７：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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Bochner積分
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内容
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積分論のBanach値関数への自然な拡張です。例えば作用素の積分はどうなるでしょう。
関数がある加算条件を満たすとき、弱積分により通常の可測関数の積分に帰着します。
Hahn-Banachの定理と簡単な応用辺りまでのBanach空間と双対についての知識、
双対の単位球の弱コンパクト性辺りまでの知識と測度のごく基本的な知識は仮定します。
Banach空間の基礎的な知識の使い方と、Lebesgueの微積分の基本定理辺りまでの可測関数の積分のまとめ直しに最適です。
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項目
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- Banach値可測関数とBochner積分
- 弱可測性とBochner積分
- Bochner可測関数のBanach空間
- Rn上のBochner積分
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日時
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９月１日（土） １４：００－１８：００、
９月２日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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超関数演習
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内容
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最初の予定を若干変更して、補充として、通常の講座では扱いきれなかった各種の公式等を、1変数の場合に限り演習として導出しましょう。
問題の選択にあたっては、L. Schwartz著「物理数学の方法」を参照しました。
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項目
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- 主値で定まる超関数
- 超関数の微分
- 関数の乗法
- 超関数の収束
- 超関数の原始関数
- 基礎方程式の基本解
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日時
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９月８日（土） １４：００－１８：００、
９月９日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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層の理論入門
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内容
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詳細については、しばらくお待ちください。
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項目
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- Abel群のSheaves
- Abel群のpre Sheaves
- 完全 pre Sheaves
- 正則関数のpre Shief
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日時
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９月１５日（土） １４：００－１８：００、
９月１６日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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線型代数の様々な応用
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内容
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線型代数の機能を実際の状況に如何に読み取るのか？ 解析、幾何、数論などから典型的で興味深い応用例を取り上げます。
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項目
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- ラングとGram行列の有用さ
- odd townのクラブ
- 同じサイズの交わり
- 奇数距離
- 与えられた正整数の組がEuclid距離として実現する条件
- Stirling数とNewton基底
- 第2種スターリング数
- 第1種スターリング数
- 美しい諸公式
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日時
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９月１７日（月・祝） １３：００－１８：００
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２０１８年度 夏学期講座
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入門
入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程
冪級数、Taylor公式と応用
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レベル
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入門
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項目
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- Ck級関数のクラス
- 関数項の級数
- 冪級数と実解析関数
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／２０、 ６／３、 ６／１７、 ７／１、 ７／１５、 ７／２９
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論の基礎
大域Cauchy理論
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レベル
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入門
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項目
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- 複素対数関数、正則対数関数
- Index関数、Cauchy理論の主定理
- 閉曲線に関する指数
- 大域Cauchy理論の主定理
- 道の代数化、ホモロジー
- Residue理論
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／２０、 ６／３、 ６／１７
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＣ． 群と表現I
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レベル
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入門・初級
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内容
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ごく基本的な事項、概念から丁寧に学んで行きます。この講座は
位相群に続き、コンパクト群の表現が目標です。
言うまでもなく、代数系、幾何学、解析学が織りなす壮麗な世界です。
群の作用やCoset空間の幾何学的な丁寧な扱いがこの講座の特徴です。
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項目
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- 群と群準同型
- 群の作用、軌道空間
- Coset空間と商群
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日付
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隔週土曜日・全３回
７／７、 ７／２１、 ８／４
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＡ． 一様位相
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レベル
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初級
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内容
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一様空間は擬距離の族で定義される位相空間で、局所凸空間を含みます。関数解析では最も自然に出現するものです。
ここでは完備性、全有界、等連続などの役割が自然に一般化されます。
この機会に関数解析の一般論や各論にしばしば現れ、しかも理解しにくいこれらの基礎概念と帰結を整理する機会にご活用ください。
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項目
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- 擬距離空間と一様位相
- 完備性
- 全有界とコンパクト
- Baire空間
- 同程度連続
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日付
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〔2018/8/1更新〕 隔週土曜日・全３回 の予定でしたが、７月２８日の台風により、次のように講座日程が変更になりました。
６／３０、 ７／１４、 （７／２８）、 ８／１９
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時間
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〔2018/8/1更新〕 １４：００－１８：００ （ただし、８／１９は１３：００－１７：００）
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講座名
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ＥＣ． 多様体の基礎理論I
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レベル
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初級
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項目
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- 可微分多様体の概念
- 多様体間の可微分写像、関数
- 接空間と自然基底
- 関数、写像の微分と部分多様体
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／２７、 ６／１０、 ６／２４
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数（基礎編I）
線型空間と基礎モデル
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レベル
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初級
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項目
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- 線型空間の公理とその直接の帰結
- 線型部分空間
- 線型独立・従属、基底、次元
- 基礎モデル
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／２７、 ６／１０、 ６／２４、 ７／８、 ７／２２、 ８／５
|
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＡ． 関数解析概論 Duality
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レベル
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初級・中級
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内容
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多くの自然な関数や超関数の空間は局所凸空間の構造を持ちます。この枠組みで解析を十分に行うためには
双対空間の位相の知識が必要不可欠です。
Dual systemと弱位相を中心に体系的に基本事項を押さえていきます。
この講座の性格上Dualityの深い結果までは扱えませんが、極集合の一般論と関連して、基本的な一様収束位相は取り上げるつもりです。
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項目
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- Dual system
- Dualityより定まる弱位相
- 極集合とℭ位相
- 極集合
- ℭ位相
- 等連続性の特徴付け
- Bipolar Theorem
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／８、 ７／２２、 ８／５
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＢ． Von Neumann Algebras II
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レベル
|
中級
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項目
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- von Neumann代数の構造と正射影
- Introduction
- von Neumann代数の構造
- C*代数の作用とvon Neumann代数
- 幾つかの応用
- 弱位相、超弱位相
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／２６、 ６／９、 ６／２３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． 「シュワルツ超関数入門」を読むV
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レベル
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中級
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内容
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Schwartz超関数を通して、解析に現れる各種関数のクラス、測度、種々の汎関数などの世界の統一的な眺めを楽しみにしてください。
今学期はテキスト87p-111pです。2章とは基本的な部分は独立なので、関数解析の素養のある方なら中途参加可能です。
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項目
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- 超関数の定義と構造
- 開集合上の超関数
- Radon測度
- 位数有限の超関数
- 超関数の局所構造
- 貼り合わせ原理
- コンパクト台を持つ超関数
- 超関数の局所構造
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／１、 ７／１５、 ７／２９
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１７年度 春期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- いずれの講座も、料金は¥18,000(学割¥15,000)です。
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講座名
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超関数のコンボルーション代数とLaplace変換
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内容
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2017年秋学期から開講している、緩増加超関数のFourier変換の補充です。集中セミナーでは1変数に限って考察します。
通常講座のIEでは緩増加超関数と急減少超関数の接合積まで扱ったので、興味深い応用として
正の実軸上に台を持つ超関数全体のconvolution代数とLaplace変換を取り上げます。演算子法の超関数の立場からの一般化です。
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日時
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４月２８日（土） １４：００－１８：００、
４月２９日（日・祝） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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Gram行列と曲面上の積分
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内容
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多次元空間の理論はそもそも、多変数の微積分の展開される場として現れ発展したものです。幾何学的線型代数と言っても良いと思います。
さてGram行列式は、幾何学的にはn次元Euclid空間の上の平行多面体の張る線型空間の内積から作られるノルムの平方になります。
このノルムは平行多面体の体積に相当します。この内積に関する正規直交基底への展開がLagrange恒等式と呼ばれるものです。
今回は、曲面上の積分のアイデアをGram行列の幾何学を楽しみながら明らかにします。多様体上のRiemann計量の定義の意味が明らかになるでしょう。
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日時
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４月３０日（月・振休） １４：００－１８：００、
５月３日（木・祝） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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講座名
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Abel群とその指標空間、L関数
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内容
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Abel群の一般論の基本事項を簡単に押さえて、指標群の性質を追求します。ただし今回は位相群は取り上げません。
トピックスとして有限Abel群を丁寧に扱います。有限群の表現に関係する美しい公式の導出を楽しみましょう。
応用としてZ/mZの指標から作られるL関数について少しだけ触れます。
基礎的な理論の骨組みは、線型空間と双対についてちゃんとわかっていれば容易に推察されると思います。
尚、関連する講座として2018年度通常講座では多様体の理論のシリーズの中で、位相群、Lie環を取り上げる予定です。
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日時
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５月５日（土・祝） １４：００－１８：００、
５月６日（日） １１：００－１６：００（昼食休憩を含む）
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２０１７年度 春学期講座
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入門
入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。ただし、IFは、一括前納¥30,000です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程
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レベル
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入門・初級
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内容
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〔2018/2/5更新〕 閉区間上の有界関数のRiemann積分の定義から始めて、
基本的な性質を導く最も重要な可積分関数のクラスとして、連続関数のクラスを導入し微積分の基本定理を示します。
この定理により微積分は代数化され、古典解析の大発展の礎になりました。
微分と積分という2大道具がそろったところで関数列、関数項の級数、各点収束と一様収束と基本的な2つの関数の作るBanach代数を導入します。
はじめに予定していた剰余付Taylor公式は、冪級数の理論とともに集中セミナーに回すことにします。
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項目
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- Riemann積分
- 可積分の概念と基本的な性質
- 微積分の基本定理
- 収束のモード
- 関数列の各点収束、一様収束
- 連続関数環、C1級関数の環
- 高階導関数と基本的な関数空間
- 高階微分と基礎的な性質
- Ck級関数、Bk級関数の作る函数環
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
１／２８、 ２／１１、 ３／４、 ３／１８、 ４／１、 ４／１５
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論
Meromorphic functions
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レベル
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入門・初級
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内容
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〔2018/2/5更新〕 複素関数論のCauchy理論の帰結として現れる古典的基礎理論で
応用上も必須の部分です。続編として大域的Cauchy理論を予定しています。
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項目
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- 孤立特異点
- 除去可能な特異点と極
- 本質的特異点
- 有理型関数の代数
- 有理型関数の級数
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２１、 ２／４、 ２／１８
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 線型代数演習
座標系と図形の表現
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レベル
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入門
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内容
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座標系と初等幾何の表現を材料に、今学期も感覚を磨きましょう。
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／１７、 ３／３１、 ４／１４
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＤ． 微積分と初等線型代数
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レベル
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入門
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内容
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〔2018/2/5更新〕 多変数の微分法を座標フリーの方法で扱います。線型代数の基礎的な理論を振り返りつつ停留値の分類まで
の基本的理解まで進みます。途中でなぜテンソル場が入ってくるかの理由も明らかになると思います。
多変数の解析学に本格的に進む前に基本的なアイデアをつかみましょう。この講座の内容は多様体の理解にも役に立つはずです。
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項目
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- C1級関数のクラスとグラージェント
- C2級関数のクラスとHessian、Laplacian
- Ck級関数のクラスとテンソル表現
- 剰余付Taylor公式
- 停留値の分類
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日付
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土曜日・全３回（変則日程です）
１／２７、 ２／１０、 ３／３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＥ． Fourier解析
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レベル
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初級・中級
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内容
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緩増加超関数のFourier変換の基礎的な部分です。1変数の制限から、超関数同士のテンソル積や接合積は取り扱いません。
続編は、集中セミナーでPaley-Wiener-Schwartzの定理をはじめとする重要なトピックスを取り上げる予定です。
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項目
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- 緩増加超関数、構造定理
- 緩増加超関数と急減少関数の接合積
- 緩増加超関数のFourier変換
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
１／２１、 ２／４、 ２／１８、 ３／１１、 ３／２５、 ４／８
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法III
同値類と商空間
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レベル
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入門
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内容
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与えられたカテゴリーの基本的対象から直積空間や商空間を作り、自然な準同型から構造を入れて新しい対象を作るというのは現代数学の最も普遍的な道具です。
同値関係と商の基本的な仕組みを丁寧に学んでいきます。この機会に現代数学の最も強力な道具の一つを身に着けてください。
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項目
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- 同値関係と集合の分割
- 群構造に整合する同値関係
- 群の作用と軌道空間
- 商空間演習
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日付
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全２回
３／１０、 ３／２１
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時間
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３／１０ １４：００－１８：００、
３／２１ １１：００－１７：００（昼休みを含む）
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講座名
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ＥＡ． 一般位相（基礎編） その3
位相の構造
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レベル
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初級
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内容
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〔2018/2/5更新〕 位相が用いられる発展的な局面では
様々な位相を誘導したり、比較したりすることが起きてきます。
あるいは同時に異なる位相を使い分ける等の技術が有用な役割をしばしば果たすのです。そのような展開のための基礎素養です。
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項目
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- 位相の構造I
- 開集合の基底、近傍の基底
- 第1可算公理・第2可算公理、可分
- 完備性・全有界 再論
- 直積位相
- 位相の構造II
- 位相の強弱
- 位相の束
- 誘導位相
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／２０、 ２／３、 ２／１７
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＡ． 関数解析概論
Banach空間の弱位相
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レベル
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初級・中級
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内容
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ノルム位相と並んで、最も基本的で理論にも応用にも有用な位相に弱位相があります。
函数解析の理論に深入りすると多くの重要な場面で弱位相の有用性に出会うことになります。
例えば、Banach空間の双対の単位球が弱位相で閉ということが、Banach空間やBanach環の表現定理に根拠を与えます。
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項目
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- 弱位相
- 汎弱位相
- 凸集合上の弱位相
- 弱位相の距離付け可能性
- 弱位相と反射性
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１１、 ３／２５、 ４／８
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． Von Neumann Algebras I
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レベル
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中級
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内容
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Von Neumann代数とは、L(H)の強閉*部分代数のことです。秋学期にC*表現における重要性は御理解いただけたと思います。
Von Neumann代数は射影と相性が良く、例えば表現の像の構造の理解に有用な
commutantがvon Neumann代数であるということを用いました。
C*表現のIIに入るとさらにvon Neumann代数の性質が本質的な役割を果たします。そこで、ここで予定を変えて
春学期はvon Neumann代数Iを学ぶことにしましょう。
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項目
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- C*代数上の行列環
- L(H)の強位相と射影代数
- Von Neumann代数
- Von Neumann代数の遺伝的C*部分代数とコンパクト作用素の特徴付け
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日付
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日曜日・全３回（変則日程です）
１／２８、 ２／１１、 ３／４
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． 「シュワルツ超関数入門」を読むIV
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レベル
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中級
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内容
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今学期は、緩増加超関数のFourier変換の理論の中心部分です（テキスト70p-86p）。
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項目
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- 緩増加超関数と急減少関数のconvolution
- 緩増加超関数の台
- Paley-Wiener-Schwartzの定理
- 部分Fourier変換
- 乗法作用素
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１８、 ４／１、 ４／１５
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１７年度 冬期集中セミナー
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一覧
懇親会：
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナーは¥18,000(学割¥15,000)です。1日の集中セミナーは¥10,000(学割¥8,000)です。
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講座名
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正則関数の基礎定理
Cauchy理論の帰結
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内容
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Cauchy-Riemann、正則の概念、冪級数の基本的な事、複素線積分 Cauchyの積分定理・公式と正則関数の冪級数への表現定理
あたりまでの知識がある人のためのコースです。複素関数論はここから様々な形に分岐し展開していきますが
その共通の基礎になる基本定理を取り扱います。関係する集中講座としては「函数解析特論 Banach空間値の正則関数」
（1月6日、7日）があります。
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項目
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- Cauchy理論のまとめ
- Riemannの連続定理・一致の定理・領域と正則関数環
- Taylor係数のCauchy評価とその応用
- 開写像定理
- 最大絶対値の原理
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日時
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１２月１６日（土） １４：００－１８：００、
１２月１７日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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一般位相特論
フィルタの概念とネットの基礎的応用
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内容
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現代数学の様々な領域での強力な基礎工具であるフィルタとネットをまとめて取り上げることにしました。
当初は一般位相の発展編の初めに取り上げる予定でしたが、位相自体の話で取り上げるべきテーマがたくさんあるので
独立に基礎をまとめて取り上げます。
フィルタやネットは非距離的な位相の取り扱いの必要から出てきました。
例えば、超関数の空間は非距離的ですね。あるいはBanach空間でも弱位相は重要なのです。通常の
1変数の微積分での関数列の各点収束と一様収束の関係はこの問題の雛型です。
ネットのいいところは対象の連続性に関係する諸性質が簡単に扱える事です。
その威力を関数空間で実感された方もいらっしゃると思います。
一般位相の基礎（開集合、閉集合、近傍、連続、完備、コンパクト等）の知識は必要です（数学工房の講座では、一般位相（基礎編）その1・その2 程度）。
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項目
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- フィルタの基礎概念と性質
- 位相空間でのフィルタの収束と用法
- ネットの概念と基本的性質（フィルタとの関係）
- ネットの収束と位相空間での用法
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日時
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１２月２３日（土・祝） １４：００－１８：００、
１２月２４日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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函数解析特論
Banach空間値の正則関数
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内容
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Banach空間と線型作用素についての極く基本的な知識（引用された結果が理解できる程度）は仮定します。
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項目
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- 正則性、弱正則性
- Banach空間値の正則関数の基本的性質
- Banach空間値関数の複素線積分
- Cauchyの積分定理・積分公式
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日時
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１月６日（土） １４：００－１８：００、
１月７日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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新年の懇親会
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内容
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〔2017/12/27更新〕 広東料理の海外天（文京グリーンコート内）で簡単な新年会を予定しています（2時間程度）。
会費は、¥5000位です。
数学を通じてお知り合いの和を広げてください。普段の講座に来られない方もどうぞおいで下さい。参加ご希望の方はお早めに。
場所: 文京グリーンコート 海外天 （http://www.bunkyo-greencourt.com/restaurant/index.html）
TEL: 03-5977-3510
住所: 〒113-0021 文京区本駒込2-28-10
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日時
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１月７日（日） １７：００より
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講座名
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線型数学演習 行列式の楽しみ
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内容
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〔2018/1/2更新〕 今回は行列式の基礎的な性質を確かめた後、特に
トピックスとしてCauchyの発見を取り上げたい。
多次元空間の理論が現れる以前に多次元の基礎図形の空間の計量構造を見いだしているのではないか
と思われる式たちをどのように見つけたのだろうか？
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日時
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１月８日（月・祝） １３：００－１８：００
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講座名
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Rnのベクトル場
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項目
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- 連続写像・極限からの補充
- いくつかの位相的概念
- 関数の極限・写像の極限
- 連続写像・連続関数
- 可微分写像とJacobi行列・行列式
- 写像の微分可能性
- 領域上のJacobi行列
- Jacobi行列式の定性的意味
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日時
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１月１３日（土） １４：００－１８：００、
１月１４日（日） １１：００－１６：００
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２０１７年度 秋学期講座
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入門
入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。ただし、IFは、一括前納¥30,000です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程
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レベル
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入門・初級
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内容
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微積分の基礎理論の中心部分に入ります。
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項目
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- 連続性
- 定義と基本的な性質
- 連続関数のクラス
- 連続関数に関する3つの大域的定理
- 関数の極限
- 微分可能性I
- Riemann積分と微積分の基本定理
- 有界関数の積分
- 微積分の基本定理
- 関数項の級数
- 各点収束と一様収束
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／１７、 １０／１、 １０／１５、 １０／２９、 １１／１２、 １１／２６
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論
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レベル
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入門・初級
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内容
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全複素関数論の基礎の要の部分です。
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項目
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- 冪級数の基本定理
- 複素線積分
- Cauchyの積分定理・積分公式
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２４、 １０／８、 １０／２２
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＣ． 代数演習
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レベル
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入門
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内容
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多項式、有理式、代数方程式からの演習です。式感覚を養う・鍛えることを目標にしています。
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項目
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／４、 １１／１８、 １２／２
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＤ． 微積分と初等線型代数
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レベル
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入門
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内容
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Euclid空間の間の線型写像、線型変換の初歩的な基本事項を思い出した後、
体積形式と補充概念としてn重線型形式を導入し基本図形の有向体積と線型変換のdetを調べます。
その準備の基に領域上の積分、さらにGram行列の基本的な性質より曲面上の積分の考え方を理解してもらいます。
次学期は可微分関数のクラスから始まり、2次形式と多変数の極値の判定、多変数のTaylor公式に続きます。
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項目
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- 線型写像・線型変換
- 体積形式と行列式
- 領域上の積分
- Gram行列式と曲面の体積要素
- 演習
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日付
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隔週土曜日・全３回
１０／１４、 １０／２８、 １１／１１
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＥ． Fourier解析
マイルドな超関数とFourier変換I
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レベル
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初級・中級
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内容
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Fourier変換その他の積分変換やポテンシャル論の結果などを見通し良くまとめるには、超関数に持っていくのが自然だと思います。
急減少関数・テスト関数について簡単に復習した後、Schwartz超関数の概略から始めます。
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項目
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- 急減少関数・テスト関数
- Schwartz超関数 例と基本事項
- 緩増加超関数
- 定義、基本的性質
- 構造定理
- 超関数のFourier変換
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／２４、 １０／８、 １０／２２、 １１／５、 １１／１９、 １２／３
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法II
無限の作法
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レベル
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入門
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項目
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- Zornの補題・選択公理
- Zornの補題
- 選択公理
- 集合の濃度
- 集合の対等
- 集合の濃度
- 無限次元線型空間
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日付
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全２回
１１／３、 １１／２５
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時間
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１１：００－１７：００（昼休みを含む）
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＡ． 一般位相（基礎編） その2
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レベル
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初級
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内容
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実解析の諸問題の解決の必要から始まった点集合論の発展の中心部分です。
春学期は、ネット・位相の構造 その1に続きます。
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項目
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- 連結性
- コンパクト
- 距離空間における全有界、完備性、コンパクト
- コンパクト集合上の連続関数
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／２３、 １０／７、 １０／２１
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＡ． 関数解析概論
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レベル
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初級・中級
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項目
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- 連続線型形式と共役空間
- ノルム空間のカテゴリーにおけるHahn-Banachの定理とその応用
- いくつかの基本的応用
- 線型作用素の共役作用素
- 陪双対空間と反射性
- 弱収束
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／５、 １１／１９、 １２／３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． C*代数の表現
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レベル
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中級
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内容
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指定テキスト第5章に対応します。
ここでは、正線型形式、表現、C*代数上の種々のタイプのイデアル達とその相互関係を調べたい。
Krein-Milmanの定理により純粋状態なる概念が導入され、既約表現と純粋状態が1対1に対応するのである。
また可換Banach代数におけるスペクトルに対応するものとして、原始イデアルの空間が導入される。
大まかに言って既約表現全体の空間と原始イデアルの空間が1対1に対応するのである。
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項目
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- 既約表現と純粋状態
- 推移理論
- C*代数の左イデアル
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／１７、 １０／１、 １０／１５
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． 「シュワルツ超関数入門」を読むIII
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レベル
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中級
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内容
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緩増加超関数の定義からPaley-Wiener-Schwartzの定理あたりまで（p.49-p.77）を予定しています。
講座IEは同じ主題を扱っていますが、MCと対象の取り扱いの順序が逆で、こちらでは全て1変数の枠内で
Schwartz超関数の枠組みの基礎的な事実を知りその中で緩増加超関数を位置づけよう という方針をとっています。
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日付
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隔週日曜日・全３回
１０／２９、 １１／１２、 １１／２６
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１７年度 夏期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- いずれの講座も、料金は¥18,000(学割¥15,000)です。
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講座名
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代数特論
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内容
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今回のテーマは単純ですが、極めて応用の広い基礎であり、また私たちの数学神秘体験の源泉といえます。
例題を楽しみながら、式の取り扱い感覚を磨きましょう。
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項目
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- 多項式
- 割り算の基本定理と整除の構造
- 補間多項式
- 代数方程式
- 重解条件、判別式
- 解と係数の関係とNewtonの公式
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日時
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８月２０日（日） １３：００－１７：００、
９月１８日（月・祝） １３：００－１７：００
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講座名
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函数解析特論 非有界作用素
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内容
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自然な関数空間では微分作用素が有界ではないという事実を踏まえて、より適した一般論の枠組みは何かという問題意識により、
NeumannやStone等により作られた理論です。極基本的ですが丁寧に基本から扱います。
閉作用素の理論をよく理解することを目標にしてください。
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項目
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- 定義と基礎演算
- 閉作用素
- 一様有界性原理
- 開写像定理、閉写像定理
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日時
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８月２６日（土） １４：００－１８：００、
８月２７日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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C*代数からの特論
Gelfand-Naimarkの定理
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内容
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この結果により任意のC*代数はHilbert空間上の有界作用素のC*部分環と思ってよい事になるわけです。
C*代数の表現の本論は秋学期から始める予定です。
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項目
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- C*代数の表現
- Hilbert空間族の直和
- 直和表現
- 正の線型形式から生成されるHilbert空間
- GNS構成 Gelfand-Naimarkの定理
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日時
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９月２日（土） １４：００－１８：００、
９月３日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Fourier変換に関係する種々の積分変換
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内容
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既に論じたFourier変換とその複素化とここから先の超関数のFourier変換の動機づけにもなるトピックスです。
Schwartz流の超関数概念だけでなく、佐藤超関数のアイデアの源泉もこの中に見ることになります。
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項目
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- Laplace変換
- Hilbert変換およびCauchyの特異積分
- Rieszポテンシャル
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日時
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９月９日（土） １４：００－１８：００、
９月１０日（日） １１：００－１６：００
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２０１７年度 夏学期講座
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入門
入門・初級
初級
初級・中級
中級
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〔講座について〕
- 今学期の新規開講講座は、IA、IB、IC、ID、IF、EA、MAの6講座です。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。ただし、IFは、一括前納¥30,000です。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 初級解析教程
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レベル
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入門・初級
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内容
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実数の捉え方からFourier級数入門まで続きます。r回連続微分可能な関数のクラスや実解析関数の取り扱いに特徴があります。
また演習問題を兼ねて歴史的な例を取り上げようと思っています。
17世紀に誕生した解析学は、無限級数展開と微積分の基本定理の発見により大いに発展し、 18世紀末には、
現在は古典解析学といわれる巨大な殿堂がほぼ姿を現しました。しかし数学の対象の広がりに連れて、
それまでの方法と理解では解明できない問題が次々浮上してきました。
例えば、振動の初期条件のような不規則な関数が果たして解析関数の級数として展開できるのか? そもそも関数とは何か? 積分とは何か?
そのような問題意識から、19世紀の解析学は、18世紀解析学の基礎を再構築し未解決問題を解決するところから始まりました。
Abel、Cauchy、Dirichlet、Weierstrassは、このような立場の代表者で厳密主義とも言われます。
極限概念の正確に定義することを基礎にして書かれた学校用の最初の教科書が、CauchyのCours d'Analyseです。
この厳密化の流れの中で集合論が現れ、実解析学や関数解析学の基礎付けが可能になり、19世紀解析学から20世紀解析学へとつながってきたのです。
この初級解析教程は、線型代数や位相を重要視した20世紀数学のスタイルをとっています。
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項目
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- 数直線の捉え方
- 収束列、収束級数の理論
- 級数数列の収束のCauchy理論
- 絶対収束級数
- 級数の収束の仕方の分類
- 連続関数の一般論
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／２１、 ６／４、 ６／１８、 ７／２、 ７／１６、 ７／３０
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論（基礎編）
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レベル
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入門・初級
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内容
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複素微分可能性、Cauchy-Riemannから始まり留数定理あたりまで。専門的な複素解析の入門ではなく、
解析の諸領域で用いられる基礎素養としての講座です。
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項目
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- 実微分可能性
- 複素微分可能性
- 正則関数
- Wirtinger-Poincaré算法
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／２１、 ６／４、 ６／１８
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 線型数学演習I
数学の感覚のリハビリと強化！
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レベル
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入門
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内容
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セミナー等で理論がうまく展開出来ない原因の大きい部分は等式、不等式が使えない、読めない事です。
理論以前のセンスと言ったらよいでしょうか！ そこで、そのような数学感覚のリハビリと強化を目指した講座を試みに始めます。
このような講座はかつては主流でしたが、今では講座の中でその手の基本技術に触れるぐらいです。
材料は、主に栗田先生の線形数学（かつて書かれた理工系学部の1、2年生向け教科書として優れたものだと思います。）に沿って選ぶ予定です。
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項目
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- 複素数、複素数平面
- 複素数
- 極形式、1のn乗根
- 平面幾何の問題
多項式と代数方程式につづく
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／２８、 ６／１１、 ６／２５
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＤ． 多次元空間、微積分と初等線型代数（改訂版）
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レベル
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入門
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内容
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〔2017/6/24更新〕 微積分とは局所的にはEuclid空間の幾何学にほかなりません。先ず、任意次元のEuclid空間の初等幾何と表現法としての初等線型代数を導入します。
次学期は有向体積とその変換、微分、領域の積分、曲面の積分が導入され、次学期で高階微分、剰余付Taylor公式等を導きます。
この流れの中で勾配やHessianやLaplace作用素等も明確な形で定義されます。多様体上の微積分はこの事を徹底的に理念化したものです。
今学期はその1です。主に多次元のEuclid空間の基本図形を扱います。
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項目
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- 数ベクトル空間
- 内積、直交性
- 平面、線型部分空間、張る空間
- 凸性
- 行列、線型写像
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／９、 ７／２３、 ８／６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＥ． Fourier解析II
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レベル
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初級・中級
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内容
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はじめに、有用な2つのトピックスを扱い、Fourier変換の定義域の複素化がもたらす、複素関数論の深い結果を紹介します。
これらの結果は、作用素環の深い結果を導く際などにしばしば用いられています。
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項目
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- Poissonの和公式
- 正型関数
- Fourier変換の複素化
- Phragmén-Lindelöfの定理
- Poisson-Jensen公式
- Hardyの定理、その他
- Paley-Wienerの定理
次回超関数のFourier変換に続く
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／２８、 ６／１１、 ６／２５、 ７／９、 ７／２３、 ８／６
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法I
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レベル
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入門
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内容
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どのような分野の数学をやるにせよ、現代の数学をやるには必須の最低限の技術的知識です。
それ以前の知識にかかわりなく、この部分に難点があるとご自分で本格的に数学をやる際の躓きの石になります
（実際長年の経験ではこの部分が不確かな方が多い！）。
この部分に十分に習熟されている例外的な方を除いては、なるべく早いうちの履修をお勧めします。
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項目
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- イントロダクション Σ、数学的帰納法
- 集合の代数、集合族の算法
- 写像、像と原像
- トピックス 写像の代数
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日付
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隔週土曜日・全３回
７／８、 ７／２２、 ８／５
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時間
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第1回のみ、１１：００－１３：００
第2・3回は、１３：００－１６：００
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講座名
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ＥＡ． 一般位相（基礎編） その1
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レベル
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初級
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内容
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膨大になりすぎた一般位相の教程を整理して、解析学や幾何学、代数等の特定分野の手段として必要な概略と
位相構造の構造そのものを問題にしたりいくつかの位相を同時に扱う発展編とに分けました。
それ以上の発展的知識は問題や付録として付け加えるつもりです。
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項目
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- 距離空間の基礎概念I
- 距離関数
- 集合の直径、有界性
- 点列と点列の収束
- Cauchy列と完備性
- 距離空間の連続写像
- 位相空間の基礎概念I
- 開集合系、閉集合系、近傍系
- 点のトポス
- 連続写像
コンパクト性、連結性に続く
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日付
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土曜日・全３回（変則日程です）
５／２７、 ６／１０、 ７／８
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＡ． 関数解析概論
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2017/6/24更新〕 20世紀前半に微積分や解析学が自然に住まう世界の可能性を予感した多くの仕事が出てきますが、
それらをはるかに飛び越して、解析学が展開される場の本質をシャープにとりだしたのが、Banachの線型作用素論です。
その中には19世紀解析学の膨大な成果が凝縮されています。以後、Banachの指し示した方向を基本として関数解析学という巨大な分野が自立するのです。
副産物として、Banach空間やその上の線型作用素の勉強をちゃんとするとあなたが微積分や解析学の理論で何を理解してないかもわかります！
もう一度今まで皆さんが積み上げた解析の勉強の再整理をしてください。
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項目
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- ノルム空間の基本事項
- Banach空間
- 定義からの基本的な帰結
- 基本的な例
- 完備化
- BaireのCategory
- 任意の添え字をもつ総和可能な級数
- Banach空間上の線型作用素
- 有界作用素、有界作用素の空間
- 一様有界性原理
- 開写像定理と閉グラフ定理
- 共役空間（強双対）とその表現 に続く
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日付
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隔週土曜日・全３回
７／１、 ７／１５、 ７／２９
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． C*代数と作用素環
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レベル
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中級
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内容
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正値汎関数の基礎理論を詳細に扱います。目標はGelfand-Naimarkの表現定理、
そのあとvon Neumann環の理論の基本的な部分とC*環の表現を次の目標にします。
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項目
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- 正値作用素の例
- 正値作用素から導かれるHermite形式
- 正値汎関数の基本的性質
- Jordanの分解定理
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／２０、 ６／３、 ６／１７
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． 「シュワルツ超関数入門」を読むII
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レベル
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中級
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内容
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緩増加超関数のFourier変換からSchwartzの核定理第3章あたりまでを、とりあえず読み進みたいと思います。
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項目
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／２、 ７／１６、 ７／３０
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１６年度 春期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- いずれの講座も、料金は¥18,000(学割¥15,000)です。
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講座名
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C*代数の立場から Hilbert空間の作用素再論
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内容
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この講座は何らかの形で、Hilbert空間や作用素の基本事項を勉強した事のある方向けの、まとめの講座です。
Hilbert空間とBanach空間の極基礎的な事は既知とします。例えば、
Rieszの表現定理とか作用素ノルムの定義と基本的な性質などは既知として扱います。
ただし、基本知識は命題は、引用し根拠を明らかにします。
非可換解析学ではHilbert空間の作用素が実数や、複素数のように解析の展開の土台になります。
表現を通して作用素たちを数のように扱うための準備です。
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項目
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- 線型作用素、半線型形式概略
- 双対空間としてのHilbert空間
- Banach空間上のコンパクト作用素
- Hilbert空間上のコンパクト作用素
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日時
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４月２９日（土・祝） １４：００－１８：００、
４月３０日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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解析学特論 無限積と無限積の妙技
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内容
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解析関数の取り扱いで理論的にも、実用的にも重要な概念と方法の入門編です。
入門の性格を考慮して、過度の厳密性は避けて、面白い例を計算してみましょう。
集中の時間的制約を考え、本格的な整関数の積表現等は別の機会に譲り、神秘的なJacobiの積公式、
Eulerの公式さらにTheta函数の基本的な公式を取り上げます。Theta函数はSinの一般化です。
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項目
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- 準備
- 無限積概論
- Jacobiの3重積公式
- Theta函数
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日時
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５月３日（水・祝） １４：００－１８：００、
５月４日（木・祝） １１：００－１６：００
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講座名
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幾何学と代数特論 有限体
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内容
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2013年に代数特論で体を取り上げた時、補充と例として取り上げるはずだったのですが、講座編成の都合で休止したままになっていました。
続きとしては有限幾何等の興味深いテーマがあります。
今回は極く基本的なことのみ取り上げますが、トピックスとして有限体上の幾何の諸量の数えあげから現れる、2項係数のq類似を取り上げます。
これは有限幾何級数系から自然に生じる一連のFibonacci型数論の一種です。
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項目
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- 有限体の構造
- 1の冪乗根・円分多項式
- Gauss関数（2項係数のq類似）
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日時
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５月６日（土） １４：００－１８：００、
５月７日（日） １１：００－１６：００
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２０１６年度 春学期講座
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入門
入門・初級
初級
中級
演習
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〔講座について〕 【2017/3/15 更新】
- 今学期のIF「数学の基本語彙と文法III」は休講です。
代替え講座として、2月18日（土）に1日集中形式で「超関数論演習」を開講します。
- 今学期のEA「一般位相からのトピックス」は休講です。
代替え講座として、4月2日（日）、16日（日）の全2回で「超関数のテンソル積、接合積（畳みこみ）の演習〔入門編〕」を開講予定です。
〔料金について〕
- ※代替え講座「超関数論演習」のセミナー参加料は、¥10,000です。
- ※代替え講座「超関数のテンソル積、接合積（畳みこみ）の演習〔入門編〕」のセミナー参加料は、¥21,000です。
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全4回講座では、第1回目¥10,000（学割 ¥9,000）、第2回目以降¥8,000/回（学割 ¥6,000/回）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 入門解析教程
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レベル
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入門
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内容
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数学を学ぶ際にその概念や定理、理論が形成されてきた経緯を知ることは 想像力をたくましくして学ぶことはとても有用です。
比較的モダンな取り扱いの初級解析教程の前に、入門解析教程を置いているのはそういう理由です。
Newton、Leibnizから始まった、古典解析学の黄金時代は約100年後のEulerの死を持って幕を閉じました。
解ける問題は既に解きつくされたのではないか? と言われる長期の停滞の時代に入ったのです。
一つの原因が、連続や微分といった基礎概念が運動の直感に頼ったり、0/0の究極の比
というような怪しい無限小の哲学に支えられていることでした。
18世紀末Lagrangeは初めて、微積分の基礎から無限小の哲学を追放し、微分可能な関数の一般論を展開しようと試みました。
18世紀末新世代のCauchyは、Lagrangeの基礎付けが実解析の基礎として不十分なことを見抜き、それまで扱い兼ねて放置されていた、
基礎概念に目を向け、極限を基礎にして微積分の再構築を開始しました。
当時Parisに留学したAbelによれば、18世紀の末から19世紀の初めに活動した輝かしいParisの数学者たちの中で、
まともな数学者はCauchyだけであると若者らしく断言しています。現在の微積分のスタンダードの形になるには
Weierstrass学派の鋭い批判による改良を経て、ほぼ20、30年で現在の私達におなじみのいわゆる解析教程の形が出来上がるのです。
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項目
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
１／２９、 ２／１２、 ２／２６、 ３／１９、 ４／２、 ４／１６
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論特論
楕円関数とTheta関数 その1
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レベル
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入門・初級
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内容
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もともとは会員の要望に基づき、Jacobiの3重積公式等を「無限積の妙技」と題して集中で取り上げる予定でしたが、
いくらテクニカルに面白くても、その背後に隠された世界がせめて垣間見られるようにしなければ面白くないので、
楕円関数とtheta関数について理解することから始めることにしました。
楕円関数は円関数の一般化ですから、当然、代数的、幾何学的、数論的な面白い結果が期待されます。
それゆえ集中的に研究され、様々に枝分かれして新しい結果を生んできました。
そして楕円関数論の困難の解決のための基礎付けからWeierstrassやRiemannの複素関数論が生まれ、Riemann面や解析形体が現れたのです。
予備知識としては、微積分学の延長としての複素関数論の極く基本的な事；正則関数の基本的諸性質から、
有理型関数とResidue公式ぐらいまでの、大雑把な知識を仮定します。
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項目
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- 有理型関数の周期加群
- 周期加群の基本領域
- 楕円関数と楕円関数体
- 楕円関数の一般論
- p関数と加法定理、p関数による楕円関数の表示
- 楕円関数体の代数的性質
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日付
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土曜日・全３回（変則日程です）
２／１１、 ２／２５、 ３／１８
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＣ． 代数学と幾何学よりのトピックス
射影空間
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レベル
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入門・初級
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内容
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私が数学科1年生の時、必修の基礎教育科目「幾何学」が、当時斬新だった線型代数と射影変換群を基礎にした射影幾何でした。
ちょっと前までは射影幾何というと学部生には古典的な立場からの講義のみだったと思います。
この時の指定教科書で線型代数を学んだ御蔭で、線型代数を幾何学的に観ることができるようになった気がします。
と同時に、私はこの教科書の行列算を基礎にする証明に違和感を覚えて、抽象線型代数の使い方も学ぶことができました。
線型空間を幾何学的に観ることは解析学、さらに関数解析学の基本です。基本の型である線型代数の応用演習としてお勧めします。
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項目
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- 準備
- 射影空間の定義と同時座標
- 双対原理
- 射影変換
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日付
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変則日程・全３回
３／２０、 ４／１、 ４／１５
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＥ． Fourier変換の理論I
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レベル
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入門・初級
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内容
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Fourier解析は19世紀以降の解析学の要で、Fourierの主張の正当化が現代数学の発展の母体になりました。
集合論、測度・積分論、関数空間の理論等はみなこの流れの中から派生しました。
またFourier解析が既にそうであったように、一般化である表現論は解析のみでなく代数、幾何、数論などに新しい展開を与えました。
講座MBで取り上げたGelfandの表現定理もまたFourier変換の一般化です。
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項目
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- Fourier変換の概念
- 急減少関数の空間
- 急減少関数のクラスの定義
- 急減少関数の空間の構造
- 急減少関数の空間上のFourier変換
- 接合積
- Fourier変換の固有関数とHermite多項式
- Fourier変換のL2理論
- 熱核の近似定理
- L2(R)のFourier変換
- L2微分
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日付
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日曜日・全６回（変則日程です）
１／２２、 ２／５、 ２／１９、 ３／１２、 ３／２６、 ４／９
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法III
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レベル
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入門
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内容
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定員に達しませんでしたので、今学期は休講いたします。
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項目
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日付
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休講
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時間
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講座名
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ＩＧ． 特性関数
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レベル
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入門・初級
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内容
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講座IE、MCに対して、こちらはFourier変換特論というべきものです。
特性関数は確率測度のFourier変換です。分布と分布の特性関数が全単射に写され、分布の相互の関係の研究が
特性関数の相互関係の研究に帰着するわけです。
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項目
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- 序論
- 複素数値確率変数
- 複素数値確率変数の独立性
- 特性関数の性質
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／１１、 ３／２５、 ４／８
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＥＡ． 一般位相からのトピックス
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レベル
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初級
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内容
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定員に達しませんでしたので、今学期は休講いたします。
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項目
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日付
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休講
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時間
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講座名
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Ｇ． 複素計量空間
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レベル
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初級
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内容
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抽象線型代数からのトピックス第3弾です。正定値とは必ずしもならない一般計量の線型空間を取り上げます。
このような空間はEinsteinの特殊相対理論のモデルとしてMinkowskiにより導入されました。
一体この世界の幾何はどんなふうになっているのでしょうか?
線型代数の立場からは非退化な双線型あるいは共役線型形式の理論にほかなりません。
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項目
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- 計量線型空間
- 計量線型空間の幾何学
- 正規直交基底
- 有限次元線型空間の計量
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２２、 ２／５、 ２／１９
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． C*代数と作用素環 正値汎関数とイデアル
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レベル
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中級
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内容
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秋学期講座と冬期集中セミナーでGelfandの定理、自己共役元の順序までまとめました。目標のGelfand-Naimarkの定理へのその1です。
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項目
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- 近似単位元
- *準同型
- 遺伝的C*部分代数
- Positive functionals
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１２、 ３／２６、 ４／９
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． Fourier解析と超関数
「シュワルツ超関数入門（垣田高夫著、日本評論社）」を読む
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レベル
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中級
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内容
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今回は、急減少関数とFourier変換その1 p.１-p.30を読みこなすことを目標にします。
この教科書の特徴は、入門にしては珍しく基礎空間の局所凸位相について丁寧に書いているところです。
講座IEは1変数限定ですが、今学期についてはMCの内容とほぼパラレルです。
補いとしてIEを同時に学ばれるのは、見通しと理解に役立つでしょう。数学書の読み込みの演習にご利用ください。
*テキストは、シュワルツ超関数入門（垣田高夫著、日本評論社）です。
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項目
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- 多重添え字の記法といくつかの基礎公式
- Fréchet空間
- 急減少関数のFréchet空間
- 急減少関数のFourier変換
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２９、 ２／１２、 ２／２６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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超関数論演習
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内容
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前回同様、簡単に基本概念を説明して主に1変数の例題を扱います。
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項目
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- 超関数の乗法
- 超関数の導関数
- 超関数の原始関数
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日時
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２月１８日（土） １４：００－１８：００
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講座名
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超関数のテンソル積、接合積（畳みこみ）の演習〔入門編〕
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項目
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- テンソル積の定義
- テンソル積の諸性質
- 超関数の畳みこみ
- 畳みこみの諸性質
- 超関数の畳みこみ代数
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日時
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４月２日（日） １４：００－１８：００、
４月１６日（日） １４：００－１８：００
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２０１６年度 冬期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中講座は¥18,000(学割¥15,000)です。1日のみご参加の場合は¥10,000(学割¥8,000)です。
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講座名
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関数解析概論 合成積近似法
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内容
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ある関数のクラスの性質を調べるとき、良い関数の族で近似をする手法が大活躍します。
例えば、現代解析を勉強された事のある方はFriedrichsの軟化子という強力な道具に出会ったことがあるでしょう。
頻繁に出会う割にちゃんと知らないのでその都度やり直す必要が生じます。このようなTypeの理論の連続レベルでのまとめです。
このようなTypeの近似法の理論をより一般的な連続レベルでまとめておけば便利だなというのがこの講座の動機です。
御自分でEuclid空間の解析の本格的な勉強や研究をしたい方にお勧めします。測度や位相についての基本的な知識は仮定します。
Friedrichsの軟化子の定義と基本的な性質の節を付け加えました。
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項目
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- 準備
- 移動作用素
- Euclid空間上の合成積の定義と基本的な結果
- 近似単位（総和核）
- Friedrichs Mollifier
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日時
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１２月１７日（土） １４：００－１８：００、
１２月１８日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Schwartz超関数入門I・II
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内容
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秋学期の関数解析的なFourier級数論では、LpやRadon測度のFourier級数を取り扱いました。
その自然な延長として、Dualityを用いて超関数が導入出来、超関数についてのFourier解析ができるというお話をしました。
前々から予告していますように、Euclid空間上のFourier解析を予定しています。
この講座ではFourier解析の自然な枠組みとしてSchwartz超関数を扱います。
そこで超関数に慣れていただくために2回に分けてI（12月23日）では理論の概略と例、II（1月14日）では基本的な超関数の例を調べます。
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日時
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１２月２３日（金・祝） １３：００－１７：００、
１月１４日（土） １３：００－１７：００
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講座名
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C*代数と作用素環
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内容
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C*代数は、ある意味でコンパクトハウスドルフ空間上の連続関数環や有界線型作用素の代数の部分代数を考えているので、
実の概念や、正、順序の概念が解析を進める上で重要なカギになります。したがってこの部分に集中を充てることにしました。
この集中を踏まえて、春学期はPositive Functionalを扱う予定です。
時間があれば秋学期の補充としていくつかのTopicsを扱います。例えば、つい最近、Multiplier代数の完全な特徴付けができました。
Multiplier代数は、C*代数Aを閉イデアルとして含む 単位を持つ最大のC*代数なのです。
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項目
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- C*代数の正元
- Topics 1: C*代数の直和
- Topics 2: Gelfandの定理の応用の仕方
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日時
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１２月２４日（土） １４：００－１８：００、
１２月２５日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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連続群の表現入門［代数学解析特論］
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内容
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C*代数と並んで現代数学の要であるFourier解析の発展編です。表現論を通じて、数学の自然を学びましょう。
各種概念、道具が個別バラバラではなく自然の中で相互密接に相互作用するありさまを見てください。
現代数学の演習に最適です。
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項目
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- 群の作用
- 不変測度
- 位相群の表現
- コンパクト位相群
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日時
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１月８日（日） １４：００－１８：００、
１月９日（月・祝） １１：００－１６：００
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講座名
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会員の集いと懇親会
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内容
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〔2017/1/13更新〕 今回は数学工房の日ごろの活動から、会報の桑野道場に寄せられた見事な解答の紹介を道場を担当されている半田さん、
また作用素環論研究会のメンバーである原田さんに作用素環と物理学とのかかわりをお話しいただきます。
その後は場所を変えて、中華レストランでの懇親会を予定しています。この機会に数学の仲間との交流をお楽しみください。
普段の講座になかなか来られない方もどうぞ。参加ご希望の方はお早めに。
【会員の集い (14:00-16:00)】
参加費: お茶代を含めて¥2000
予定: (1)熊野充博さんによる会報No.121の問題のエレガントな解決（仮題）〔14:10-15:00; 半田伊久太さん〕
(2)作用素環と場の量子論〔15:15-16:00; 原田雅樹さん〕
＊半田さんは、家族にご事情があり (1)は当日中止になることもございます。その場合は、下記のテーマで
私（桑野）がお話しさせていただきます。
■Dualityとは？（易しい例で）
尚予定通りに講演が行われる際には、春学期講座の御説明を手短にします。
【懇親会 (17:30-19:30)】
会費: ¥4500です。
場所: 文京グリーンコート 海外天 （http://www.bunkyo-greencourt.com/restaurant/index.html）
TEL: 03-5977-3510
住所: 〒113-0021 文京区本駒込2-28-10
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日時
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１月１５日（日） １４：００より
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２０１６年度 秋学期講座
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入門
初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全4回講座では、第1回目¥10,000（学割 ¥9,000）、第2回目以降¥8,000/回（学割 ¥6,000/回）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 入門解析教程II
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レベル
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入門
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項目
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- 解析関数II
- 逆関数の概念と自然対数関数
- 指数関数べき乗関数
- 複素化
- 微積分の基本定理と帰結
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／２５、 １０／９、 １０／２３、 １１／６、 １１／２０、 １２／４
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論
大域的Cauchy理論II、有理型関数
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レベル
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初級
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項目
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- 大域的Cauchy理論II
- まとめ
- residueの理論と応用
- 孤立特異点
- 孤立特異点、極
- 有限主要部を持つLaurent級数
- 真性特異点
- 有理型関数
- 有理型関数の代数
- 基本定理
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日付
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土曜日・全３回（変則日程です）
９／１７、 １０／１、 １０／２２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 環の表現論II
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レベル
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初級・中級
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項目
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- 多元環の表現 記号、定義、基本概念
- 表現の正則表現への帰着
- 原始イデアル
- 分数イデアル
- 原始イデアル
- 根基
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２５、 １０／９、 １０／２３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＥ． Fourier解析II Lp理論
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レベル
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初級
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項目
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- Lp空間の概略
- Lp上のFourier級数
- L2理論
- L1上の接合積代数とFourier級数
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／１８、 １０／２、 １０／１６、 １０／３０、 １１／１３、 １１／２７
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＧ． 確率論の数学的枠組み
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レベル
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入門
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内容
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〔2016/11/1更新〕前半は、2項分布からF分布までを材料にした解析演習、後半は
多変量解析に現れる2次形式、双線型形式を中心に分散共分散行列や相関行列等の構造を明らかにする予定です。
前半が解析演習なら後半は線型代数演習といえましょう。
今回は2つのテーマが独立なので前半だけ、後半だけの参加も可能です（その場合はご相談ください）。
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項目
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- 演習 基本的な分布
- 離散モデル
- 連続モデル
- 正規分布と関連する分布
- 多変量の特性量
- 分散共分散行列
- 高次モーメント
- 正準相関
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／５、 １１／１９、 １２／３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数特論 対称変換とスペクトル
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レベル
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初級
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項目
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- 最大原理
- 対称変換の順序
- スペクトル分解とFunctional Calculus
- 特異値、特異ベクトル
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／１８、 １０／２、 １０／１６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＡ． 函数解析概論IV
局所コンパクト空間上のRadon測度とRieszの定理
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2016/10/31更新〕測度と言った時、現代の解析学では双対空間の元と同一視を当然の事として断りなしに使います。
測度を超関数の特別なものとみなす立場です。その基礎を与えるのがRiesz-Markov-Kakutaniの表現定理です。
この定理は、局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度全体が全変動ノルムによってなすBanach空間と
無限遠で消える連続関数全体のBanach空間の双対空間が同一視できるという結果です。
皆さんもどっかでこの定理の応用に出会っているのではありませんか？
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項目
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- 複素測度
- Radon-Nikodymの定理
- 全変動測度
- Radon測度
- Riesz-Markov-Kakutaniの表現定理
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／６、 １１／２０、 １２／４
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＢ． C*代数と作用素環II
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レベル
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中級
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内容
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基礎から丁寧に論じますが、関数解析とBanach環の基本的な事は既知とします。今回と次回で、
C*代数のHilbert空間上への*-表現の準備をします。新たに、
C*代数の拡張（Multiplier Algebra）とFunctional Calculusの節も付け加えました。
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項目
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- *-代数 定義と基本的性質
- C*代数 定義と例
- C*代数の基本的な性質
- C*代数の乗法子代数
- C*代数のGelfand表現とその帰結
- Functional calculusとスペクトル定理
- 正元
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日付
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隔週日曜日・全３回
１０／３０、 １１／１３、 １１／２７
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１６年度 夏期集中セミナー
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入門
初級
中級
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2016年会費（1月～12月） ¥3,000（学生 ¥1,500）のご納入をお願いします。
※集中セミナーに参加されるには年会費のお支払いが必要です。セミナー受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナーは¥18,000(学生¥15,000)です。
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講座名
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多変量解析とMatrix Algebra
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レベル
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入門
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内容
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多変量解析を材料にした、線型代数と解析の演習です。確率変数とその分布等の基本概念の簡単な復習をしたのち、
作用素値関数の確率測度による積分から始めます。表現定理を利用すれば、唯の数値関数の積分になってしまいます。
また、平均や分散共分散行列の取り扱いではSchatten表示と呼ばれる、ねじれたテンソル表示を導入します。
これを用いると、1次元確率変数についての公式がそのままの形で成立します。
無論、標準行列表示による公式だけなら座標を固定して定義にしたがって丁寧に計算すればよいのですが、
この際より発展的な見方に結び付けておきましょう。
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項目
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- 準備、記号
- 行列値関数の確率測度による積分
- 平均、分散・共分散行列
- 多変量正規分布
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日時
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８月２０日（土） １４：００－１８：００、
８月２１日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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有限群の表現 代数特論
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レベル
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初級
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内容
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有限群の表現論は、より現代数学の先端の部分まで勉強したければ、線型代数のアドバンストコースとして、是非やっておいたほうがよいものの一つです。
というのは、以後しばしば出てくる考え方の典型であるとともに、始めは何をやっているのか分からないと言ったタイプの数学の典型です。
（今回のBanach環の集中も同種の事を問題にしています。）
私が大学院の学生だったころは、Lie群やLie環が微分幾何学の研究者の間に普及しつつあったころで、Lie群やLie環を専攻する大学院生が苦労していたのを覚えています。
彼らと語らって「そもそも表現論とは何することなのか？」をその分野の研究者にお願いして勉強会などを開いたりもしました。
わかりにくさの原因の一つは表現論の対象が直接数学的対象を扱うのでなく、対象の群全体の働きを、より具体的な作用素の空間の中で可視にすると言う高次の操作ゆえでしょうか。
線型代数の延長という意味では、この手の物の中ではとりつきやすいはずですが！
通常講座で取り上げるはずでしたが、通常講座では多元環の表現論を体系的にやっているので集中セミナーで取り上げることにしました。
抽象線型代数と一般的代数の基本事項の素養は仮定します。
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項目
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- 表現とG-Module
- 表現の誘導
- Schurの補題
- 表現の同値
- 指標
- 有限群の正則表現
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日時
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８月２７日（土） １４：００－１８：００、
８月２８日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Banach環のGelfand表現
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レベル
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中級
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内容
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夏学期のBanach環のスペクトルの続編、Gelfandの理論の関数解析学における重要性と、現代数学における影響の大きさ、
さらに初学者の理解の困難を勘案してこの部分だけ独立させました。この準備の下、秋学期のMB「C*代数と作用素環」ではいよいよC*環に入ります。
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項目
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- 準備
- 指標空間
- Gelfandの表現定理
- Banach環l1(Z)
- トピックス
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日時
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９月３日（土） １４：００－１８：００、
９月４日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Lp空間とその双対
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レベル
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初級
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内容
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〔2016/9/6更新〕 今回は応用上でも、理論上でも最も基本的なLpとその双対の理論を扱います。
この話はもともと秋学期以降に予定しているFourier級数やFourier変換のLp理論の準備から派生しました。
したがって初めはn次元Euclid空間上での話にするはずでしたが、確率論等への応用の広さから
一般の測度論の枠組みで、基本手段として用いられる最低限の話に限定しました。
今回取り扱えなかった合成積近似の一般論は別の機会に扱います。
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項目
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- 準備 Banach空間と測度論から
- Lp空間（p∈[1, ∞] ）とL∞
- Lp空間の双対の表現
- 測度収束、平均収束
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日時
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９月１０日（土） １４：００－１８：００、
９月１１日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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数学の基本語彙と文法II 無限の作法
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レベル
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入門
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内容
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現代数学のどの分野に行くにしても基礎として知っておくべき内容です。特に使い方に慣れておく必要があるものを取り上げました。
使い方の例としては、あまりなじみがないだろう集合の濃度の理論やフィルターの一般論、無限次元線型空間などを取り上げました。
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項目
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- Zornの補題と選択公理
- 集合の濃度の理論
- 可算集合
- フィルタ
- 無限次元線型空間
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日時
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９月１９日（月・祝） １４：００－１８：００、
９月２２日（木・祝） １１：００－１６：００
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２０１６年度 夏学期講座
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入門
初級
初級・中級
中級
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【2016/5/12更新】
※講座EAは、定員に達しませんでしたので今学期は中止といたします。既に申し込まれた方にはご迷惑をかけます。お詫び申し上げます。
尚、この講座の重要性に鑑み次年度には開講する予定です。代替え講座として、EB 現代ベクトル解析I を開講いたします。
〔講座について〕
- 今学期の新規開講講座は、IA、IC、IF、G、EB、MBの6講座です。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）、ただし今学期のIFは¥22,000〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 入門解析教程I
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レベル
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入門
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内容
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2014年から2016年春学期まで6回にわたって初級解析教程として実数の公理論的特徴付けから始めて、
Fourier級数の入門までを現代数学の厳密なスタンダードにより扱いました。
今回のIAは、対照的に入門解析教程として17世紀の無限小解析の始まりから19世紀のCauchy等 による解析の基礎付けまでを、
その理論や公式を発見した過去の数学者のアイデアの歴史を考えつつ解析学の根本的な考え方を深めていく講座です。
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項目
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- イントロダクション
- 2項係数
- 多項式関数と補間
- 無限小解析と実解析関数の発見
- 複素化の力
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／２２、 ６／５、 ６／１９、 ７／３、 ７／１７、 ７／３１
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論
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レベル
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初級
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内容
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春学期では複素対数関数とホモトピーを扱いました。前回までの中心は複素平面上の微分形式の理論でした。
今回はCauchyの方法による正則関数論と基本的な応用です。路のチェインは、正則関数の線型空間上の線型形式の部分空間
として導入されます。それから作られる商空間として路のコホモロジーが実現されます。
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項目
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- Cauchy理論I
- 積分定理、積分公式
- Cauchy-Taylorの表現定理
- 連続定理、一致の定理
- Cauchy理論のいくつかの帰結 Liouvilleの定理
- Weierstrass収束定理
- Cauchy理論II
- index関数
- 線型形式としての道
- 大域的Cauchy理論
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日付
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隔週土曜日・全３回
７／９、 ７／２３、 ８／６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 環の表現論
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レベル
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初級
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内容
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非可換、また単位を含まない場合も考慮した一般の多元環のイデアルの基礎知識と
表現論の基礎知識を学ぶことが目的です。ここで環Aの表現とはある線型空間V上の線型変換全体の多元環への準同型を言います。
同時にこの学びを通して既に学んだこと全体をより一般的な立場から学び直すことになります。
予備知識として、線型代数、可換環の基礎知識は期待します。極基本的なことは、例えば服部昭著「群とその表現 共立数学講座18」第4章に解説があります。
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項目
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- 準備
- 環におけるイデアル
- イデアルと剰余環についての基本事項
- モジュラーイデアル
- 極小イデアル
- 環の表現
- 基本概念
- サイクリック表現と既約表現
- 商イデアルと原始イデアル
- 根基
- Kronecker テンソル
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／２２、 ６／５、 ６／１９
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＥ． Fourier解析I
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レベル
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初級
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内容
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春学期は古典的なFourier解析の理論と若干の応用を扱いました。今期と次期で現代的なFourier解析の理論の準備です。
アドヴァンストコースは多変数のFourier解析の理論と超関数がテーマになります。
若干の違いはあると思いますが、シュワルツ超関数入門（垣田高夫著、日本評論社）にパラレルにやりますので、参考書に指定します。
この講座を利用して本書を読むのもよいかもしれません。
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項目
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- Fejérの理論
- Fourier級数の各点収束、Dirichlet-Jordanの定理
- Fourier級数のL2理論
- Fourier級数のL1理論とConvolution
- Fourier変換の概念、急減少関数
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／１５、 ５／２９、 ６／１２、 ６／２６、 ７／１０、 ７／２４
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法I
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レベル
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入門
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項目
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- 集合の代数
- 基本概念
- 集合の代数
- 写像
- 写像の定義と基本的定義
- 像と原像と集合算
- 写像の代数
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日時
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５月７日（土） １４：００－１７：００、
５月８日（日） １１：００－１７：００
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講座名
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ＩＧ． 確率論の数学的枠組み
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レベル
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入門
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内容
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春学期はベクトル値確率分布を中心に基本事項と例題を丁寧にやりました。今学期はいよいよ期待値積分に入ります。
分布のオペレーション等の見かけ上の複雑さは、ある確率変数から誘導された分布だからで、
そのような難点は理念的なsymbolicな積分を導入することにより解消することができます。
導入されたsymbolicな積分を基礎に種々の特性量、さらに特性関数が導入されます。
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項目
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- 期待値積分とその諸性質
- Symbolic積分と期待値
- 期待値から誘導される基本的な諸量
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／３、 ７／１７、 ７／３１
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＥＡ． 位相空間と解析序説I
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レベル
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初級
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内容
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【2016/5/12更新】 定員に達しませんでしたので今学期は中止といたします。
尚、この講座の重要性に鑑み次年度には開講する予定です。
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項目
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日付
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休講
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時間
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講座名
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ＥＢ． 現代ベクトル解析I
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レベル
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初級
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内容
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〔2016/5/24更新〕 本来解析学の対象は我々の特定の計測体系によらない性格を持っています。
例えばそこに1個の特殊関数があるとき、重要な関数であるほど沢山面白い変換公式を持っています。我々の探求すべき関数あるいは解析的な対象は
一群の関係式の表現に無関係に存在する実態です。
そのような立場（Riemannの思想の一番基本的な部分）から微積分の基礎を構築する中級解析教程です。
先ずは基本事項を整理した後に、座標フリーの微積分の構成の準備として、多重線型形式とテンソル、行列式の一般論、から始まります。
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項目
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- 基本概念
- 多重線型形式、テンソル、行列式
- 計量ベクトル空間と作用素のクラス
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／２８、 ６／１１、 ６／２５
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 線型代数特論
線型写像の構造
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レベル
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初級
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内容
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ある問題に表れるあらゆる対象を同値関係で分類し標準形を定める。またより単純な基本成分に分解すると言うのは理論の発展のより高度な洗練された部分と言えるでしょう。
無論行列表現を通じて応用上でも重要です。この中に現れる基本的なアイデアを総合すると環の表現論へと広がっていきます。
さらに無限次元の作用素論も、有限次元の構造理論のまねをして構造を定める事が動機でした。（ただそうは問屋がおろさぬ部分が現れる！）
抽象線型代数の復習を兼ねてより高度な応用、また理論の作り方を学んでください。
表現論や作用素環をやる方はそのバックグランドとして有用です。
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項目
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- 基本事項 まとめ
- シフト不変部分空間と最小多項式
- 線型変換の分解
- 可約性、既約性、単純、半単純
- 線型変換の標準形、行列の標準形
- 最小多項式による分解
- Jordan標準形
- 例
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日付
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隔週土曜日・全３回
７／２、 ７／１６、 ７／３０
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＡ． 函数解析概論III
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レベル
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初級・中級
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内容
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2015年度春学期は主に局所凸空間の一般論を取り扱いました。それに関連して抽象位相IIIではFréchet空間と基本的な例を取り上げました。
今学期は、関数解析の最も原理的な道具の一つであるHahn-Banachの定理とDualityについて丁寧に理解していきましょう。
Dualityは極基本的な事に限定します。
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項目
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- Hahn-Banachの定理の2つの表現形式
- 幾何学的表現
- 解析的表現
- Hahn-Banachの定理の応用の3つの基本的なタイプ
- 演習 Hahn-Banachの定理の使い方
- Dualityの基本的な事
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／１５、 ５／２９、 ６／１２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． C*代数と作用素環
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レベル
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中級
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内容
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2014年の夏期集中セミナー以来、通常講座でHilbert空間上の作用素の理論の基礎を一通り取り上げ、
またBanach環の表現も力不足の感がありましたが、一通り一般論を押さえておきました。
漸くC*代数と作用環の一般論に入ります。
入口の部分は比較的取り扱いやすいMurphyの教科書「C*-Algebras and Operator Theory」(Academic Press)に沿ってやる予定です。
この教科書を御自分で読み通される手助けにするのもよいかもしれません。一般位相、代数、関数解析の基礎素養を期待します。
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項目
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- Banach代数とスペクトル理論
- Banach Algebrasの基本事項
- スペクトルの初等理論とその帰結
- Gelfand表現
- Banach空間上のコンパクト作用素とFredholm作用素
- C*-AlgebrasとHilbert空間上の作用素 に続く
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日付
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隔週日曜日・全３回
６／２６、 ７／１０、 ７／２４
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１５年度 春期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間ご参加の場合は¥18,000(学割¥15,000)、1日のみご参加の場合は¥10,000(学割¥8,000)です。
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講座名
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Banach空間における弱位相I
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内容
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ノルム位相による収束に対して弱位相による収束は微積分でいえば、一様収束に対する、各点収束の役割に当たります。
極限によって得られる対象の構成などに本質的な役割を果たします。対比させながら考えるとよいでしょう。
しばらく前に位相線型空間においてDualityの枠組みで弱位相を論じましたが、ここでは応用上良く現れる
Banach空間および共役空間のDualityより生じる弱位相を取り扱います。
あまり欲張らず、今回は（2）Hahn-Banachの定理の重要な帰結である 凸集合上で弱閉とノルム閉であることの同一性とその帰結、
（3）Banach空間のDualityの帰結としてのGrothendiekの定理、Banach空間の連続関数空間への埋め込み の2つを取り上げます。
距離付け可能性、反射的Banach空間の弱コンパクト性等 具体的な応用の多いテーマはIIとして別の機会に取り上げる予定です。
位相やノルム空間、Banach空間についての極く基本的な知識は仮定します（講座EA程度）。
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項目
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- 概念、準備
- 弱位相、汎弱位相
- 凸集合における弱位相とノルム位相の関係（Mazurの定理、Alagoluの定理等）
- 双対性、Banach空間の埋め込み定理
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日時
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４月９日（土） １４：００－１８：００、
４月１０日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Banach環の構造空間
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内容
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可換Banach環なら連続な乗法的汎関数の空間あるいは極大イデアルの空間に位相を入れて連続関数の空間として表現するのはもっとも基本的なアイデアの一つです。
それでは非可換ならば？それが今回のテーマで 原始イデアル（既約表現の核）、極大両側イデアルの空間の位相空間化を取り扱います。
この1日セミナーでもってBanach環のシリーズの最終といたします。
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日時
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４月２４日（日） １３：００－１７：００
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講座名
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19世紀実解析学の勃興（入門）
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内容
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19世紀の解析学の特徴は、御存じのように概念の明確化と論理の厳密化でした。そのような流れのきっかけになったのは、絃の小振動の初期値問題をEulerが解く際に、
式で表現できるとは限らぬ任意関数を初期値として導入した事、さらにその三角級数展開を利用した事から始まりました。
そこで、函数とは何か？それが積分できるとはどういうことなのかということをめぐって論争が起きたのです。
さらに Fourierの熱問題に対する大胆な見事な結果によってその基礎付けが最も重要な問題になりました。
Riemannの学位論文の一つは、この任意関数の三角級数の表現可能性、この論文の中でRiemannは積分を定義して積分可能条件を与えた。
この論文の穴埋め、また発展が解析学の主流になっていく。この過程で Cantorの集合論が強力な道具として誕生し、最終的にLebesgueの積分論の誕生で一連の問題が解決されるのである。
このような歴史的な背景を数学工房で取り扱う、解析の諸講座のバックグランドとして興味深いトピックスを通じて取り上げることにします。
2016年度はFourier解析を系統的に取り上げますので、その補いも兼ねての講座です。
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項目
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- 絃の振動をめぐって d'Alembert、Euler、Bernoulli
- Fourierの熱伝道の方程式の解法
- Riemannの積分
- 理性に反する函数（実解析学の黎明）そしてLebesgueへ
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日時
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４月３０日（土） １４：００－１８：００、
５月１日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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再生核Hilbert空間への入門
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内容
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〔2016/4/20更新〕 核関数は複素解析の研究手段として領域で2乗可積分な正則関数の空間に導入されました。
その後、複素解析の立場から集中的に研究され領域の幾何学的研究にも有用であることはよく知られています。
しかし一方、1950年に出版されたアロザシンの論文で一応の完成をみた再生核の一般論はとても美しい理論であるが、
それ自体で、閉じた小世界を作っていて、あまり発展性のあるものとは思われていなかったようです。
この方面に、一般の集合からのHilbert空間値写像から自然に生成される核型Hilbert空間の存在という
新しい視点を与え豊かな応用を持つ最近の発展の礎を気付いたのは斎藤三郎先生で、その考え方をベースにした再生核理論入門です。
ただしHilbert空間とその上の有界作用素については、補正を要する点のみを述べることにします。
基本的には初級の抽象線型代数でやったことから類推が利くと思います。無論ここで扱うのは、ごく入口にすぎません。
特にRieszの表現定理の強力さを味わってください。
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項目
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- 記号、概念、Hilbert空間についてのいくつかの注意
- 核を持つHilbert空間の一般論から
- Hilbert空間の双対に値をとる写像から導かれる核型Hilbert空間
- 2次正定符号函数と再生核
- 例
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日時
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５月３日（火・祝） １４：００－１８：００、
５月４日（水・祝） １１：００－１６：００
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２０１５年度 春学期講座
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入門
初級
初級・中級
中級
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〔講座について〕
- 今学期は新規開講講座はありませんが、MAは毎学期取り扱うテーマが独立なので中途参加可能です。 入門および初級講座は、ご希望の方の素養によっては中途からの参加も可能です。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全4回講座では、第1回目¥10,000（学割 ¥9,000）、第2回目以降¥8,000/回（学割 ¥6,000/回）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程
Fourier級数序論
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レベル
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入門
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内容
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Fourier解析を中心に交差する数学の世界は、実り豊かで眺めるだけでも楽しいものです。
T.W.ケルナーの「フーリエ解析大全」やジグムントの大著「Trigonometric Series（三角級数）」を拾い読みすると、実に面白いことがいっぱい書いてあります。
普段の数学工房では、どちらかというと体系的な取り扱いを強調していますが、
今回は解析教程の続編として、いつもと違うスタンスでFourier級数の性質の正当化を起源とするに現代的な解析学の定理や理論の故郷を訪ねます。
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項目
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- 記号、概念
- Dirichlet核、Fejér核
- Fejérの定理と幾つかの帰結
- Weylの一様分布
- 単純収束定理
- トピックス
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日付
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隔週日曜日・全６回
１／２４、 ２／７、 ２／２１、 ３／６、 ３／２０、 ４／３
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論
大域的Cauchy理論
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レベル
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入門
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内容
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秋学期は複素平面上の微分形式の一般論を扱い原始関数の存在定理、道に沿った積分を論じました。
今学期は、複素対数関数、複素正則関数から始まり、ホモトピー、大域的Cauchy理論へと進みます。
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項目
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- 複素対数
- 複素対数関数、複素n乗根
- 正則対数関数
- 正則n乗根
- ホモトピー
- 正則関数のCauchy理論
- Cauchyの定理
- Cauchyの積分公式
- Cauchy、Taylorの表現定理
- 連続定理、一致の定理
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／５、 ３／１９、 ４／２
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＣ． 形式冪級数をめぐって
Weierstrassの準備定理
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レベル
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初級・中級
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内容
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秋学期に可換環上の形式冪級数環とイデアルの構造を論じました。
今回は、多変数関数論の局所理論で重要なWeierstrassの準備定理をとりあげます。
この定理は一般に解析局所環にまで一般準備定理として拡張されることが知られています。可換環のトピックスとして面白そうですが、この方面について私は知識がありません。
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項目
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- 冪級数の多重添え字の扱い
- 形式冪級数環の完備性
- 不動点定理
- Weierstrassの準備定理
- トピックス
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２４、 ２／７、 ２／２１
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と微積分
多変数の高階微分、Taylor公式、極値
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レベル
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入門
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内容
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実変数の多変数関数の高階微分と平均値定理、グラージェント、ヘッセ行列、ラプラシアン、そして多変数のTaylor公式、極値の分類などを座標フリーの方法で明確に扱います。
昔から今に至るまで、困ったことに、学部段階での多変数解析の基礎教育は不十分で、多変数の微分法や積の意味、役割を知らないまま、応用解析諸分野はもとより
純粋数学の専門諸分野、例えば多変数関数論や種々のクラスの多様体を
その準備不足のぜい弱な基盤のままで学ぶと言う不合理が一向に解消されていないようです。
この講座はそのようなねじれの解消に幾分でも役立つ事を願って作られています。多変数の微分法の知識をリフレッシュしたい方にお勧めです。
Euclid空間の線型代数と1変数微積分のある程度の素養があれば参加できます。
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項目
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- r回連続微分可能な関数のクラス
- グラージェント、ダイバージェンス、Hesse行列、ラプラシアン
- 高階微分とテンソル表示
- 剰余付きTaylor公式
- 極値と極値の分類
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日付
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隔週日曜日・全６回
１／１７、 １／３１、 ２／１４、 ２／２８、 ３／１３、 ３／２７
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＧ． 確率論の数学概論III
多変量の分布の数学的構造
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レベル
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入門
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内容
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秋学期は分布の理論的構造と1次元期待値積分を中心に解説しました。今回は多次元の分布と期待値積分を解説します。
厳密な証明よりも数学的仕組みの把握に重点を置くID方式の講座です。
ある程度分布の基礎理論を御存じの方で多変数の場合の数学的仕組みを知りたい方は中途参加可能です。
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項目
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- n次元確率分布
- 同時分布関数
- 変数変換
- 確率変数の独立
- 多次元Riemann-Stieltjes積分
- 期待値積分
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／２３、 ２／６、 ２／２０
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相III
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レベル
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初級
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内容
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夏学期、秋学期と主に函数空間の研究で重要なトポロジーの基礎概念を取り扱いました。
その応用として函数解析の根幹である、写像空間のいくつかの位相と、さらに補充として
具体的な関数空間の取り扱いの基礎になる正規空間上の連続関数の存在定理とパラコンパクト空間を取り上げます。
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項目
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- 関数の空間の各点収束位相と一様収束位相
- 写像空間の単純収束位相とコンパクト、形式冪級数の空間
- 連続関数空間の一様収束位相、Ck級関数の空間、正則関数の空間、急減少関数の空間
- コンパクトな台を持つ連続関数の空間
- 正規空間と連続関数
- 正規空間、Urysohnの定理、Tietzeの拡張
- 局所有限被覆に関する単位の分解
- パラコンパクト空間
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日付
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隔週日曜日・全３回
２／２８、 ３／１３、 ３／２７
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数III
内積空間の幾何学、基本的作用素のクラス
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レベル
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初級
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内容
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一般位相と並んで最も基本的かつ重要な型げいことしてこの講座は設けられていますが、
同時にこの辺の内容は応用上も極めて有用な部分です。また将来、函数解析、特に作用素の一般論を勉強される方は、
このあたりの事を知っておいたほうがよいでしょう。
前半は内積空間の幾何学：直交性、正射影定理から始まり、直交化、線形形式とその応用まで。
後半は作用素のクラス。純粋応用を問わず、いたるところに現れる基本的な作用素の一般論です。
2次形式のより詳しい理論や特異値、特異ベクトル等は集中セミナーで取り上げる予定です。
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項目
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- 内積空間の幾何学I
- 内積空間の幾何学II 線型形式の表現定理
- 基本的な作用素のクラス
- 対称変換とスペクトル
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／１７、 １／３１、 ２／１４
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＡ． 函数解析概論II
函数解析の展開される場I
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レベル
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初級・中級
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内容
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函数解析が展開される場、関数空間や作用素の展開される場の記述の基礎として必要事項のまとめです。
事柄が多岐にわたるので公式や定理の意味、構造を明確に描写するように努めますが、証明は省略することがあります。
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項目
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- 位相線型空間の一般論から
- 局所凸線型空間
- 双対空間とHahn-Banachの定理
- ノルム空間、Banach空間
- 各点収束位相、一様収束位相、級数
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／６、 ３／２０、 ４／３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． Fredholm作用素とCalkin環
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レベル
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中級
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内容
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Hilbert空間の作用素の概略の最終回です。無論作用素論そのものを勉強されるなら、この講座で扱ったことはほんの入口にすぎません。
作用素環の勉強のための補充としてこのぐらいで満足しましょう。
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項目
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- Calkin環
- Fredholm作用素の定義と基本的な性質
- Fredholm作用素の特徴付け
- 指数（Index）の理論
- Fredholm作用素の空間の連結成分
- Weyl、von Neumann、Haag の定理
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／３０、 ２／１３、 ２／２７
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１５年度 冬期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中講座は¥18,000(学割¥15,000)です。1日のみご参加の場合は¥10,000(学割¥8,000)です。
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講座名
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数学の基本語彙と文法III
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内容
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秋学期の「数学の基本語彙と文法II」では、ZornのLemmaと選択公理、集合の濃度、フィルタ等を取り扱いました。
現代数学の基礎素養として、今回は、現代数学の対象の最も原理的かつ強力な構成手段である同値関係と、同値関係より生じるコセットをテーマにします。
この部分は数学の学習にとっての鬼門として定評のある部分です。この辺りで挫折をした経験のある方が少なからずいると思います。
同値関係による不変性や準同型、準同型定理等かなり掘り下げた内容まで扱う予定です。
応用として、群の剰余類の空間（軌道空間）と準同型定理、線型空間の商空間等を扱います。
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項目
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- 同値関係と集合の分割
- 群構造に整合する同値関係
- 群の作用と軌道空間
- 商空間
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日時
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１２月２６日（土） １４：００－１８：００、
１２月２７日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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解析学と代数特論
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内容
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前々から取り上げようと思っていて延び延びになっていたテーマです。解析数論からのテーマは、解析学、代数、幾何学の総合演習として、
数学の技量と感覚の向上に有益であること、そして内容そのものが面白く、問題が分かりやすい事、分けてもこのテーマは各種のζの先駆けとなった点でも面白い。
先ずはDirichletの算術級数上の素数分布から始まります。
今回の内容は2010年頃に行った Siegelの「Analytische Zahlentheorie（解析数論）を読む」をもとにしています。
続編としてL函数と一般Bernoulli数、L函数と特殊値、概均質空間上のZeta函数等を考えています。
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項目
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L函数 I
- Introduction 素数が無限個ある事（EuclidとEulerの証明）
- 算術級数上の素数分布 特別な場合
- L函数
- 有限Abel群と指標空間
- 算術級数上の素数分布
続編として、L函数と一般Bernoulli数、L函数と特殊値、概均質空間上のZeta函数等を考えています。
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日時
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１月９日（土） １４：００－１８：００、
１月１０日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Banach環 原始環・半単純環
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内容
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原始環は忠実な既約表現が存在する環です。したがって線型作用素の既約環の研究に帰着します。
Radicalが{0}のみからなる環を半単純という。最後は半単純環が原始環の部分直和になる、という基本定理が示されます。
この部分は将来見取り図として膨大な知識の整理に役立つでしょう。
原始イデアルや極大両側イデアルのつくる構造空間（可換環の素イデアル空間、極大イデアル空間の一般化）のHull-kernel位相に続く。
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項目
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- 前回までの要約
- Radical
- 原始Banach環
- 極小イデアルを持つ原始Banach環
- 双対と随伴
- 片側極小イデアルをもつ原始Banach環の表現定理
- 半単純Banach環の構造
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日時
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１月１１日（月・祝） １３：００－１７：００、
１月１６日（土） １４：００－１８：００
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講座名
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新年の懇親会
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内容
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〔2016/1/4現在〕今回は、趣を変えて数学工房の近くのスペインバル リサリサで開く予定です。
スペイン名物の雰囲気を味わいながら数学談義をお楽しみください。
会費¥4000です。アルコールは一応御用意しますが、余分に飲みたい方は自前になりますのでよろしくお願いします。
会場：スペインバル リサリサ（Spain Bal Risa Risa）〔住所：豊島区駒込1-3-4 モンテベルテ六義園 1F、Tel：03-5976-3361〕
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日時
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１月１１日（月・祝） １８：００－
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２０１５年度 秋学期講座
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入門
入門・初級
初級
中級入門
中級
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〔講座について〕
- 今学期の新規開講講座は、IF、MA のみですが、入門および初級講座は、ご希望の方の素養によっては中途からの参加も可能です。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全4回講座では、第1回目¥10,000（学割 ¥9,000）、第2回目以降¥8,000/回（学割 ¥6,000/回）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程
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レベル
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入門
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内容
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解析学は大まかに18世紀までの流れをくむものと、19世紀以降に発達したものとに分けられる。
前者は古典解析、後者は実解析と呼ばれる。通常、理工系大学の基礎教程で学ぶおなじみの実際的な解析の教程が古典解析である。
今回は古典解析の内容、初等超越関数、定数係数の微分方程式を前学期までの現代的な基礎に立って取り扱う。
Fourier級数へ続く
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項目
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- 実解析関数、初等関数
- 一般論
- 初等超越関数
- 定数係数の微分方程式
- トピックス
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日付
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日曜日・全６回
９／２０、 １０／４、 １０／１８、 １１／８、 １１／２２、 １２／６
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論II
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レベル
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中級入門
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内容
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複素解析の現代的な応用を目指しRiemann面を視野に入れた複素関数論の基礎コースです。
函数解析概論同様、一定の段階に達するまでは急がず丁寧に進んでいきます。IA、ID、G、EAまでの基礎知識はある程度の習熟を前提にします。
念頭に置いているのはH.Cartanのエレガントな教科書「複素函数論（高橋礼司訳、岩波書店）」+αです。
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項目
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- 微分形式
- 微分形式の積分
- 微分形式の原始関数
- Green-Riemannの公式
- 閉微分形式
- 道に沿った原始関数
- ホモトピー
- 正則関数のCauchy理論
- Cauchyの定理
- Cauchyの積分公式
- Cauchy、Taylorの表現定理
- 連続定理、一致の定理
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／１４、 １１／２８、 １２／１２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 形式冪級数環をめぐってII
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レベル
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入門・初級
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内容
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様々な領域に広い応用を持つ、形式冪級数環を扱う代数のアドバンストコースです。夏学期は、体K上の一変数形式冪級数の取り扱いを詳しく説明しました。
今回は数学的には必ずしも前回の内容は必要としません。基礎から始めます。直接的な素養としては、抽象線型代数と可換環の理論へのある程度の習熟が期待されます。
今学期のねらいは2つあって、第1は、体K上の1変数形式冪級数では現れない様々な可換環のイデアルの典型を見ること。（可換代数の補充）
第2に多変数形式冪級数環の理論への準備として。参考書はAtiyah、Macdonaldの本「Introduction to Commutative Algebra」、1・2章 程度で十分です。
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項目
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- 可換環上の冪級数環
- 可換環のイデアル概論
- 可換環上の冪級数環の構造
- 多変数形式冪級数環
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／１５、 １１／２９、 １２／１３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と微積分
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レベル
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入門
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内容
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今学期はいよいよベクトル解析の概略に入ります。解析学や幾何学等のアドヴァンストコースに進む際の直感の基礎として、
また線型代数の解析学の基礎における役割の理解に極めて有用です。グラジュエートのレベルに行く前に本来は必ずやっておくべき内容です。
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項目
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- 連続写像、ベクトル場
- 領域上の積分
- 線型代数からの補充
- 写像の微分とJacobi行列、積分の変数変換
- 基礎積分の計算
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日付
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日曜日・全６回
９／２７、 １０／１１、 １０／２５、 １１／１５、 １１／２９、 １２／１３
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法II
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レベル
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入門
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内容
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全ての現代数学の基礎である、Zornの補題の定式化と用法、それを基礎にして選択公理を扱います。
トピックスとしては、集合の濃度の理論の基礎を扱う予定です。
無論この講座の趣旨は，各数学の分野の展開に当たって必要な基礎素養としての立場で、基礎論や集合論には深入りはしません。
無論、本講座はEA、MAに密接に関連します。
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項目
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- Zornの補題の定式化と用法
- 選択公理
- 直積集合
- 選択公理の導出
- 選択公理から導かれる基礎原理
- トピックス
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／１９、 １０／３、 １０／１７
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＧ． 確率論の数学概論
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レベル
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入門
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内容
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夏学期では、偶然をいかにして数学化するかというテーマに沿って、σ代数、測度、ランダムバリアブルと分布関数、密度関数を導入しました。
今回は最初に、復習を兼ねて前回取り扱った基礎概念の再定式化から始めます。また測度の積分の意味をはっきりさせます。
とりわけ、分布の意味を論理的に明確につかみましょう。その準備のもとに再び前回と同様の方針に戻って、分布の期待値、分散、モーメント等
確率論の数学の仕組みを半ば直感的に追跡していく予定です。
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項目
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- 確率事象のσ代数、可測写像再論
- 確率変数の積分、期待値、分散、モーメント
- 多変数の分布と分布関数
- 確率変数の独立
- 期待値積分
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／７、 １１／２１、 １２／５
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相（アドヴァンスト コース）
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レベル
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初級
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内容
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フィルタ、ネット、射影位相、帰納位相など、現代数学の展開に必要不可欠な道具を学びます。
一般位相にある程度熟達した方で、このトピックスに興味のある方にもお勧めです。
関連する講座として、今学期からMA 函数解析概論 が始まります。
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項目
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- フィルタ
- フィルタの一般論（復習）
- フィルタによる位相の記述
- ネット
- ネットの概念、フィルタとの関係
- ネットによる位相の記述
- 射影位相、帰納位相
- 始位相、終位相
- 射影位相
- 帰納位相
- 直積位相
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２０、 １０／４、 １０／１８
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数II（線型写像、写像の空間）
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レベル
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初級
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項目
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- 線型写像の定義と基本的性質
- 線型写像の空間と応用
- 線型形式と双対空間、アジョイント
- 行列表現
- 線型変換と線型変換の代数、最小多項式
- 射影
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／２６、 １０／１０、 １０／２４
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＡ． 函数解析概論I
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レベル
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中級
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内容
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現代解析学の諸分野を本格的に勉強するにあたっての、基礎数学の素養を養うことを目的にしています。
IA、ID、G、EA等のアドヴァンストレベルの基礎数学講座です。もとより、その範囲は広大で系統的に満足に身につけることは容易ではありません。
数学にだけのことではないと思いますが、高度に技術的な事を学ぶ骨は、基本的な部分を、理論を自分で構成できる程度に、概念を操作できるように、しっかりと身につけることです。
そうすると、先に行くと見通しがきくようになり、結果だけを見ても意味や位置づけができるようになります。これが意外にできている人が少ないのです！
是非とも数学の学びの骨を身につけてほしいものです。実際、この講座では基礎の仕組みに十分に時間をかけた後は、結果と概念の構成その役割の説明のみをすることになります。
例えば、今学期の目次にあげられている項目については、細部まで手ほどきする予定です。ここまで来ると、多くの結果は証明なしでも理解できるようになるでしょう。
次学期は、位相線型空間、Banach空間、Hilbert空間、Lp空間等の必須事項を取り扱います。講座IA、ID、G、EA（距離空間と関数解析序説）程度の素養を期待します。
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項目
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- σ代数と測度、外測度
- 可測空間、可測写像
- 可測関数の積分
- 完備化と直積測度空間
- Lp
- Radon測度
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／８、 １１／２２、 １２／６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． コンパクト作用素II
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レベル
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中級
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項目
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- コンパクト作用素の基本的な性質
- 正値作用素に対するトレースとSchatten p-norm
- Schatten p-classのLp理論
- 重要な例
- Hilbert空間のテンソル積
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２７、 １０／１１、 １０／２５
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１５年度 夏期集中セミナー
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一覧
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※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔料金について〕
- 2日間の集中講座は¥18,000(学割¥15,000)、1日の集中講座は¥10,000(学割¥8,000)です。
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講座名
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Advanced Linear Algebra
2次形式、特異値、特異ベクトル、線型写像の展開
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内容
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抽象線型代数通年コースを終えられた方向けの総合演習です。理論の美しさを味わいながら、数学の作り方を学んでください。
線型写像の特異値展開はSchatten形式によるコンパクト作用素の展開の特別なもので、起源はWeylによる積分作用素の近似です。
本来解析起源の故か、線型代数としての内在的理論として満足できる水準のこの題材についての教科書は私の知る限りでは見当たりません。
そこで、このテーマの応用上の重要さと将来の作用素論への準備として取り上げることにしました。
尚この理論のまとめに当たっては、数学工房の研究会での議論が少なからず寄与していることを申し添えておきます。
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項目
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- Adjointのまとめ
- 対称変換、正射影、2次形式の基本定理
- 特異値、特異ベクトル、展開定理
- いくつかの応用（一般化逆、特異値分解 等）
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日時
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８月２２日（土） １４：００－１８：００、
８月２３日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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体積形式・交代形式・行列式、符号の基礎付け
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内容
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計量から本質的に一意に定まる有向体積の幾何学の基礎を取り扱います。この考えは、Riemann計量を持つ多様体の局所構造の幾何そのものといってよいでしょう。
ここから行列式、Gram行列式の持っている役割の重要さが理解できるでしょう。
例年、秋学期の通常講座の前半2回を充当する予定で始めるのですが、その結果解析的な部分が駆け足になるきらいがありました。
そこでこの部分を独立させて、またそれ自体の重要さを考慮して内容を充実させました。
現在IDを受講されている方は無論ですが、復習を兼ねて数学を深めるのに最適の材料です。
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項目
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- 平行2n面体の有向体積と体積形式
- 群の言葉から
- n次交代形式
- 線型変換の行列式
- 符号再論
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日時
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８月２９日（土） １４：００－１８：００、
８月３０日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Bernoulli多項式、Euler-Maclaurin展開、Riemann Zeta
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内容
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4月に続いてBernoulli数、Bernoulli多項式をめぐる美しく神秘的なトピックスを取り上げます。
手を動かしながら、数論的古典解析を楽しみましょう。
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項目
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- べき乗和、Bernoulli数、Bernoulli多項式
- Euler-Maclaurinの公式
- Riemann-Zetaの評価への応用
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日時
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９月５日（土） １４：００－１８：００、
９月６日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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多元環の表現II
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内容
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前回の集中では非可換多元環の構造を取り扱いました。今回はその結果を踏まえて、
非可換多元環の表現の基礎を丁寧に取り扱います。
非可換環の表現が問題なので、当然可換の場合に比べると概念が細文化され複雑になります。
将来ご自分で使えるように、あわてずに概念をしっかり理解してください。
可換の場合は退化して比較的なじみのある概念になります。
例えば根基の概念は可換環ならJacobson radicalにほかなりません。比較しつつ整理するとよいでしょう。
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項目
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- 多元環のイデアルのまとめ
- 多元環の表現の基礎概念
- 表現の定義
- 多元環の右正則表現
- 普遍性、既約性、サイクリック
- 表現の縮小と還元
- 左正則表現の縮小
- 左正則表現の還元
- 表現の同値
- 表現の正則表現への帰着
- 左イデアルによる正則空間と商イデアル
- 原始イデアル
- 根基
- 根基の定義、根基環と半単純環
- 根基の基本的な性質
- Banach環の根基
- 強根基
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日時
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９月１２日（土） １４：００－１８：００、
９月１３日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Stone-Weierstrassの定理とBishopの定理
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内容
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Stone-Weierstrassの定理は、古典的なWeierstrassの多項式近似定理の拡張です。
この定理では、関数環が実関数環、または複素関数環の場合は自己随伴であるという条件が要ります。
この定理の複素関数環への拡張がBishopの定理です。
時間があればKrein-Milmannの定理との関係も扱う予定である。
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項目
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- 測度論からの補充
- 複素測度
- Radon-Nikodymの定理
- Radon測度の理論から
- Riesz-Markov-Kakutaniの定理
- Bishopの定理とStone-Weierstrassの定理
- トピックス
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日時
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９月２１日（月・祝） １１：００－１７：００
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２０１５年度 夏学期講座
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入門
初級
中級
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〔講座日程について〕（2015/07/01 更新）
- 講座ＩＡ、ＩＤ、ＩＧの開講日程（7月・8月分）に変更がございますので、ご確認ください。
〔講座について〕
- 今学期の新規開講講座は、ＩＡ、ＭＢを除く7講座です。ただし講座（特に基礎講座）の申し込み状況によっては、
講座が休止あるいは別講座に振替になることもあります。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全4回講座では、第1回目¥10,000（学割 ¥9,000）、第2回目以降¥8,000/回（学割 ¥6,000/回）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程IV
剰余付Taylor公式、関数列、関数項の級数
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レベル
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入門
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内容
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〔2015/6/1更新〕 今学期のテーマは関数項の級数の一般論です。
ここで、各点収束と一様収束という最も基本的な2つの収束のモードが導入されます。一様収束の導入の際にsup normが定義され、
一様収束はノルム収束として定義されます。さらにノルムCauchy列、ノルムに関する完備性、級数のノルム収束についての
Cauchy判定等が論じられます。ここで、有界関数のBanach空間、閉区間上のCk級関数のBanach空間に初めて出会うのです。
各点収束とノルム収束の関係は、函数解析の展開において、土台になる部分です。
次に前半の一般論を用いて、先ずは古典論の土台である収束冪級数の理論を展開します。
古典論に登場するすべての関数は、冪級数と線型微分方程式、積分によって制御されるのです。
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項目
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- 関数列・関数項の級数
- 関数列の収束概念
- 閉区間上のCk級関数のBanach空間
- 関数項の級数
- 冪級数
- 剰余付Taylor公式とその応用
- 積分の平均値定理
- 剰余付Taylor公式
- 若干の応用
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日付
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日曜日・全６回
５／１７、 ５／３１、 ６／１４、 ６／２８、 ７／１９、 ８／２
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＢ． 複素解析
正則関数からRiemann面まで
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レベル
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初級
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内容
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〔2015/6/1更新〕 今回のシリーズは領域の正則関数の理論から始まり、Riemann面上の代数関数論へ至るのが目標です。
今学期は準備です。領域上の正則関数の概略から始めて、Global理論のカギになるCauchyの積分公式を復習します。
応用として局所理論を次の展開に備えて少し詳しくやります。この準備の後前層の一般論に入っていきます。
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項目
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- 正則関数の基礎理論
- 複素微分、正則性
- 領域上の正則関数、正則関数環
- 線積分と積分公式
- 局所理論
- PresheafとSheafの一般論
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日付
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変則日程・全３回
７／１９、 ７／２０、 ８／２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 形式冪級数をめぐってI
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レベル
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初級
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内容
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〔2015/6/22更新〕 代数系の入門講座をたびたび通常講座および集中セミナーで取り上げてきました。
そこで現れた諸概念や理論を総合的に理解し技量の向上と代数的思考を深めることを目的とする講座です。
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項目
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- K係数の形式冪級数環
- 数列空間のCauchy積
- 形式冪級数環の定義
- 位数、一般化された和
- 位数から導かれる距離（完備距離空間としての形式冪級数環）
- 代入
- 形式微分、逆関数定理
- 移動作用素と線型漸化式
- 写像空間のBorel積
- 定数係数の線型斉次微分方程式の解空間
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日付
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隔週日曜日・全３回
６／２８、 ７／１２、 ７／２６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と多次元の微積分
Euclid空間の幾何と線型代数
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レベル
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入門
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内容
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〔2015/6/1更新〕 夏学期は多次元空間のベクトル代数と内積から始まり、初等線型代数の若干の概念が導入されます。
そのあとで この空間の基礎図形の簡単な幾何を導入します。線分、直線、アフイン平面、平面凸図形、球等を扱います。
そしていよいよこの講座のポイントである初等線型写像が入ってきます。
この続きで夏期集中セミナーでは計量から導かれる体積形式、行列、交代形式、行列式等の幾何学的理論を扱います。多変数解析理解の核心です。
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項目
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- Euclid空間の代数と幾何
- 数ベクトル空間
- 内積空間
- Euclid空間の初等幾何
- 線型代数の言葉から
- 行列と線型写像1
Euclid空間の体積形式、交代形式は、夏期集中セミナーの形で開講します。
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日付
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日曜日・全６回
５／２４、 ６／７、 ６／２１、 ７／１２、 ７／２６、 ８／１ (14:00-16:00)
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法I
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レベル
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入門
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項目
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- イントロダクション Σの用法と数学的帰納法
- 集合、集合族の算法
- 写像の定義と、像と原像の算法
- 写像の代数
- トピックス
II 無限の作法、III 同値関係と商空間 に続く。尚両講座は集中セミナーの形での開講を予定しています。
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／１６、 ５／３０、 ６／１３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＧ． 確率論の数学概論
IDの立場から
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レベル
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入門
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内容
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〔2015/5/25更新〕 ゆったりした教程で、確率論および数理統計の基本概念の数学的記述の根拠を理解してゆく。
今学期は現れないが離散的な期待値の性質を調べたのち、その性質を公理化したシンボリックな期待値積分を導入する。
これは実質的に確率測度の積分の公理論的定義である。
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項目
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- 確率論の記述の 数学的枠組み
- 標本空間と確率事象族（可測空間）
- 確率測度（確率空間と基礎モデル）
- 確率計算の基本ルール
- 事象の独立
- 確率変数と分布
- 確率変数（可測関数）
- 確率変数の代数
- 1次元確率変数と分布、分布関数
- 連続型確率変数
確率分布と分布の特性量に続く
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日付
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毎週土曜日・全３回
７／１１、 ７／１８、 ７／２５
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相 （アドヴァンストコース）
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レベル
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初級
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内容
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〔2015/6/1更新〕 距離空間と一般位相の基本知識は既知として、現代数学の道具としての一般位相概論を見る。
一般位相の基本事項を復習後、一つの集合上の位相全体が完備束になることが分かる。ここから様々な位相を生成し操る技術が生まれるのである。
それから、一般化された極限を扱う際に事に 有用なネット、フイルターを導入する。
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項目
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- 位相空間の一般論
- 基本概念
- 開集合系・閉集合系・近傍系
- 点のトポス、閉包、開核
- 連続写像、同相写像、位相同型
- 位相の比較と構造
- 位相の順序と生成
- 位相の基底、準基底
- フイルター
- フイルターの一般論
- フイルターによる位相の記述
- ネット
- 有向集合とネット
- ネットによる位相の記述
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／１７、 ５／３１、 ６／１４
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数I （線型空間論）
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レベル
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初級
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内容
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〔2015/5/16更新〕 より高度な数学を学びたい方は位相と並んで、抽象線型代数の基礎をしっかり身につけることをお勧めします。
抽象線型代数はもっとも基本的な現代数学の言語で、とりわけ解析学はしばしば数学の構造そのものが抽象線型代数の論理により規定されています。
しかるに存外学び難いものでもあります。意識が成熟してこないとなかなか本当の意味や射程がわかりません。それを通して現代数学の作法を学ぶのです。
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項目
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- 線型空間論 典型と表現
- 線型空間の定義と基本的な性質、典型的な線型空間
- 線型部分空間、線型部分空間の演算、生成される空間、直和
- 従属、独立、次元、基底
- 無限次元線型空間
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／２３、 ６／６、 ６／２０
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． Hilbert空間上の作用素III
コンパクト作用素
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レベル
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中級
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内容
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〔2015/5/16更新〕 Hilbert空間上の有界作用素環の有用なふるまいの良い両側イデアルは、
コンパクト作用素のイデアルのほかにはあまりないように見えます。ところが解像度を上げると、有限階作用素とコンパクト作用素のイデアルの間に
有用なイデアルが無数に存在するのです（位相の使い分けの面白さ！）。後半はこれらの興味深いイデアルの構造に入っていきます。
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項目
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- 準備
- コンパクト作用素の基本的性質
- Schatten form
- コンパクト作用素の展開定理
- 作用素イデアル とりわけSchatten Classについて
- 演習と補充
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／２４、 ６／７、 ６／２１
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１４年度 春期集中セミナー
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一覧
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〔料金について〕
- 2日間の集中講座は¥18,000(学割¥15,000)、1日の集中講座「2項係数、Bernoulli数（数学の自然への感覚）」は¥10,000(学割¥8,000)です。
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講座名
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凸関数 解析学演習
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内容
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〔2015/4/8更新〕 解析教程の補充として1実変数の凸関数の理論を扱います。とりわけ幾何学的凸性あるいはその一般化は、
もっとも興味深い数学解析の対象のクラスの一つであり多くの重要な原理を含んでいます。
また、微積分の基本定理に至る古典解析的な発想に対して、Cantorの集合論が本質的に有用な
実解析的な見方の有用さが分かる例が登場します。最後の練習問題は、有理点で微分不可能で無理点で微分可能な関数の構成です。
無論代数的数についても同様です。
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項目
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- 凸関数の定義と特徴付け
- 凸関数の滑らかさ
- 問題集
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日時
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４月１８日（土） １４：００－１８：００、
４月１９日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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多元環の表現 Banach環の構造
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内容
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〔2015/4/16更新〕 函数解析の枠を超えて代数幾何学や、トポロジーに大きな影響を与えた
Gelfand-Naimarkの定理、と作用素環に向けての準備として多元環のイデアルの構造と表現を扱う講座です。
比較的皆さんになじみがないのと、あまり手ごろな入門書がないので、概念の定義から丁寧に進めていきます。
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項目
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- イデアルと剰余環
- モジュラーイデアル
- 剰余環
- 極小イデアル
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日時
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４月２５日（土） １４：００－１８：００、
４月２６日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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2項係数、Bernoulli数（数学の自然への感覚）
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内容
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〔2015/4/8更新〕 2項係数、Fibonacci数とかBernoulli数のような数は
しばしば思わぬところに定数として出てきます。数学と親しい皆さんもきっとそういう体験をされたことがありますね？なぜでしょうか？
問題の原点に返って自然な定式化をしてみましょう。線型代数の枠組みで見ると、Bernoulli数とはある重要な作用素の自然な基底に対する展開係数であることが分かります。
これは興味深い関数空間とその上の作用素の特性量の数論という風景の原点に見えます。
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項目
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- イントロダクション（歴史的な問題）
- Bernoulliの着想（自然な定数としてのBernoulli数）
- 線型代数の力
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日時
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４月２９日（水・祝） １１：００－１６：００
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講座名
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Quaternion Algebra
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内容
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〔2015/4/8更新〕 実数、複素数と進むノルム体の系列で最初に現れる
重要で面白いノルム非可換体です。それ自体への興味もさることながら、言うまでもなく、外積代数や多元環の表現論という豊かな数学的対象の諸分野の起源です。
Banach環のイデアルの構造と表現定理を系統的に取り上げるにあたって、その準備を兼ねてセミナー化してみました。
Springerの「数」（Ebbinghaus [ほか] 著）は良い参考書です。
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項目
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- イントロダクション
- 行列表現
- Imaginary Space
- Quaternion Product, Vector Product, Scalar Product
- Hの非可換
- 四元数の乗法とベクトル解析
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日時
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５月２日（土） １４：００－１８：００、
５月３日（日・祝） １１：００－１６：００
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講座名
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実線型空間と複素線型空間
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内容
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〔2015/4/8更新〕 複素と実構造の関係は、複素多様体の複素構造などを問題にするまでは
あまり体系的に扱われることはないと思います。学部段階の複素関数論や線型代数は、根拠不明のままやみくもに便利という理由のみで
複素数体上で展開されているわけです。
実行列を複素行列として見るということは何をやることなのか？ もっと高級な話になると、Cnの内の曲面の複素関数論や
複素型のHahn-Banachの幾何学的な意味は、実の場合とどう関係しているのか？ こういうことを構造的に理解することの基礎を取り扱います。
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項目
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- 複素線型空間の実構造
- n次元線型空間の実部と虚部
- 標準分解の計算規則
- 複素線型空間の実線型部分空間
- 複素線型空間の実線型変換
- 実タイプの変換
- 実変換の複素拡張
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日時
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５月５日（火・祝） １４：００－１８：００、
５月６日（水・祝） １１：００－１６：００
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２０１４年度 春学期講座
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入門
初級
初級・中級
中級
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2015年会費（1月～12月） ¥3,000（学生 ¥1,500）のご納入をお願いします（会費は据え置きました）。
※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔講座について〕
- 講座IF「数学の基本語彙と文法」は、随時開講です。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全4回講座では、第1回目¥10,000（学割 ¥9,000）、第2回目以降¥8,000/回（学割 ¥6,000/回）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程III
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レベル
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入門
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内容
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〔2015/1/6更新〕 解析教程はいよいよ佳境に入ります。前回は連続性から始めて、
Cauchyの微分の平均値定理まで、
さらに補充として、多項式と多項式関数の関係、導関数と微分等の関係を一般的に扱いました。
今回は、Riemann積分から始まり、連続関数や可微分関数の級数の一般論を扱います。
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項目
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- Riemann積分、微積分の基本定理
- 有界関数の積分
- 微積分の基本定理
- 関数列、関数項の級数（一般論）
- 関数列・関数項の級数 点ごとの収束
- 関数列・関数項の級数 一様収束
- 連続関数列、可微分関数列
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日付
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隔週日曜日・全６回
１／２５、 ２／８、 ２／２２、 ３／８、 ３／２２、 ４／５
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時間
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１１：００－１３:００
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講座名
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ＩＢ． 多変数関数論
（擬凸領域）
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2015/3/17更新〕 正則領域とはその領域からいかなる意味でも有理型関数としてさえも拡張できない領域で、
一変数複素関数論なら任意の領域が正則です（Weierstrassの定理）。
ところがHartogsが多変数ではすべての正則関数がより大きい領域に接続できる領域が存在することを示しました。
そこで正則領域の特徴付けが問題になったのです。
結局見出されたすべての特徴付けが同値だとわかりました（Oka-Bremermann-Norgeの定理）。
後にHörmanderは代数的な方法に変えて、函数解析的な方法で、非斉次Cauchy-Riemann方程式が
G-擬凸領域上で解をもつことを利用してこの問題を解き、解析的なアプローチに道を開きました。
今回は函数解析的な存在定理は引用にとどめ概略のみにとどめます。2013年夏学期からの多変数複素解析のシリーズの最後です。
来る2015年夏学期のIBは、1変数関数論かFourier解析を考えています。
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項目
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- 4つの擬凸概念
- Levi問題
- G-擬凸
- Rungeの定理
- Leviの問題、Oka-Bremermann-Norgeの定理
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日付
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毎週土曜日・全３回
３／２１、 ３／２８、 ４／４
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＣ． Modules（加群のテンソル積）
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2015/1/6更新〕 Atiyah、Macdonaldの本「Introduction to Commutative Algebra」第2章後半に沿っての概説です。
加群のテンソル積 が中心です。
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項目
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- 加群のテンソル積
- スカラーの制限と拡張
- テンソル積の完全列
- テンソル積の有向極限
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２５、 ２／８、 ２／２２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と多次元空間の微積分III
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レベル
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入門
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内容
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〔2015/1/16更新〕 多変数の微分法の基礎を原則として座標フリーの立場で扱います。多様体の前段とお考えください。
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項目
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- C1級関数のクラスとグラージェント
- C2級関数のクラスとHesse行列、Laplacian
- C2級Taylor公式と極値
- 高階微分とCk級クラス
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日付
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隔週日曜日・全６回
１／１８、 ２／１、 ２／１５、 ３／１、 ３／１５、 ３／２９
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． 位相線型空間概論（核型空間）
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レベル
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中級
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内容
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〔2015/1/14更新〕 皆さんは不思議に思われたことはありませんか。なんで
ユークリッド空間上の無限回微分可能な関数や急減少関数の空間の位相に整合するノルムがないのでしょう？
解析的に都合のいい関数空間になぜ無限次元Banach空間が現れないのか？
位相テンソル積の追求は、最後に関数解析学の最も自然な素朴な問題の一つにいきつくのです。
Grothendiekの面目躍如の仕事のさわりの紹介です。（この意味で
SchwartzによるSchwartz超関数の空間の発見は、
微積にとって良い型の関数空間の極北といえましょう。）
局所凸空間Eが核型空間とは、任意の局所凸空間Fとのテンソル積のε完備化とπ完備化が一致する著しい特徴をもった空間です。
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項目
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- 核型空間 定義と基本的な性質
- 核型空間の安定性
- 核型空間のMontel的性格（核型タイプ vs. Banachタイプ）
- トピックスまたは補充
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／１７、 １／３１、 ２／１４
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法 【随時開講】
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レベル
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入門
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内容
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〔2015/1/6更新〕 どのような分野にせよ現代数学をやるつもりなら必ず初めに学ぶべき最小限の素養です。
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項目
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- Σとは何か? 改めて問う
- 集合の代数
- 写像
- トピックス
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日付
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【随時開講】
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時間
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講座名
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ＩＳ． 代数関数論
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レベル
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中級
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内容
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〔2015/3/8更新〕 前回、一応Riemann-Rochの定理という
閉Riemann面上の微分の空間の定量的評価の美しい公式に達しました。
前回のソフイスケートされたWeil流微分概念に対して、今回は古典論の直接の拡張である、Hasseの微分から始めます。
そしてざっとRiemann-Rochの復習をして
Weil微分との比較それからRiemann-Rochのいくつかの応用、特に微分の分類をやる予定です。
2013年より始まった岩澤先生の代数関数論1、2章に沿ったシリーズは今回で一応の区切りをつけます。
関連するトピックスは機会があれば集中で取り上げる予定です。
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項目
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- Hasse微分
- Weilの微分概念との比較
- Riemann-Rochの応用
- 与えられた極を有するKの元（Weierstrassの定理）
- 微分の分類
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／８、 ３／２２、 ４／５
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＡ． 距離空間と解析学序説III
BaireのCategory定理とその応用
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レベル
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初級
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内容
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〔2015/2/26更新〕 EAでは例年春学期はトピックスを取り上げています。今学期は、
関数空間の入門として、応用上も重要なBaireの定理と連続関数空間の標準的な位相を、
大多数の皆様にはあまりなじみがないと思われる、最も一般的な擬距離空間の枠組みで取り上げます。
関数空間の位相を考えるときに、一番自然なのはネットの擬距離による収束です。擬距離は一様構造と同値なので、一様空間の入門にもなっています。
後半は細かい証明抜きに全体の状況を理解してもらいます。距離空間と位相にある程度習熟した方なら
理解に困難はないでしょう。最後は、存在問題で最も重要な連続関数空間のコンパクト性の特徴付けで終わります。
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項目
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- Baireのカテゴリー定理
- 第1類、第2類集合
- カテゴリー定理
- 応用例
- 一様有界性原理
- 連続関数空間の位相
- 擬距離と一様位相
- 完備性
- 全有界
- 連続関数空間の種々の位相と同程度連続性
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日付
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隔週日曜日・全３回
３／１、 ３／１５、 ３／２９
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数III
内積空間の幾何と作用素のクラス
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レベル
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初級
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内容
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〔2015/1/16更新〕 函数解析や作用素論、多様体等
現代数学の基礎領域に進むのに必須の基礎知識・道具であるとともに現代数学の作法を学ぶコースです。
私の経験では大半の方が位相の基礎とともに、この部分が心もとないようです。特にDuality！
いつも言うことですが、御自分で数学をやりたいならこの部分をしっかりしてください。
線型空間論および線型写像・変換の知識がある方は中途受講可能です。
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項目
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- 内積空間の幾何学
- 基本的な作用素のクラス
- 対称変換とスペクトル
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／１８、 ２／１、 ２／１５
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＢ． Hilbert空間の作用素
（スペクトルII）
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レベル
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中級
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内容
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〔2015/1/27更新〕 全く一般のHilbert空間の正射影に値をとる可算加法的集合関数としてのスペクトル測度の一般論
から始めて、自己共役作用素とユニタリ作用素のスペクトル分解をどちらかというとBanach環論的な方法で扱います。
ここからはBorel測度やRadon測度を道具として使っていきますので、測度論からの補充として、抽象測度の概略は学んだことのある人向けに
複素測度の基本からコンパクトハウスドルフ空間上の連続関数環の 双対空間の表現定理までの明確な解説を付けました。
数学工房初級程度の解析学、代数、一般位相、さらにHilbert空間とその上の作用素の基本的なこと、
スペクトル、スペクトル上のfunctional calculus 等の素養は必要です。それから、上で述べたように
測度論の極く基本的な部分はある程度の知識を期待します。
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項目
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- スペクトル測度とスペクトル積分
- 有界自己共役作用素のスペクトル分解
- ユニタリ作用素のスペクトル分解
- 測度論からの補充
- 複素測度
- Radon-Nikodymの定理
- Radon測度
- Riesz-Markov-Kakutaniの定理
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日付
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隔週土曜日・全３回
２／７、 ２／２１、 ３／７
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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２０１４年度 冬期集中セミナー
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入門
入門・初級
初級
中級
懇親会：
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【2014/12/25更新】
2015年会費（1月～12月） ¥3,000（学生 ¥1,500）のご納入をお願いします（会費は据え置きました）。
※集中セミナーに参加されるには年会費のお支払いが必要です。セミナー受講料と一緒にお支払いが便利です。
〔講座について〕
- 1月10・11日の集中セミナーのテーマを、都合により「狭義帰納極限・テスト関数空間、Schwartz超関数の空間」から
「核型写像の理論の展開」へと変更いたします。
〔料金について〕
- 2日間の集中セミナーは¥18,000(学生¥15,000)、お正月特別講座は¥6,000です。
- 「新年の懇親会」の会費は¥4500です。参加ご希望の方は、なるべくお早めにお申し込みください。
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講座名
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可換環
Exact Sequences, Directed Limit
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レベル
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入門・初級
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内容
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この集中セミナーは、主に次学期の加群のテンソル積の理論の準備を兼ねています。完全列と有向極限
の概念は様々なカテゴリーに現れる強力な道具ですので、習熟しておかれるとよいでしょう。
時間が許せば、最後にAtiyahのテクストの練習問題から何題かを御一緒に研究しましょう。
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項目
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- 完全列
- 有向極限
- 演習
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日時
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１２月２０日（土） １４：００－１８：００、
１２月２１日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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有界作用素のスペクトルI
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レベル
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初級
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内容
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〔2014/12/24更新〕 Hilbert空間およびその上の有界作用素について初歩的な知識がある方が対象になります。
例えば、完全正規直交系の存在、Rieszの表現定理、正射影定理etc、有界作用素とその随伴自己共役、
ユニタリ作用素などの概略。
どちらかというとBanach代数的な方法によるモダンな立場からの取り扱いです。
それ自体でも、抽象線型代数の続編として学んでいただけますが、この講座は本来作用素環の準備のために考えられた講座です。
春学期のスペクトルII、スペクトル測度、スペクトル積分etc、コンパクト作用素、Fredholm作用素に続きます。
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項目
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- 有界作用素のスペクトル
- 準備
- 基本概念
- スペクトルの分類
- 有界作用素のスペクトル分解
- 連続関数カリキュラス
- 解析関数カリキュラス、スペクトル写像定理
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日時
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１２月２７日（土） １４：００－１８：００、
１２月２８日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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【お正月特別講座】
幾何学の楽しみ 数学のセンスを磨こう
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レベル
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入門
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内容
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初等幾何の問題を楽しみながら、数学の感性と技術：
幾何学的直観、代数的な感覚、論証
の三位一体の力を向上させましょう。只今、昔故栗田先生にいただいた御著書とにらめっこして問題を選んでいます。
どのような問題が現れるかはお楽しみ。
尚、参加費が通常の集中セミナーと異なるのでご注意ください。
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日時
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１月４日（日） １３：００－１７：００
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講座名
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核型写像の理論の展開
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レベル
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中級
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内容
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〔2015/1/6更新〕 解析学の中に現れる良い型の現象の典型で、原型は熱方程式のFourierの仕事にさかのぼります。
核型写像を通じて位相テンソル空間の理論と解析学の理解を深めましょう。位相線型空間のテンソル積の完備化
についての概略の知識は期待します。
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項目
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- 準備
- 核型写像の諸性質
- Trace form
- Hilbert空間における核型写像
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日時
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１月１０日（土） １４：００－１８：００、
１月１１日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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新年の懇親会
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内容
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〔2014/12/25更新〕 詳細は以下の通りです:
[場所] 文京グリーンコート 海外天 （http://www.bunkyo-greencourt.com/restaurant/index.html）
[Tel] 03-5977-3510
[住所] 〒113-0021 東京都文京区本駒込2-28-10
[交通] 山手線 駒込南口 徒歩10分
山手線 巣鴨 徒歩12分
三田線 千石 A-3出口より徒歩5分
南北線 駒込 南口徒歩10分
[会費]¥4,500（当日可。なるべくお釣りの無いようにお願いします）
会員間の情報交換、数学の話で楽しいひと時をお過ごしください。参加ご希望の方は、なるべくお早めにお申し込みください。
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日時
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１月１１日（日） １７：００－１９：３０
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２０１４年度 秋学期講座
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入門
初級
中級
中・上級入門
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全4回講座では、第1回目¥10,000（学割 ¥9,000）、第2回目以降¥8,000/回（学割 ¥6,000/回）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程II
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レベル
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入門
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内容
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解析教程はいよいよ佳境に入ります。夏学期では、級数の基本的なクラスとその性質までを取り上げました。
今学期は、連続性から始めて、微積分の基本的な道具である微分積分を扱います。
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項目
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- 連続性
- 連続性、基本概念
- 連続関数のクラス
- 連続関数に関する3つの大域的定理
- 関数の極限
- 微分可能性
- 微分可能性と基本的な性質
- 可微分関数のクラス（C1級、局所定数関数）
- 高階微分、Ck級関数のクラス
- Riemann積分、微積分の基本定理
- 有界関数の積分
- 微積分の基本定理
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／２１、 １０／５、 １０／１９、 １１／２、 １１／１６、 １１／３０
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時間
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１１：００－１３:００
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講座名
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ＩＢ． 多変数関数論 擬凸性
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レベル
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中・上級入門
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内容
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〔2014/9/15更新〕 今回のテーマは、正則関数の存在域の幾何学的特徴付けである擬凸性です。
そのためにまずSchwartz超関数と軟化子を初等的に扱うつもりです。
この有用な20世紀解析学の標準装備のみに興味のある方は、第1回・第2回 のみ出られるとよいでしょう。
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項目
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- Schwartz超関数
- Friedrichs軟化子と各種関数のクラスの近似定理
- 擬凸領域
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／２０、 １０／４、 １０／１８
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． Modules（加群）
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レベル
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入門
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内容
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〔2014/9/15更新〕 Atiyah、Macdonaldの本「Introduction to Commutative Algebra」第2章前半に沿っての概説です。
次学期は、加群のテンソル積が中心です。急がずじっくりやります。
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項目
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- ModuleとModule homomorphisms
- 部分加群、商加群
- 部分加群の演算
- 直和、直積
- 有限生成加群
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２１、 １０／５、 １０／１９
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と多次元空間の微積分 II
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レベル
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入門
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内容
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今学期は、多次元空間の有向基本図形の体積としての行列式から始まります。
線型写像の行列式の性質を確立して、いよいよ領域の積分の準備のために連続写像とベクトル場を簡単に導入します。
それから写像の微分、領域の積分と続きます。
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項目
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- 体積形式と行列式、交代形式
- 線型変換と線型変換の行列式 Sgn再論
- 連続写像、ベクトル場
- 領域上の積分
- 写像の微分とJacobi行列、積分の変数変換
- いくつかの基礎積分
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／２８、 １０／１２、 １０／２６、 １１／９、 １１／２３、 １２／７
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． 位相線型空間 位相テンソル積 その2
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レベル
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中・上級入門
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内容
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〔2014/11/3更新〕 位相テンソル積の最も基本的なπ位相とε位相について丁寧に扱います。
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項目
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- 位相テンソル積のπ位相
- 位相テンソル積のε位相
- π位相とε位相
- トピックス
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／８、 １１／２２、 １２／６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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レベル
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入門
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内容
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どのような分野にせよ、現代数学をやるつもりなら必ず初めに学ぶべき最小限の素養です。
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項目
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- Σとは何か? 改めて問う
- 集合の代数
- 写像
- トピックス
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日付
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土曜日・全６回（変則日程です）
９／２７、 １０／１１、 １０／２５、 １１／１５、 １１／２９、 １２／６
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＳ． 代数関数論
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レベル
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中・上級入門
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内容
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〔2014/11/20更新〕 今学期は代数関数体上の微分の空間の構造、Riemann面で決定する代数関数の可能な値分布、
とりわけ極と零点の構造を代数関数体の上の自然な構造として捕まえます。イデールという概念は、要するに
Riemann面の各点に有限Laurent級数体からなる関数芽をつけて
有理関数の空間を作り、その上に線型形式として微分を定義しようという極めて自然な考えです。
因子から生成される部分空間の次元の関係の研究から漸く一つのクライマックスRiemann-Rochの定理に達します。
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項目
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- 因子の空間の構造
- イデールと微分、Riemann-Rochの定理
- Hasse微分
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日付
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毎週日曜日・全３回
１１／２３、 １１／３０、 １２／７
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＥＡ． 距離空間と解析学序説II 連結性とコンパクト性
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レベル
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初級
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内容
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諸分野への、距離空間あるいは一般位相の応用において最も重要な概念及び方法を丁寧に扱います。
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項目
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- 連結
- 局所定数関数と連結性
- 連結性の基本的性質
- 連結と弧状連結、Euclid空間の領域
- コンパクト
- Heine-Borelの性質と有限交叉条件
- コンパクト集合の基本的性質
- コンパクト集合上の連続関数
- 補充 全有界、プレコンパクト
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２８、 １０／１２、 １０／２６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数II
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レベル
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初級
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内容
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夏学期は、線型代数が展開される場である線型空間の構造を学びました。秋学期は、線型空間の間の情報の伝播の仕方を探求します。
更に、伝達機構である線型写像の集団そのものが
ベクトルとして振舞う、すなわち線型空間であることを認識し、また双対の内在的重要さを認識しましょう。
ここまでくると、あるものを点と見るか関数と見るか（現代数学の認識の特徴！）は、考える人の立場にかかわることが分かってくるでしょう。
一般の線型写像と行列との関係も詳細に構造的に論じることにします。最後に線型変換の表現の核になる射影の定義と基本的な性質を導きます。
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項目
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- 線型写像の定義と基本的な性質
- 線型写像の空間と応用
- 線型形式と双対空間、アジョイント
- 行列表現
- 線型変換
- 射影のクラス
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／２７、 １０／１１、 １０／２５
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． ベクターバンドル
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レベル
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中級
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内容
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〔2014/11/3更新〕 前半は夏学期の続きで、ベクターバンドルの分類を扱います。
後半はベクターバンドルへの位相群の作用を比較的丁寧にやる予定です。前半の最後にカテゴリーとファンクターの会しきな定義も取り扱います。
後半は、抽象位相と群の作用、群の表現の基本事項にある程度習熟されている方で、位相群の作用と軌道空間の位相などに関心のある方は、後半から参加されるとよいでしょう。
演習用にも最適です。
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項目
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- ベクトルバンドルの同値類のホモトピー論的特徴付け
- G-空間、軌道空間の位相的準備
- G-バンドル
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／１、 １１／１５、 １１／２９
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１４年度 夏期集中セミナー
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一覧
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〔料金について〕
- 2日間の集中講座は¥18,000(学割¥15,000)、1日の集中講座は¥11,000(学割¥8,500)です。
ただし、今回のセミナー「複素数を使って幾何学を」は、特別料金¥6,000といたします。
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講座名
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複素数を使って幾何学を
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内容
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今回はもっぱら円に関する初等幾何と2次形式に関する問題に絞ります。
数学の感性と技術：幾何学的直観、代数的な感覚、論証の三位一体の力を、初等的な幾何の問題を楽しみながら向上させましょう。
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日時
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８月１７日（日） １３：００－１７：００
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講座名
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Advanced Linear Algebra
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内容
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前回（2013年度春期集中セミナー）は、2次形式を詳細にあつかった。
今回は、春の集中で取り上げられなかった、スペクトルとfunctional calculus 一般固有値問題を取り扱う。
Hilbert空間の作用素の研究やさらに作用素環を学ぶ際にはこの手の知識があることが望ましい。
なぜなら自然な拡張であり、あるいは有限次元で扱われる作用素クラスから位相的に近似される者たちが理解の鍵になるからです。
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項目
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- 記号、基本的概念、基本事項
- スペクトル定理
- Functional Calculus
- 特異値、特異ベクトル、幾何学的理論
- 一般固有値問題、双線型形式の極値問題
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日時
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８月２３日（土） １４：００－１８：００、
８月２４日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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数学の基本語彙と文法 同値関係・剰余類・商空間
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内容
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数学の対象の構成の最も強力な手段の一つです。是非とも身につけてほしい現代数学の基本的道具ですが、初学者にはなじみにくいものかもしれません。
そこで基本的なことといくつかの応用を集中としてまとめました。尚、「可換環 補充と演習」では具体的な商空間の詳細な解析を体験することができます。
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項目
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- 同値関係と剰余類、剰余類の空間
- 代数構造に整合する同値関係
- 群の作用と軌道空間
- 商空間
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日時
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８月３０日（土） １４：００－１８：００、
８月３１日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Hilbert空間上の作用素I 一般論
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内容
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作用素環とのつながりを意識した有界作用素に的を絞った基礎理論である。
続編としてスペクトル、コンパクト作用素とCalkin環の構造を予定しています。
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項目
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- 有界作用素
- 基本的な有界作用素のクラス
- 正射影作用素とHilbert空間の幾何
- 作用素の平方根、絶対値、極分解
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日時
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９月６日（土） １４：００－１８：００、
９月７日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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可換環 補充と演習
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内容
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夏学期には扱わなかったイデアルの演算（イデアル：理想数という述語の由来を悟ることができるだろう！）および
Jacobson radical, Nilradicalを扱う。
これらの概念を、多項式環の各種商空間の演習問題などを丁寧に解くことを通して、しっかりと把握しましょう。
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日時
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９月１３日（土） １４：００－１８：００、
９月１４日（日） １１：００－１６：００
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２０１４年度 夏学期講座
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入門
入門・初級
初級
中級
中級入門
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〔講座について〕
- 今学期の新規開講講座は、IA、IC、ID、EA、Gです。
- 今学期のIF「数学の基本語彙と文法」は休講です。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000（学割 ¥25,000）〕。
- 各回払いの場合は、以下の通りです:
- 全3回講座では、第1回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第2回目¥12,000（学割 ¥9,000）、第3回目¥10,000（学割 ¥9,000）です。
- 全4回講座では、第1回目¥10,000（学割 ¥9,000）、第2回目以降¥8,000/回（学割 ¥6,000/回）です。
- 全6回講座では、第1回目¥6,500（学割 ¥6,000）、第2回目以降¥5,500/回（学割 ¥4,000/回）です。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程 数直線、数列、級数、連続関数
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レベル
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入門
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内容
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17世紀に誕生した解析学は、無限級数展開と微積分の基本定理の発見により大いに発展し、
18世紀末には現在は古典解析学といわれる巨大な殿堂がほぼ姿を現しました。しかし数学の対象の広がりに連れて、
それまでの方法と理解では解明できない問題が次々浮上してきました。
例えば、振動の初期条件のような不規則な関数が果たして解析関数の級数として展開できるのか?
そもそも関数とは何か? 積分とは何か?
そのような問題意識から、19世紀の解析学は、18世紀解析学の基礎を再構築し未解決問題を解決するところから始まりました。
Abel、Cauchy、Dirichlet、Weierstrass は、このような立場の代表者で厳密主義とも言われます。
極限概念の正確に定義することを基礎にして書かれた学校用の最初の教科書が、CauchyのCours d'Analyseです。
この厳密化の流れの中で集合論が現れ、実解析学や関数解析学の基礎付けが可能になり、
19世紀解析学から20世紀解析学へとつながってきたのです。
この講座の名前はCauchyの伝統に沿うものです。扱う内容の中心は古典解析ですが、扱い方は、
線型代数が強調されている点で幾分20世紀的です。
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項目
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- 数直線の捉え方
- 収束列、収束級数の理論
- 連続関数の3つの基本定理
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／１８、 ６／１、 ６／１５、 ６／２９、 ７／１３、 ７／２７
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時間
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１１：００－１３:００
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講座名
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ＩＢ． 多変数関数論 正則関数の存在域
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レベル
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中級入門
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内容
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春学期に、多変数正則関数の定義をWeierstrass流に冪級数展開可能性（解析性）により定義し、
収束域の研究で初めて1変数関数論と多変数関数論の違いを示す状況に出会った。
Cauchy積分公式とその帰結、1変数複素関数論と平行な結果を導出した。
最後のベキ級数の収束域の絶対空間の対数凸性！ 1変数複素関数論にはどんな複素平面上の領域でも、
その領域から正則関数として拡張できないというWeierstrassの定理がある。
この結果が既に単純な領域で壊れるのである。ある正則関数が存在して拡張できないような領域を正則領域という。
今学期は、正則領域の特徴付けをめぐる諸概念の関係と、有用な道具である劣調和及び多重列調和関数の理論を取り扱う。
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項目
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- 基礎的な事実
- 正則領域・正則凸性
- Subharmonic functions
- Plurisubharmonic functions と Bergmann kernel function
- 擬凸領域
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／１７、 ５／３１、 ６／１４
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． 環、加群
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レベル
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入門・初級
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内容
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Atiyah、Macdonaldの有名な教科書「Introduction to Commutative Algebra」を基礎にした講義です。基礎概念の導入のあと、多項式環と多項式環の商環の詳細な例の演習が付きます。
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項目
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- 群と可換環の定義
- 部分環
- 環準同型
- 多項式環、形式冪級数環
- Ideals、商環
- 零因子、冪零元、単元
- 素イデアル、極大イデアル、局所環
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／１８、 ６／１、 ６／１５
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＤ． 多変数微積分、初等線型代数、多次元空間
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レベル
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入門
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内容
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微積分とは、局所的にはEuclid空間の初等図形の計量に他なりません。微分法は、写像を定義域の与えられた点の近くで、線型写像で近似することです。
初等線型代数を学びつつその概念を利用して、任意次元のEuclid空間の初等幾何を展開し、任意次元の空間に属する基本図形たちそれ自体の空間がまた計量構造を持つ、
数学特有の入れ子の構造を理解します。その結果を用いて、高階の微分、多変数のTaylor公式、極値問題と2次形式あたりまでを論じます。
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項目
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- 数ベクトル空間
- 内積、直交性
- Euclid空間の初等幾何
- 線型部分空間、Span、商空間
- 行列と線型写像
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／２５、 ６／８、 ６／２２、 ７／６、 ７／２０、 ８／３
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． 位相線型空間 位相テンソル空間 その1
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レベル
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中級入門
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内容
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前学期までで、十分とは言えないが、帰納極限と射影極限まで一通り位相線型空間の概略を論じました。
今学期は、位相テンソル積を論するための準備です。解析的にはこの問題の起源は自然で、
変数分離型の関数たちの有限和（関数のテンソル積）の極限という形で、例えばFourierの線型偏微分方程式の解法の中に現れました。
普遍性を用いた代数的なテンソル積の定義は、おそらく皆さんは慣れていないと思うので、この部分から丁寧にやります。
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項目
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- ベクトル空間のテンソル積（代数的理論）
- 関数空間のテンソル積
- 双線型形式の空間
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日付
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隔週土曜日・全３回
６／２８、 ７／１２、 ７／２６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＳ． 代数関数論
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レベル
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中級入門
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内容
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春学期は附値体の復習と体の拡大の一般論に大きく時間を取られて、漸く今学期は因子の理論に入る。
一応p.57からp.79を予定している。余力があればイデールと微分の入口にはゆきたい。
秋学期は微分と、イデールからRiemann-Rochの定理までの予定である。
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項目
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- 代数関数体の素因子
- 代数関数体の因子
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日付
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隔週土曜日・全３回
７／５、 ７／１９、 ８／２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＥＡ． 距離空間と解析学序説
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レベル
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初級
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内容
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昨年度は、開集合系からフィルタまで抽象位相を通年3期にわたって扱いました。
今学期は、通常の応用では最も頻繁に現れる距離空間に焦点を絞ります。第3期には基本的な関数空間と解析学の基本原理であるBaire Category 定理
とその応用を扱います。
位相と線型代数は解析学の基本原理です。にもかかわらず、最も学び難いものでもあります。 先の講座に行かれる方、お仕事で応用解析を目指す方はこの講座で学んでおかれる事をお勧めします。
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項目
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- 距離関数、距離空間 定義と典型例
- 近傍系、開集合系、閉集合系、閉包、開核
- 点の位相的分類
- 点列の基本的性質、完備性
- 連続関数、一様連続関数
- 距離空間の正規性
次学期以降、 連結性、コンパクト、全有界と完備、Baire Category 定理、関数空間の位相 などを予定しています。
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／２５、 ６／８、 ６／２２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数 線型空間
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レベル
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初級
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内容
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代数の役割は、数学・物理学をはじめとする諸科学の計算可能な言葉を創ることです。その中でも、抽象線型代数は基本的で様々な分野の記述に現れてきます。
例えば道を線型化する。基本図形の線型化。微分の空間、関数空間などなど。
実用的でないか？とんでもない！現実の微積分は座標化された線型代数そのものです。そして究極の線型代数は作用素環というわけです。
抽象線型代数は、一般位相と並び最も基本的で根源的な数学的対象の表現手段です。抽象を道具として使いこなす現代的な数学では、この部分への習熟は当然の前提です。
そのような意識のもとで教程が作られています。数学工房の講座は、入門的な講座を除いては抽象線型代数の基本のある程度の習熟を仮定しています。
上に述べた目的のため、線型空間論は有限次元特有の問題を除いては、無限次元で使える形で述べられています。また座標の概念や双対の取り扱いに特徴があります。
学部で線型代数を学ばれた方でも、道具として線型代数を使いこなす立場からの学び直しをおすすめします。
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項目
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- 線型空間 定義と典型空間
- 部分空間の演算
- 生成される線型空間、直和
- 線型独立・線型従属
- 次元、基底、座標
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日付
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隔週日曜日・全３回
７／６、 ７／２０、 ８／３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． Vector Bundles
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レベル
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中級
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内容
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〔2014/5/19更新〕 春学期に取り上げた内容は、基礎空間が一般的な位相空間でした。以後は十分に連続関数が豊富に含まれた世界 コンパクトハウスドルフ空間であると仮定します。
従ってトポロジカルな変形が可能になるのです。このような理論への付き合いを通じて位相の諸定理の意味や有用さ、カテゴリー的な記述の仕方の有用性を悟ってください。
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項目
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- バンドル上のプロジェクションと計量
- コンパクト空間上のバンドル
- G-バンドル
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／２４、 ６／７、 ６／２１
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１３年度 春期集中セミナー
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一覧
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〔料金について〕
- 2日間の集中講座は¥16,000、1日の集中講座は¥8,000（特別料金）です。
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講座名
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Advanced Linear Algebra
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内容
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Courant、Hilbert著「数理物理学の方法」の第1章はご存知のように2次形式の基礎から始まります。
この講座はある意味でその現代化 で応用にもまた関数解析への基礎素養としても重要なものです。
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項目
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- 準備
- 2次形式の最大原理と対称変換の固有値
- 正射影の代数
- 対称変換のスペクトル分解
- スペクトル定理、Functional calculus
- 一般化固有値問題、特異値、特異ベクトル
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日時
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４月２６日（土） １４：００－１８：００、
４月２７日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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続 複素数を使いこなして幾何学を（特別講座）
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内容
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古典的な初等幾何学からの玄妙とも言うべき多角形や円に関する諸事実を楽しみながら、
図形と式感覚のバランスを向上させましょう。
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日時
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４月２９日（火・祝） １３：００－１７：００
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講座名
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無限の作法（Zornの補題、選択公理、集合の濃度 応用） 続基本語彙と文法
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内容
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Zornの補題や選択公理、集合の濃度の比較等は数学の理論の土台として避けて通ることはできません。
実際に数学をやる立場から最小限 集合の濃度、あるいはフィルタのどちらかを取り上げます。
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項目
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- Zornの補題
- Zornの補題の定式化
- 用法
- 選択公理
- 直積集合
- 選択公理の導出
- 選択公理から導かれる基礎原理
- Topics
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日時
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５月３日（土・祝） １４：００－１８：００、
５月４日（日・祝） １１：００－１６：００
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講座名
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代数学特論 拡大体II
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内容
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冬期集中セミナーに続いて、体の拡大を取り上げます。いよいよGalois理論の核心です。
代数系入門 第5章 7節～10節（松坂和夫著、岩波書店）に当たります。
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項目
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- 準備
- 自己同型群と固定体
- 正規拡大
- Galois理論の基本定理
- 有限分離拡大の単純性
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日時
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５月５日（月・祝） １４：００－１８：００、
５月６日（火・祝） １１：００－１６：００
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２０１３年度 春学期講座
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入門
初級
中級
中・上級入門
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【2014/1/16更新】
2014年会費（1月～12月）¥3,000（学生 ¥1,500）のご納入をお願いします。
〔講座について〕
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔\30,000（学生 \21,000）〕。
- 各回払いの場合、全4回講座では¥7,500/回（学生 ¥5,000/回）、全3回講座では¥10,000/回（学生 ¥7,000/回）です。
受講にあたっては、別途¥2,000（テキスト代・手数料）が初回受講時にかかります。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程0 代数解析学的Introduction
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レベル
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入門（準備コース）
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内容
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いわゆる、ε-δの前段として、18世紀的な思想のもとで初等超越関数を導入しその基本的な性質を導く。
これらの知識を前提として、5月から、連続関数の基本定理からFourier級数の基礎的な性質までを目標にしたCours d'Analyseを開講する予定です。
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項目
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日付
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〔2014/2/14更新〕 隔週土曜日・全４回 の予定でしたが、２月８日・９日にかけての大雪により、次のように講座日程が変更になりました。
１／２５、 （２／８）、 ２／２２、 ３／１、 ３／８
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時間
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１４：００－１７：００
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講座名
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ＩＢ． 多変数複素解析 初等的理論
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レベル
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中・上級入門
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内容
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2013年度夏学期・秋学期 に、1変数の複素関数論により多変数の状況で扱うテーマと方法を紹介しました。
2変数以上の正則関数と1変数関数論では、関数の存在域の幾何学的な形状について全く違う状況が現れてきます。
今学期は、多変数の複素関数論のCauchy理論を中心に1変数関数論とパラレルな部分を中心に取り扱います。
多重級数の取り扱いや、多変数の場合に有用な略記法等になれることも今学期の目標です。
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項目
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- Introduction
- 初等的な結果
- 正則関数
- 積分公式とOsgoodの補題
- 実微分可能性とCauchy-Riemann方程式
- 1変数関数論にパラレルな性質1
- 正則写像
- 1変数関数論にパラレルな性質2
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日付
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〔2014/2/25更新〕 隔週土曜日・全３回 の予定でしたが、大雪の影響で、次のように講座日程が変更になりました。
１／１８、 ２／１、 （２／１５）、 ３／２２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＣ． Möbius変換の理論（解析的自己同型群）
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レベル
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入門
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内容
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2013年度秋学期では、Möbius変換の初歩的な性質と、
複素数平面（Riemann球）上の初等的幾何学との関係を扱いました。
今学期は比較的初等的に扱える範囲でMöbius変換の分類、解析的変換群、基本的な領域の解析的変換群などを紹介するつもりです。
ここから先はそろそろこの講座の範囲を超えた内容になるので、次の機会にしたいとおもいます。
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項目
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日付
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〔2014/2/14更新〕 隔週日曜日・全６回 の予定でしたが、２月８日・９日にかけての大雪により、次のように講座日程が変更になりました。
１／２６、 （２／９）、 ２／２３、 ３／９、 ３／２３、 ４／６、 ４／１３
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時間
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〔2014/2/14更新〕 １１：００－１３：００ （ただし、４／１３は１４：００－１６：００）
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と微積分・多次元空間
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レベル
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入門
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内容
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実変数の多変数関数の高階微分と平均値定理、グラージェント、ヘッセ行列、ラプラシアン、そして多変数のTaylor公式、極値の分類などを座標フリーの方法で明確に扱います。
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項目
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- r回連続微分可能な関数のクラス
- グラージェント、ダイバージェンス、Hesse行列、ラプラシアン
- 高階微分とテンソル表示
- 剰余付きTaylor公式
- 極値と極値の分類
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日付
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隔週日曜日・全６回
１／１９、 ２／２、 ２／１６、 ３／２、 ３／１６、 ３／３０
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． 位相線型空間 Duality3
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レベル
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中・上級入門
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内容
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「位相線型空間 Duality序章」（2012年度春期集中セミナー）、「Duality II （位相線型空間特論）」（2013年度夏期集中セミナー）に続いて、Dualityを取り上げます。
局所凸空間のDualityを用いた研究は現代的な位相線型空間論の核心的な部分です。深く
しかも膨大に積み重ねられた部分なので、この理論の全体を取り上げることは、私には到底不可能ですので、
これから位相テンソル積、作用素環の理論へつながる段階として基礎的と思われることにとどめました。
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項目
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- 定義と基礎的な結果の整理
- 射影位相と帰納位相のDuality
- 閉線型写像のAdjoint
- 一般開写像定理と閉グラフ定理
- トピックス
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日付
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毎週日曜日・全３回
３／２、 ３／９、 ３／１６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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レベル
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入門
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内容
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文字通り数学語の基本的なスキルを学んでもらう講座です。
もし自分で数学の世界を歩くつもりなら一部の例外的な人を除いては、まずここから始められることを勧めます。
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項目
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- ∑記法と数学的帰納法
- 集合と写像
- トピックス
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日付
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〔2014/2/14更新〕 隔週土曜日・全６回 の予定でしたが、２月８日・９日にかけての大雪により、次のように講座日程が変更になりました。
１／２５、 （２／８）、 ２／２２、 ３／８、 ３／２２、 ４／５、 ４／１３
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＳ． 代数関数論 代数関数体
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レベル
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中・上級入門
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内容
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2013年度夏学期、秋学期で 一通り離散附値体の理論を準備しました。今学期から代数関数論の本論（岩澤健吉著 代数函数論 第2章）に入ります。
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項目
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日付
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毎週日曜日・全３回
３／２３、 ３／３０、 ４／６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相 ネット（収束による位相の特徴付け）
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レベル
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初級
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内容
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今学期は2つの解析学への応用上重要なトピックスを補充します。
ひとつは、フィルタと並んで有用な道具であるネットを扱います。私見では、事柄にもよりますが、関数空間やより一般的に位相線型空間などで収束を扱う際にはフィルタよりはるかに使い勝手が良いように感じています。
余裕があれば、一般添字の級数のネット収束も扱う予定です。
もうひとつのトピックスはパラコンパクト性を扱います。多くの問題で局所データを貼り合わせる、あるいは逆に解析的対象を局所的なデータに分解する。
そうして必要な性質を持つ解析的対象を構成する。このような操作が可能な位相空間の一般論です。このような道具の確立により多様体上の解析学、解析多様体上の解析学は長足の進歩を遂げました。
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項目
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- ネットの定義と基本的な性質
- 一般添字の級数
- 単位の分解とパラコンパクト性
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／２６、 ２／９、 ２／２３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数 内積空間の幾何と作用素のクラス
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レベル
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初級
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内容
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一般位相と並んで最も基本的な型稽古としてこの講座は設けられていますが、同時にこの辺の内容は応用上も極めて有用な部分です。
前半は内積空間の幾何学：直交性、正射影定理から始まり、直交化、線型形式とその応用まで。
後半は作用素のクラス。純粋応用を問わず、いたるところに現れる基本的な作用素の一般論です。
2次形式のより詳しい理論や特異値、特異ベクトル等は集中で取り上げる予定です。
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項目
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- 内積空間の幾何学
- 基本的な作用素のクラス
- 対象変換とスペクトル
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日付
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隔週日曜日・全３回
１／１９、 ２／２、 ２／１６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． Vector Bundles
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レベル
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中級
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内容
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線型代数と一般位相のみを仮定して第一歩から論じます。多様体の基本知識があれば理解の助けにはなりますが、必ずしも必要としません。
M.F.Atiyahの1964年のHarvardでの講義ノート（K-Theory Benjamin Inc.）を参考にしました。
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項目
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- 基本的定義
- ベクトルバンドル上の様々な操作
- 部分バンドルと商バンドル
- 付随する各種構造
- G-バンドルとG-空間
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／１５、 ３／２９、 ４／１２
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１３年度 冬期集中セミナー
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入門
入門・初級
中級
懇親会：
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【2013/12/5更新】
2014年会費（1月～12月）¥3,000（学生 ¥1,500）のご納入をお願いします。
集中セミナーを受講される方は、セミナー受講料と同時にお支払いください。
集中セミナーは、会費のお振込みがないと会員外の講座料になりますのでご注意ください。
〔料金について〕
- 2日間の集中講座は、¥16,000（会員）、¥12,000（学生会員）です。
- 1日の集中講座は、¥10,000（会員）、¥8,000（学生会員）です。ただし、新年特別企画については¥5,000です。
- 「新年の懇親会」の会費は¥4,500位の予定です。予約の都合上、ご希望の方はお早めにお申し込みください。
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講座名
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位相線型空間 射影極限と帰納極限
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レベル
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中級
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内容
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〔2013/12/10更新〕 射影極限と帰納極限は、さまざまな解析的対象の記述の手段として現れます。
TVSのカテゴリーでも極めて強力で、関数空間の構成、系統的な研究に有用な道具です。
今回は主に、TVSのカテゴリーでの基本的な結果を体系的にまとめます。水準は、SchaeferのTopological vector spaces 程度です。
結果だけでなく、議論の中でのネットやフィルターの用法についても学んでいただきたいと思います。
尚、2014年度夏学期から、位相テンソル積と核を扱う予定です。
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項目
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- 一般位相からの準備
- TVSの射影位相、帰納位相
- TVSの射影極限
- TVSの帰納極限
- トピックス
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日時
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１２月１４日（土） １４：００－１８：００、
１２月１５日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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代数特論 可換体の拡大
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レベル
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入門・初級
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内容
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〔2013/12/18更新〕 体の拡大について初歩的なことを扱います。
今回の目標は多項式の分離性あたりまでです（若干プログラムをゆったりにしました）。
群、環、体のごく基本的なこと（素イデアル、整域 etc）、線型代数の概略（例えば線型空間の基底、次元、線型変換の行列式、トレース etc）
などの知識は、ある程度馴染みがあるものとします。
もともとこの集中セミナーは、代数関数論の準備から派生したものです。線型代数の応用練習としても手頃です。
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項目
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- 体の構造の基本概念（素体、標数）
- 体の拡大
- 体の単純拡大（代数拡大、超越拡大）
- 有限次拡大体、代数拡大体
- 分解体
- 多項式の形式微分と重根
- 多項式の分離性
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日時
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１２月２１日（土） １４：００－１８：００、
１２月２２日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Trace Formula とはなにか？（20世紀の恒等式）
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レベル
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入門・初級
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内容
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恒等式は、線型代数の言葉を使えば、ある線型空間に属する対象を2つの異なった基底により表現した時に得られる興味深い等式のことです。
Euler以来、こうして美しくも興味深い恒等式が得られてきました。Selbergのtrace formulaもこの古典的伝統の現代版にほかなりません。
ざっと言えば、関数空間の上で積分作用素のtraceを二つの自然な基底を用いて書き表すことで、
ベースになる空間に群が作用しているとき、既約表現の行列要素からなる基底（調和解析的基底）と他の自然な基底による展開を比較するのです。
今回は考え方を、主に有限群の表現との関係で簡単に解説します。群や線型代数の基本的な知識は仮定します。
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項目
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- 有限群とコンパクト群の表現論 基本的なこと
- 有限群とコンパクト群上のTrace Formula
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日時
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１２月２３日（月・祝） １３：００－１７：００
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講座名
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【新年特別企画】
複素数を使いこなして幾何学を（数学的センスの向上！）
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レベル
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入門
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内容
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初等幾何の面白い問題を楽しみつつ、式、論理、直感のバランス感覚を養いましょう。
尚、新年のお楽しみ企画なので参加費が通常の集中セミナーと違うのでご注意ください。
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日時
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１月５日（日） １３：００－１７：００
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講座名
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解析教程補充
有界変動関数とStieltjes積分
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レベル
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入門・初級
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内容
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〔2014/1/8更新〕 有界変動関数とStieltjes積分は実解析学において最も有用かつ基本的な道具ですが、
まとめて取り扱う機会がなかなかないので集中セミナーで取り上げることにしました。
微積分の評価の基礎技術がちゃんと身に付いているかが、このような発展形態でやってみると実によくわかります。
微積分の学び直しを発展的にしたい人には良い演習です。
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項目
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- 単調関数とRiemann-Stieltjes積分
- 実数値有界変動関数
- 複素数値有界変動関数
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日時
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１月１１日（土） １４：００－１８：００、
１月１２日（日） １１：００－１６：００
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２０１３年度 秋学期講座
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入門
初級
初級・中級
中級
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〔講座について〕
- 講座IF、EBについては、開講未定です【8月23日現在】。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔\30,000（学生 \21,000）〕。
- 各回払いの場合、全4回講座では¥7,500/回（学生 ¥5,000/回）、全3回講座では¥10,000/回（学生 ¥7,000/回）です。
受講にあたっては、別途¥2,000（テキスト代・手数料）が初回受講時にかかります。
- その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。
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講座名
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ＩＢ． 多変数複素関数論入門 その2
（1変数概観 2）
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レベル
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初級・中級
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内容
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夏学期は、Rungeの定理、正則凸性まで、多変数関数論の流儀で紹介しました。
今学期は続きで、多変数関数論の20世紀前半の最も中心問題であるCousinの問題のイントロダクションとして、Mittag-Lefflerの定理やWeierstrassの定理
を偏微分方程式の方法で紹介します。また、有用な補助的道具として劣調和関数を導入します。
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項目
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- 有理型関数再論（層の言葉による定義）
- Mittag-Lefflerの定理
- Weierstrassの定理
- 劣調和関数
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日付
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隔週土曜日・全４回
９／２８、 １０／１２、 １０／２６、 １１／９
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時間
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１４：００－１７：００
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講座名
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ＩＣ． 群・複素数平面・メビウス変換 2
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レベル
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入門
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内容
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夏学期には、群の作用を含む準同型定理までの基本事項と若干の例を取り上げました。
今学期のテーマは、複素平面の初等幾何学とMöbius変換の分類、標準型、解析変換群です。
たかが1次分数関数と侮るなかれ、ここからKlein-Poincaré流のRiemann面の理論が始まります。
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項目
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- 複素数、複素平面
- 初等幾何学への応用
- 正則関数
- Möbius変換
- 定義と基本的性質
- Möbius変換の分類
- 正則変換群
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／２９、 １０／１３、 １０／２７、 １１／１０、 １１／２４、 １２／８
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と多次元空間での微積分 2
体積要素、行列式と積分、写像の微分
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レベル
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入門
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内容
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夏学期は、多次元空間とその上の簡単な幾何と線型代数を考えました。今学期は、線型写像と行列に関する基本事項のまとめから始めて、有向体積と行列式を取り扱います。
その系として、みなさんご存知の様々な公式が出てきます。また置換群の表現、符号群によって表現論的な考え方の有用性を悟ってもらえたらと考えています。
そのような結果を基礎に無限解析（多次元空間の積分）を直感的に導入します。
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項目
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- 線形写像、変換 行列
- 有向体積と交代形式
- 変換と行列式
- 領域上の積分、定義と基本公式
- 領域の変換とJacobi行列
- 幾つかの基礎積分
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／２２、 １０／６、 １０／２０、 １１／３、 １１／１７、 １２／１
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． 位相線型空間概論
補充と一様有界性原理の応用
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レベル
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中級
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内容
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夏学期は、線型写像の空間のS-位相と有界性、相対コンパクトの同等連続性による特徴付けを行いました。
樽型空間を導入し、Banach-Steinhausの定理を最も一般的な形で導入しました。
今学期は、具体的な関数空間を論ずる際に重要になる、TVSの帰納極限・射影極限を論じます。
また、微妙かつ強力な応用が多いBanach-Steinhausの典型的な用法の型を学び理解を深めたいと考えています。
幾つかのトピックスを除けば、後は位相テンソル積と核型空間の理論が残されるのみです。
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項目
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- 帰納極限、射影極限
- Fréchet空間、IFL空間
- Banach-Steinhausの応用
- トピックス（回帰性あるいはBanachの定理）
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日付
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隔週土曜日・全３回
９／２１、 １０／５、 １０／１９
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＳ． 代数関数論 2
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レベル
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中級
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内容
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夏学期は、附値体の完備化の概略まで扱いました。
今学期は、完備附値体の2つの基本定理 展開定理とHenselの定理 から始めて、附値の膨張と射影を扱います。
これでほぼ代数関数論の代数的なアプローチの準備が終わります。
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項目
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／３、 １１／１７、 １２／１
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相II
連結性とコンパクト
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レベル
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初級
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内容
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諸分野への基本的な応用において最も重要な概念及び方法を丁寧に扱います。
始位相・終位相は、対象に自然な位相を入れる際の有用な道具です。
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項目
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- 連結性
- コンパクト性
- 始位相、終位相
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２９、 １０／１３、 １０／２７
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数II
線型写像と線型写像の空間、行列表現
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レベル
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初級
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内容
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夏学期は、線型代数が展開される場である線型空間の構造を学びました。今学期は、線型空間の間の情報の伝播の仕方を探求します。
更に、伝達機構である線型写像の集団そのものがベクトルとして振舞う、すなわち線型空間であることを認識し、双対の内在的重要さを認識します。
また、一般の線型写像と行列との関係も詳細に論じます。最後に、線型変換の表現の核になる射影の定義と基本的な性質を導きます。
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項目
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- 線型写像の定義と基本的な性質
- 線型写像の空間
- 線型形式と双対空間
- 行列表現
- 線型変換と射影
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日付
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隔週日曜日・全３回
９／２２、 １０／６、 １０／２０
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＢ． 解析学のための多様体入門V
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2013/11/7更新〕 夏学期は、全2回ということもあって多様体上の微分形式の積分と体積要素に焦点を絞りました。
今学期は、基本的な結果の概説をします。
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項目
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- 準備
- Stokesの定理
- 多様体上のコホモロジー群
- 写像度
- ベクトル場のダイバージェンスとLaplacian
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日付
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隔週日曜日・全３回
１１／１０、 １１／２４、 １２／８
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１３年度 夏期集中セミナー
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入門
入門・初級
中級
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〔料金について〕
- 2日間の集中講座は、¥16,000（会員）、¥12,000（学生会員）です。
- 1日の集中講座は、¥10,000（会員）、¥8,000（学生会員）です。
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講座名
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Fourier解析を巡って （解析特論）
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レベル
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入門
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内容
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〔2013/8/21更新〕 Fourier解析を中心に交差する数学の世界は、実り豊かで眺めるだけでも楽しいものです。
T.W.ケルナーの「フーリエ解析大全」やジグムントの大著「Trigonometric Series（三角級数）」を拾い読みするだけでも、実に面白いことがいっぱい書いてあります。
普段の数学工房では、どちらかというと体系的な取り扱いを強調していますが、
今回は解析教程の続編として、いつもと違うスタンスでFourier級数の性質の正当化を起源とするに実解析学の定理や理論の故郷を訪ねます。
任意の関数が三角級数に展開できるというFourierの主張と見事な熱理論への応用は、
巨匠たちの手によって鉱脈が掘り尽くされたように見えた解析学に、困難だが魅力的な研究対象を切り開きました。実解析学の誕生です。
Fourierの主張の正当化を契機として、関数や積分の概念の厳密化、集合論などが現れ現代数学の土壌が耕されていったのです。
例えば現代では、みなさんご存知のとおりいたるところ微分できない連続関数は自然な存在ですが、
これらは、珍奇なものとしてFourier級数の各点収束の研究の反例として現れたのです。
今回は、Fourier級数に伴って現れる、基礎的な近似定理としてFejérの定理やWeierstrassの定理、近似定理の使い方を兼ねて、
有名なWeylの一様分布を導いてもらいます。それから各点収束についての基本的な判定をまとめておきましょう。
それから時間の許す限り、幾つかの面白いあるいは美しいトピックスを訪ねましょう。
微積分の素養の強化、現代数学に本格的に取り組む準備としてご利用ください。
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項目
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- 記号、概念
- Dirichlet核、Fejér核
- Fejérの定理とWeierstrassの定理
- Weylの一様分布
- 各点収束についての基本的判定法
- トピックス
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日時
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８月２４日（土） １４：００－１８：００、
８月２５日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Duality II （位相線型空間特論）
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レベル
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中級
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内容
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〔2013/8/26更新〕 2012年度春期集中セミナーで開講した「位相線型空間 Duality序章」の続編です。
今回も時間的な制約がありますので、概念を正しく理解すること、定理をきちっと使えるようにすること（例えばBipolar Theorem）に重点を置きます。
Dualityはいずれ本格的に扱いたいと考えています。秋学期は、実際の解析学で重要なBanach-Steinhausの応用、TVSの帰納極限、射影極限、特にF空間、LF空間 を丁寧に扱う予定です。
Dualityの問題の中心は、Hausdorff LCS (E, ℑ) が与えられたとき その双対 (E, ℑ)′との間に生じる弱位相（これは普遍的）により、
各点における性質が、与えられた位相にどのように反映するかが問題にされます。
双対がVSとして同一であるという性質から、弱位相で確立される収束性に関する性質（弱位相はチコノフの定理が使えるという有益な性質がある！）が、
凸集合に制限する限り元の位相でも言えるのです。例えば、解析学でSchwartz型の超関数が有用なのはこういう事情に基づきます。
時間の関係ですべてを詳しく論ずることはできませんが、なるべく概念の関係を明らかにするように努めました。
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項目
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- 基本的概念からBipolar Theoremまで
- 弱位相続論
- 双対性に整合する位相、Mackey位相
- 回帰性、半回帰性
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日時
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９月１日（日） １１：００－１７：００
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講座名
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ベクトル空間上の凸性、凸関数 一般化
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レベル
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入門・初級
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内容
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凸性の概念の有用性は、会員の皆さんには言うまでもないことと思われます。
実際、関数解析学の基本原理であるHahn-Banachの定理はまさに凸集合の配置についての定理です。
現在では、凸の持つ純粋、応用にかけての有用性は凸解析（とかChoquetの理論）としてひとつの分野になっているほどです。
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項目
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- 定義と基本的な性質
- Minkowski functional、Semi-norm、Norm
- 幾何学的不等式
- 凸性の概念の一般化
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日時
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９月７日（土） １４：００－１８：００、
９月８日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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有限群の表現 （代数特論）
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レベル
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入門・初級
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内容
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〔2013/9/12更新〕 基本的な道具は、有限次元の内積空間線型代数だけです。
有限群であることは、不変測度の存在以外に使われていません。線型代数の習熟度の試金石と言えましょう。
不変測度の部分を修正すれば、コンパクト群の表現論になるようにしてあります。
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項目
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- 表現とG-Module
- Schurの補題
- 表現の同値関係
- 指標
- 有限群の正則表現
- Peter-Weylの定理と調和解析
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日時
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９月１４日（土） １４：００－１８：００、
９月１５日（日） １１：００－１６：００
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２０１３年度 夏学期講座
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入門
初級
初級・中級
中級
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〔講座について〕
- 講座IE、EB、MB以外の7講座は、今学期から新規に開講します。
〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です。一括前納の場合、
講座MBは¥20,000（学生 ¥14,000）、それ以外の講座は¥30,000（学生 ¥21,000）です。
その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談下さい。
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講座名
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ＩＢ． 多変数複素関数論入門 その1
（1変数概観）
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2013/5/14更新〕 多変数複素関数論をCauchy-Riemannの立場（実解析的立場）から扱った
Hörmanderの古典的名著に従った、多変数関数論入門の講座です。
多変数の微積分のごく基本的な概念（例えば微分とJacobi行列、逆関数定理、Stokesの公式）、位相の基本的なことは既知とします。
既に関数論をご存知の方にも、知識のまとめとリフレッシュを兼ねたAdvancedコースとしておすすめします。
尚、レジュメは便宜を考えて、An Introduction to Complex Analysis in Several Variables 3版（North Holland）に沿うようにしました。
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項目
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- 正則関数
- Cauchyの積分公式とその応用
- Rungeの近似定理
- Mittag-Lefflerの定理
- Weierstrassの定理
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日付
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隔週土曜日・全４回
５／１８、 ６／１、 ６／１５、 ６／２９
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時間
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１４：００－１７：００
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講座名
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ＩＣ． 群・複素数平面・メビウス変換 1
（群の概念）
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レベル
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入門
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内容
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〔2013/5/23更新〕 群の発見は、変換たちが数のように振舞うということから始まりました。現代の意味での代数の始まりです。
Galoisの目覚しい成功のあとを受けて、Kleinは幾何の統制原理として群の言葉に注目し、
更にLie、Poincaréとともに群論的解析学に向かったのです。
夏学期は群の基礎概念が中心です。私たちも写像の合成の算術的性格に注意することから始めましょう。
遠い目標は、複素数平面上のMöbius変換の離散部分群を調べること（＝Klein、Poincaré流のRiemann面の理論への入門）です。
こんなことをどこか心の片隅に置いて焦らずに、途中であちらこちら散歩をしながら進んでいきましょう。
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項目
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- 群の基本概念
- 群、半群、変換群
- 部分群、群準同型、正規部分群
- 群の作用とコセット空間
- 複素数平面
- 複素数系
- 複素数平面と直線と円の幾何
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／２６、 ６／９、 ６／２３、 ７／７、 ７／２１、 ８／４
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と多次元空間での微積分 1
（多次元空間）
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レベル
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入門
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内容
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〔2013/5/13更新〕 微積分とは局所的には、Euclid空間の図形の計量にほかなりません。
実際、多次元空間の概念は多変数の微積分が展開する場として現れたのである。
Jacobiの多重積分の計算やCauchy-Lagrange恒等式から始まりRiemann-Grassmannを経てCantorの集合論の言葉の創造により、
19世紀の末に無限次元の空間に飛翔するのである。
微分法は与えられた関数を線型写像で局所近似することです。講座IDの構成は、先ず任意次元のEuclid空間の初等幾何と計算法として初等線型代数を導入します。
次学期に基本図形の有向体積とその変換、積分が導入され、Jacobi行列の意味が明らかにされます。
この結果を用いて、最終学期で多変数の高階微分及び剰余付きTaylor公式等を座標フリーな形で導きます。
多様体上の微積分はこのことを徹底して理念化したものです。本質的な点はほぼEuclid空間の幾何学のレベルで理解できるわけです。
今学期はその1です。主に多次元のEuclid空間の基本図形を扱います。
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項目
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- 数ベクトル空間
- 内積、直交性
- 平面、線型部分空間、張る空間
- 凸性
- 行列、線型写像
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日付
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隔週日曜日・全６回
５／１９、 ６／２、 ６／１６、 ６／３０、 ７／１４、 ７／２８
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＥ． 位相線型空間概論
線型写像の空間・等連続集合・一様有界性原理
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レベル
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中級
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内容
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〔2013/5/23更新〕 今学期は、連続線型写像の空間L(E,F)のプレコンパクト性の特徴付けが中心ですが、全く一般に集合X上のE-値写像全体の空間のS-位相から始めます。
X上のE-値写像の空間の部分空間が相対位相で線型位相空間になる条件から始まります。この位相のプレコンパクト集合の研究は関数解析においては最も原理的なものです。
Xが局所コンパクト空間の時、Sがコンパクト集合全体の族なら扱う位相はCUと言われ、
この空間の相対コンパクト集合の特徴付けが有名なAscoli-Arzelàの定理です。複素関数論で言えばMontelの正規族がそれにあたります。
この定理はかたちや名前を変え、重要な局面であちらこちらにkey Lemmaとして現れるので、
統一的理解はこの上もなく関数解析全般の基礎としてS-位相の一般論の部分のみ参加される方も歓迎します。
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項目
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- 準備
- S-位相再論
- 等連続性、一様有界性原理、Banach-Steinhausの定理
- 双線型写像と位相テンソル積
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日付
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隔週土曜日・全３回
５／２５、 ６／８、 ６／２２
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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レベル
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入門
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内容
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〔2013/5/31更新〕 どのような分野の数学をやるにせよ、現代の数学をやるには必須の最低限の技術的知識です。
それ以前の知識にかかわりなく、この部分に難点があるとご自分で本格的に数学をやる際の躓きの石になります（実際長年の経験ではこの部分が不確かな方が多い！）。
この部分に十分に習熟されている例外的な方を除いては、なるべく早いうちの履修をお勧めします。
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項目
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- シグマ再論、数学的帰納法の用法
- 集合の代数
- 写像
- トピックス
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日付
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隔週土曜日・全６回
５／１８、 ６／１、 ６／１５、 ６／２９、 ７／１３、 ７／２７
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時間
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１１：００－１３：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＩＳ． 代数関数論 付値体
（岩澤健吉著 代数函数論 第１章）
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レベル
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中級
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内容
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〔2013/7/3更新〕 今学期は、岩澤健吉著 代数函数論 第１章 附値論よりの準備に沿っての概説です。
附値は有理型関数の位数の一般化です。一点の周りでの冪級数とLaurent級数を念頭に置けばやっていることの見当がつくでしょう。
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項目
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- 付値により定まる距離と完備化
- 付値の定義
- 付値による位相の比較
- 素因子による完備化
- 完備体の展開定理
- Henselの定理
- 素因子による膨張と射影
- 相対次数、分岐次数
- 素因子の膨張
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日付
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毎週日曜日・全４回
７／７、 ７／１４、 ７／２１、 ７／２８
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時間
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１４：００－１７：００
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相I
基本概念
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レベル
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初級
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内容
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〔2013/5/23更新〕 前年度は、「距離空間と解析序説」というタイトルで位相の基礎を論じました。今年度はアドバンストコースです。
いつも申し上げることですが、「抽象という操作は実用的である」をスローガンに主に関数解析の基礎素養としてのトポロジーの基礎をテーマに進んでいきます。
従ってある集合上のすべての位相や、位相の族の上限、下限、与えられた条件下で位相を作るなどの
概念的に高次の、しかし数学を研究する際に実際的な操作が問題になります。
この講座では数学的な成熟をある程度期待しています。関連する講座としてはIEはこの講座の発展編です。位相の学び直しに最適です。
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項目
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- 位相の概念 開集合系、閉集合系、近傍系
- 距離空間、ノルム空間
- 点のトポス
- 連続写像
- フィルタ
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日付
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隔週日曜日・全３回
５／２６、 ６／９、 ６／２３
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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ＥＢ． 外微分の応用
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2013/7/3更新〕 Flandersの教科書「微分形式の理論 およびその物理科学への応用」（岩堀長慶 訳、岩波書店）は、解析学、幾何学、物理数学のかなり豊富な題材を含んでいます。
今回はとりわけ微分方程式への応用を中心とした7章、余裕があれば前学期の発展として微分幾何への応用からトピックスを選ぶ予定です。
心づもりとしては、今年度中に調和積分、Lie群への応用まででこの講座は一段落と考えています。
どちらかというと深くではなく将来の基礎素養として、ここで展開される事実と型を学んでおきたいと思います。
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項目
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- イントロダクション
- 調和関数に関するPoissonの積分公式とLiouvilleの定理
- 熱方程式の一意性
- 積分定理、Frobeniusの定理
- トピックス
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日付
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隔週土曜日・全３回
７／６、 ７／２０、 ８／３
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数I
線型空間、実在と表現
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レベル
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初級
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内容
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〔2013/5/31更新〕 代数の役割は、数学・物理学をはじめとする諸科学の計算可能な言葉を創ることです。その中でも、抽象線型代数は基本的で様々な分野の記述に現れてきます。
例えば道を線型化する。基本図形の線型化。微分の空間、関数空間などなど。
実用的でないか？とんでもない！現実の微積分は座標化された線型代数そのものです。そして究極の線型代数は作用素環というわけです。
抽象線型代数は、一般位相と並び最も基本的で根源的な数学的対象の表現手段です。抽象を道具として使いこなす現代的な数学では、この部分への習熟は当然の前提です。
そのような意識のもとで教程が作られています。数学工房の講座は、入門的な講座を除いては抽象線型代数の基本のある程度の習熟を仮定しています。
上に述べた目的のため、線型空間論は有限次元特有の問題を除いては、無限次元で使える形で述べられています。また座標の概念や双対の取り扱いに特徴があります。
学部で線型代数を学ばれた方でも、道具として線型代数を使いこなす立場からの学び直しをおすすめします。
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項目
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- 線型空間 定義と典型空間
- 部分空間の演算
- 生成される線型空間、直和
- 線型独立・線型従属
- 次元、基底、座標
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日付
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隔週日曜日・全４回
５／１９、 ６／２、 ６／１６、 ６／３０
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時間
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１４：００－１７：３０
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▲目次へもどる
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講座名
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ＭＢ． 解析学のための多様体入門IV
多様体上の向き付け、積分
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2013/7/11更新〕 今学期は全2回なので、多様体の向き付けと体積要素、多様体上の積分に焦点を絞ります。
局所的には、n次元Euclid空間の領域でのRiemann積分そのものです。
問題は、どうやって向きを保つように積分を貼り合わせるかです。
Stokesの定理やRiemann多様体上の調和解析などは次の機会をお待ちください。
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項目
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- 線型空間の向き付け
- 多様体の向き付け
- 多様体上の積分
- 体積要素と体積要素に関する積分
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日付
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隔週土曜日・全２回
７／１３、 ７／２７
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時間
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１４：００－１８：００
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▲目次へもどる
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２０１２年度 春期集中セミナー
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入門・初級
初級
中級
フリー
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〔料金について〕
- 2日間の集中講座は、¥16,000（会員）、¥12,000（学生会員）です。
- 1日の集中講座は、¥10,000（会員）、¥8,000（学生会員）です。
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講座名
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応用線型代数特論
2次形式と対称変換の解析学、特異値、特異ベクトル
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レベル
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初級
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内容
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2次形式と2次形式で定まる対称変換は、純粋、応用数学を問わずいたるところに現れます。Gram行列も然りです。
それらの概念の働き、必然性を内積空間の枠組みで明確に理解しましょう。
また、なぜ特異値と特異ベクトルなのか？
これらが、内積空間の間の線型写像に属する幾何学的特性量で線型写像を定めるものであることを通じて、
その意義を内在的に理解してください。
尚、応用と幾何学からのトピックスを付け加える予定です。
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項目
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- 内積空間上の作用素のクラス
- 作用素の構造、Adjoint
- 2次形式と対称変換
- 特異値と特異ベクトル
- 応用
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日時
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４月２０日（土） １４：００－１８：００、
４月２１日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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数学の楽しみ
円分多項式・Fibonacci多項式
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レベル
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フリー
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内容
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もともと代数学演習で取り上げると予告しながら実現しなかった講座です。
1のn乗根の作る群の生成元で定まるのが原始多項式で、この多項式による分解によって、
Fibonacci型の多項式たちは共通の美しい乗法的な性質を持ちます。
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項目
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- 〔Introduction〕 Fibonacci数の一般化
- n乗根の作る群と原始多項式
- Fibonacci型多項式の美しい乗法的性質の根拠
- トピックス
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日時
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４月２７日（土） １３：００－１８：００
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講座名
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代数学と解析学特論 直交多項式
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レベル
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入門・初級
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内容
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有界測度による平均2乗距離による多項式近似の一般論を展開します。
内積空間の理論の典型的な応用です。時間が許せば、Padé近似等との関係も取り上げたいと考えています。
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項目
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- 直交多項式の定義と基本的な性質
- 直交関数系と核関数、Fourier式展開
- 直交関数の零点分布
- トピックス
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日時
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５月３日（金・祝） １４：００－１８：００、
５月４日（土・祝） １１：００－１６：００
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講座名
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位相線型空間 Duality序章
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レベル
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中級
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内容
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〔2013/5/2更新〕 抽象的であることは、実際的なことでもあります。与えられた何らかの具体的な対象の作る位相線型空間があるとき、
問題、用途に応じて見かけの異なった双対の実現を用いることが、しばしばあります。そのような状況の自然な概念化がDual Systemです。
Dual Systemの取り扱いは、現代的な位相線型空間の理論の要になっています。前学期の後半に双対空間のS-位相を扱いましたが、
これは、位相線型空間があらかじめ与えられたときに、連続線型形式の作る双対空間の位相を手短に知るために特別な場合を取り上げたのです。
今回は、このあたりの重要さと分かりにくさを（かなり深刻に見えます！）踏まえて（この辺はこの方面の玄人を目指す人にとっても難所だと思われます）、
Bipolar Theoremを含めて、Dual Systemと弱位相の基本事項のみを丁寧に扱います。
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項目
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- Dual System
- Polar set, Polar topology
- Bipolar Theorem
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日時
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５月６日（月・祝） １１：００－１７：００
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２０１２年度 春学期講座
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入門
初級
初級・中級
中級
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〔料金について〕
- 各講座とも、一括前納が原則です〔¥30,000（学生 ¥21,000）〕。
その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談下さい。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程IV
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レベル
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入門
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内容
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前学期までの結果を受けて、関数項の級数のまとめから入ります。その結果を用いて、
古典解析学の根幹である、冪級数の理論と応用として初等超越関数、特に円関数から派生する関数たちを扱います。
最後は剰余付きTaylor公式とその若干の応用を予定しています。
連続講座としての解析教程はこの辺で一旦終了いたします。この水準の素養を仮定して、
様々なトピックスを短めの演習講座の形で提供する予定です。
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項目
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- 関数項の級数まとめ
- 冪級数の理論
- 冪級数で定義される関数（実解析関数）
- 剰余付きTaylor公式と応用
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日付
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隔週日曜日・全６回
１／２７、 ２／１０、 ２／２４、 ３／１０、 ３／２４、 ４／７
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と多次元空間における微積分III
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レベル
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入門
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内容
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多次元空間の幾何学は、多変数の微積分と同時に現れました。初等線型代数は多次元空間の代数化です。
本来、この三者は三位一体のものです。多様体のような純粋数学だけでなく、応用数学に登場する諸量の意味の理解にもつながっています。
さて今学期は、多変数実数値関数の高階微分を扱います。付随して、内在的にベクトル解析等に現れる諸量やヘッセ行列などを扱います。
剰余付きTaylor公式とその用法を取り扱います。微分のテンソル表示が取り扱われるのも本講座の特徴です。
多様体上の微積分は本講座の精密化と洗練に他ならず、また今回の内容をよく見ると、
微積分の理論の自然な枠組みとしてBanach空間が現れることが理解できるでしょう。
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項目
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- r回連続微分可能な関数のクラス
- グラージェント、ダイバージェンス、Hessian、Laplacian
- 高階微分とテンソル表示
- 剰余付きTaylor公式
- 極値
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日付
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隔週日曜日・全６回
１／２０、 ２／３、 ２／１７、 ３／３、 ３／１７、 ３／３１
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． 位相線型空間（HAHN-BANACHの定理）
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レベル
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初級・中級
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内容
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秋学期の講座IEでは、局所凸空間の一般論の概略を学びました。今学期は、
Baireのカテゴリー定理と並んで関数解析における最も根源的な定理であり、
使ってはいてもなかなか正体のわかりにくいHahn-Banachの定理を、なるべく幾何学的に目に見えやすい形で取り扱います。
また、時間があれば、具体的な関数空間の構成にしばしば有用な位相線型空間の帰納極限と射影極限を取り扱う予定です。
なお、Baireのカテゴリー定理は、今学期の講座EAで取り扱います。
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項目
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- Hahn-Banachの定理の幾何学的表現と解析的表現
- 幾何学的定理の証明
- Hahn-Banachの定理の解析への応用の基本の型
- 近似問題
- 存在の問題
- 分離の問題
- 〔補充〕 Inductive Limit Topology, Projective Limit Topology
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／１９、 ２／２、 ２／１６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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レベル
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入門
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内容
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自分の力で数学をやろうとすれば必ず身につけておかねばならぬ部分です。
演習を通して基本事項を確認していきます。まさに基本素振りなのですが実はこの部分は、同じに見えても力量の差がすごく出るのです。
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項目
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- 集合と論理
- 写像
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日付
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隔週土曜日・全６回
１／２６、 ２／９、 ２／２３、 ３／９、 ３／２３、 ４／６
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＳ． 代数函数論を読む その3
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2013/3/13更新〕 今回は、PoincaréやKleinによって拓かれた、
群論的なRiemann面の理論、被覆Riemann面とRiemann面の分類、標準型の話に入ります。
任意のRiemann面に対して単連結Riemann面が存在して、この面上の解析的自己同型群の不連続変換群（これをPoincaré群という）
によるコセット空間として、始めの面は表示されます。この単連結Riemann面を単連結被覆面と言います。
また同値なRiemann面はこの観点からすると、Riemann面の分類問題は、すべての単連結Riemann面とその上の解析的自己同型群の不連続変換群を
研究するという群論的な問題になります。しかも、単連結Riemann面は、Riemann球、全複素平面、単位開円板のどれかに同型になるのです。
この講座は、代数函数論（岩澤健吉著、岩波書店）の第3章 5節、6節 172p－202pに該当する内容です。
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項目
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- 被覆多様体
- 被覆面
- 単連結Riemann面と標準型
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日付
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毎週日曜日・全４回
３／１７、 ３／２４、 ３／３１、 ４／７
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時間
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１４：００－１７：００
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講座名
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ＥＡ． 距離空間と解析序説III
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レベル
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初級
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内容
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夏学期、秋学期では距離空間とトポロジーのごく基本的なことを学びました。
今学期は、関数解析への展開を睨んで若干の補充をします。
1.のBaireのカテゴリー定理は、Hahn-Banachと並んで最も根源的な定理で解析学のデリケートな問題にしばしば顔を出します。
2.では、開集合系の基、近傍の基、加算公理その他を扱い、3.では、フィルタの一般論に当てる予定です。
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項目
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- Baire Category Theorem
- 位相空間の一般論からの補充
- フィルタ
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日付
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隔週日曜日・全４回
１／２０、 ２／３、 ２／１７、 ３／３
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時間
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１４：００－１７：３０
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講座名
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ＥＢ． Euclid空間での外微分の応用
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2013/3/7更新〕 テンソル場や微分形式、外微分等が座標不変なことはご存知のとおりです。
それではその事実をどのように利用するのかを、今回は幾何の有力な手段である動基底を通して見てみましょう。
微分形式を係数とする加群を扱うならテンソル積を作れば良いわけですが、
そういう抽象的な方法をとらずに微分形式係数の行列の算法から始めます。
第一部の最後は通常のEuclid空間の幾何の言葉で、外微分の形式的な関係式がどのように理解されるのか、
また曲面上のLaplace-Beltrami作用素に及びます。
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項目
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- 微分形式の行列算法
- 動基底と構造方程式、積分可能条件
- 基底のなす空間
- Hodge星印作用素
- Laplace作用素と直交曲線座標系
- 3次元Euclid空間における曲面
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日付
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隔週土曜日・全３回
３／９、 ３／２３、 ４／６
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数III
内積空間の幾何学と作用素のクラス
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レベル
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初級
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内容
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一般位相と並び現代数学の最も基本的な型稽古です。どの分野に進まれるにせよ必ず習熟すべき分野です。
今学期は内積空間の一般論です。1.では、定義から始まり直交性、正射影定理、後半で線形形式の表現定理、近似定理、直交化を、
2.では、内積空間の作用素の一般論、作用素ノルム、adjoint、対称変換、正射影の代数 などを扱います。
ここまでの方法が自由になるだけでもどれほど多くの問題が明瞭になることか！
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項目
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- 内積空間の幾何学
- 内積空間における作用素のクラス
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日付
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隔週日曜日・全４回
１／２７、 ２／１０、 ２／２４、 ３／１０
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時間
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１４：００－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． 解析学のための多様体入門III
多様体上の微分形式と外微分
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レベル
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中級
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内容
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今学期の主要テーマは、微分形式と、その外微分の構造をはっきりさせることです。
この講座は、次に多様体の向き付けと積分に向かっていきます。今学期の部分は、
応用解析に向かうにせよ幾何に向かうにせよもっとも基本的な標準装備です。
幾何学的な応用に関心のある方は、講座EBで、Euclid空間限定ですが外微分の幾何への応用をやります。
微分形式や外微分の使い方の参考になるでしょう。
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項目
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- 共変テンソル場
- 共変テンソル場のLie微分と微分形式の外微分
- 写像による共変テンソル場の変換
- コホモロジー環
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日付
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隔週土曜日・全３回
１／２６、 ２／９、 ２／２３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． 複素多様体と多変数複素関数論II
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レベル
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中級
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内容
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〔2013/3/2更新〕 諸般の事情により、今学期は休講となりました。なお、内容はほぼ完成しているので、日を改めて通常あるいは集中セミナーの形で提供いたしますので、よろしくお願いします。
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項目
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日付
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休講
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時間
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２０１２年度 冬期集中セミナー
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入門
入門・初級
初級
初級・中級
新年会・懇親会：
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【2012/12/8更新】
ただいま2013年会費（1月～12月）¥3,000（学生 ¥1,500）の払込受付中です。
集中セミナーを受講される方は、セミナー受講料と同時にお支払いください。
集中セミナーは、会費のお振込みがないと会員外の講座料になりますのでご注意ください。
〔料金について〕
- 2日間の集中講座は、¥16,000（会員）、¥12,000（学生会員）です。
- 1日の集中講座は、¥10,000（会員）、¥8,000（学生会員）です。
- 「新年会・懇親会」の会費は¥2,000です。
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講座名
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IF集中講座
総和記法（Σの用法）数学的帰納法
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レベル
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入門
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内容
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数学を本格的に学ぶ際に身に付けなくてはならない必須の素養です。
言うまでもないことですが、数学は問題の解答の処方集でもなければ、一般的な意味での教養ではありません。
当然、用いられる言語に対する技術的習熟が求められます。
数学的帰納法とΣ記号は、実際の数学の展開の中で様々な形で頻繁に現れます。
その重要さにも関わらず、学校数学のなかでは漫然と扱われることが多いので、
数学工房では例外的な方を除いて、他の講座をとられる前に、この部分を学び直すことをおすすめしています。
前学期まで講座IFは、通常コースで
- 総和記号と数学的帰納法
- 集合と写像
を扱っていましたが、ご自分の手を動かして演習しながら身に付けて頂くためには駆け足の感がありました。
ここはどんな分野を学ぶにしても基礎となるので、完全にマスターしていただくため、2. を通常コースに、
1. は独立して集中セミナー用（これが本講座です）に編集し直しました。
鈴木桜子が担当します。
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日時
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１２月１６日（日） １１：００－１７：００
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講座名
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線型変換の構造と標準形、線型表現
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レベル
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初級
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内容
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今年度開講した講座G
- 抽象線型代数I（線型空間 表現と実在）
- 抽象線型代数II（線型写像、線型変換の構造論）
の補充と発展編です。従って線型空間、線型写像の基礎概念と基本的な性質は既知とします。
一般に多変数解析学、関数解析、多様体などは無論のこと、表現論や作用素環などを学ぶ前に、
この程度の素養はあったほうが良いでしょう。Jordan標準形の意味を含みます。
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項目
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- 補充と準備
- 射影の代数
- 多項式空間とShift不変部分空間
- 線型変換の分解
- 標準形
- Topics
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日時
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１２月２２日（土） １４：００－１８：００、
１２月２３日（日・祝） １１：００－１６：００
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講座名
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ノルム環の基礎1（作用素環入門）
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レベル
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初級・中級
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内容
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ノルム空間、Banach空間については既知として、複素ノルム環の位相代数としての基礎を、全く一般的な形で扱います。
関数解析、Lie群の表現論、作用素環等を学ばれたことのある方は、より、一般的な形でのまとめに、
初めての方は、位相代数の発展的演習としてご利用ください。
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項目
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- ノルム環 定義と例
- 正則元、擬正則元、位相的ゼロ因子、Banach環の指数、対数
- ノルム環のスペクトル
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日時
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１月５日（土） １１：００－１７：００
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講座名
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新年会・懇親会
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内容
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数学を通じての楽しい会員同士の交流の時間をお楽しみください。軽食・飲み物付きです。
- お年玉講義「確率論におけるあるタイプの極限定理」 １３：００－１５：００
今回は、講師の鈴木桜子の等身大の立場から、博士論文への取り組みを思い起こしてもらい、
数学的な内容の概要は無論ですが、率直に、テーマ発見のいきさつから博士論文が形になるまでの経緯を話してもらいます。
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日時
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１月６日（日） １３：００－１７：００
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講座名
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演習講座． 微分形式、外微分
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レベル
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入門・初級
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内容
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秋学期に、基礎図形の作る計量空間の発見をテーマとした全2回の演習講座を行いました。
今回も、講座IDに毛の生えた程度での精神で、直感と式の微妙な相互作用を楽しみましょう。
微分形式は、特別な型の微分方程式の問題の幾何学化にほかなりません。
本格的な多様体の講座では、優に1学期分の内容に当たるエッセンスの直感的な鍵を2日間で取り扱います。
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項目
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- 微分形式の概念
- 微分形式の引き戻し
- 外微分と外微分の不変性
- Poincaréの補題
- トピックス、演習
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日時
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１月１２日（土） １４：００－１８：００、
１月１３日（日） １１：００－１６：００
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２０１２年度 秋学期講座
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入門
入門・初級
初級
初級・中級
中級
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【2012/10/8更新】
〔講座について〕
- IF、IE、MCは、今学期新規開講の講座です。
- IE0は、1回講座です。
- 諸般の事情により講座IHおよびEBは休講となりました。その代わりに，演習講座「外積代数入門 『基礎図形の作る計量線型空間の発見 代数化と双対への埋込みへの手ほどき』」を開きます。
〔料金について〕
- 一括前納が原則です。各講座は、一括前納の場合¥30,000（学生 ¥21,000）です。ただし、講座IE0は¥10,000（学生 ¥8,000）、演習講座は¥20,000（学生 ¥14,000）です。
- 各回払いの場合は、全6回講座では¥5,000/回、全4回講座では¥7,500/回、全3回講座では¥10,000/回です。演習講座は¥10,000/回（学生 ¥7,000/回）です。
受講にあたっては、別途テキスト代¥2,000（学生 ¥1,000）が初回受講時にかかります。
〔キャンセル規定〕
- 原則として、「開講６日前まで」は事務手数料¥1,000のみお支払ください。
「５日前から前日まで」は事務手数料¥2,000、テキストをお渡し済の場合はプラス¥1,000（合計¥3,000）となります。
当日のキャンセルは第1回分の講座料の50％です。開講後はお返しできません。
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講座名
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ＩＡ． 解析教程III
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レベル
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入門
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内容
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閉区間上の有界関数の上積分、下積分から始まりRiemann可積分の一般論を扱う。
特に、その中のまとまりの良いクラスとして連続関数のクラスと強力な代数化として微積分の基本定理を扱います。
この講座の基本は、アドヴァンストコースとのつながりを意識して、極めて体系的に作られているが、
同時に、発見的な側面の重要さを忘れて欲しくないと思い自然対数関数の発見の章を加えました。
後半は関数列、関数項の級数の収束が主題です。
ただし、取り扱う内容の分量と近づきやすさを考慮して、必ずしもすべての内容を厳格に扱う事はしません。
いつも申し上げていることですが、一般位相や、解析学の各種概念の雛形、構成法の多くの原型は既に微積分のこの段階に見ることができます。
漫然とした、勉強ではなく、高い質の稽古を目指してください。
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項目
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- Riemann積分と微積分の基本定理
- Riemann積分
- 連続関数のRiemann積分
- 微積分の基本定理
- 自然対数関数の発見
- 関数列、関数項の級数、一様収束
- 級数概論
- 関数列、関数項の級数、一様収束、正規収束
- 冪級数、冪級数で表示される関数
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／２３、 １０／７、 １０／２１、 １１／４、 １１／１８、 １２／２
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線型代数と多次元空間における微積分II
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レベル
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入門
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内容
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微積分は本来無限小の解析幾何学で、無限小部分を記述する手段が線型代数と言える。この事実は１７世紀の解析学の発生以来変わらない。
１９世紀の多変数解析学の進展と並行して多次元空間の初等幾何、線型代数の発見、研究が始まったのである。
本来、微積分、多次元空間の初等幾何学、初等線型代数は、同時に学ぶべきものである。
純粋応用を問わず、本格的な数学を志す事前の素養としておすすめします。
後期解析教程や多様体を学ばれる前に、抽象線型代数や抽象位相と同様にウォームアップとして学ぶべきことです。
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項目
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- 体積形式の存在と行列式、交代形式
- 線型変換の行列と行列式、sgn再論
- 領域上の積分
- 写像の微分とJacobi行列
- 積分の変数変換
- いくつかの基礎積分
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日付
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隔週日曜日・全６回
９／３０、 １０／１４、 １０／２８、 １１／１１、 １１／２５、 １２／９
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ 0． 位相線型空間特論
有限余次元、コンパクト、プレコンパクト
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レベル
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初級・中級
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内容
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位相線型空間(TVS)の一般論で、連続線型写像、TVSの準同型、商空間、位相的内部直和、外部直和 等を扱いましたが、
そのなかで「補空間が有限次元の特別な場合（これは応用上も最も重要な場合ですが）」に限定して詳細に扱います。
また、コンパクトとプレコンパクト・完備の関係について補充をする予定です。直和や商空間の概念をよく理解したい方にはお勧めです。
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項目
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- 有限次元Hausdorff位相線型空間
- 有限余次元Hausdorff位相線型空間
- 演習
- TVSにおけるコンパクト性、プレコンパクト、完備性
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日付
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１回講座
９月２２日（土）
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＥ． 局所凸空間概論
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レベル
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初級・中級
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内容
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一通り初級以上の講座を学ばれた方、あるいは同等の水準の方が、それまでの知識を総合して生きた道具にするのをお手伝いする講座の一つです。
言うまでもないことですが、ある数学を本当に理解する、自分のものにするというのは、一度本を読んだ、セミナーに出た、講義に出たからOKとはならないのです。
様々な状況で主体的に基礎知識を応用して使ってみて初めて正体の見えてくるものと申せましょう。
またこの作業を通してご自分が理解していなかった部分もはっきりしてきます。その時はその部分を理解しなおすことはもちろんです。
数学に適した人とはこのようなことを飽きず、諦めずが楽しくできる人であることだと思います。
ところで凸性の解析は、解析学の基礎としてのTVSの主要なテーマです。十分にたくさんの凸集合を持つのが局所凸空間です。
内容豊かな解析学の基礎理論を展開するには、位相線型空間の一般論はあまりにも広すぎ、逆にBanach空間は、狭く必ずしも自然ではない、
という理由で一つの研究領域になっています。
本講座では、線型代数、一般位相へのある程度の習熟は期待します。また位相線型空間の概略の知識は期待します。
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項目
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- セミノルム、連続セミノルム、連続セミノルム基底
- 連続線型写像、フィルタ、ネットのセミノルムによる特徴づけ
- 部分空間、商空間、位相直和 への局所凸性の伝播
- LCVSの完備、プレコンパクト、コンパクト
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日付
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隔週土曜日・全３回
１０／６、 １０／２０、 １１／３
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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レベル
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入門
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内容
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本講座では、集合と論理、集合の演算、および写像を演習も交えてできるだけ系統的に扱います。
集合と写像に関する基礎的な方法は、数学のあらゆる領域を展開する上に広く利用されます。
従って、それらの扱い方の技術的な素養はどの分野を学ぶにしても必要です。
集合を、その要素の持つ属性に注目して扱う場合、論理が重要な役割を果たし、
逆に論理は集合によって対象化されます。理解を助けるために、記号論理の基礎的な事項も扱います。
（担当 鈴木桜子）
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項目
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- 総和記号と数学的帰納法
- 集合論の概念、記号法、算法
- トピックス
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日付
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隔週土曜日・全６回
９／２２、 １０／６、 １０／２０、 １１／３、 １１／１７、 １２／１
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＨ． 微分形式 その物理科学への応用
（Flandersの名著に挑戦）
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レベル
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入門
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内容
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〔2012/09/17更新〕 今のところご希望がありませんので、残念ながら今学期は休止します。
Flandersの「微分形式」は本当におすすめできる一冊ですので、機会を改めて取り上げる予定です。
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項目
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日付
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休講
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時間
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講座名
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ＩＳ． 代数函数論を読む その2
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2012/11/13更新〕 Riemannの複素関数論の基礎づけに現れた画期的アイデアは、
（現在ではRiemann面と呼ばれる）多様体上に非自明な解析関数が存在することを示し、そこから代数関数論を建設する途を拓いたのです。
極めて直感的なRiemannの仕事を現代の基準で正当化したのが、H.WeylのDie Idee der Riemannsche Flaeche です。
基本的な考え方は、複素関数を実2次元ベクトル場として、可側実2次元ベクトル場の実Hilbert空間を用いて、
与えられた特異性を持つ調和関数の存在を示す。そこから解析関数ができるわけです。岩澤健吉先生の著書に沿ってこの部分を扱います。
ただし、この部分の主要部は定式化と結果を述べるにとどめるつもりです。その帰結として、Riemann面上に現れる解析関数を丁寧にあつかいます。
Riemann面上の調和関数の存在については、講座MB「解析学のための多様体入門」の コンパクト多様体上の調和形式 において取り扱うことになっています。
また、開Riemann面については、講座MC「複素多様体と多変数複素関数論」の中で一般的なかたちで確立する予定です。
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項目
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- 用語・基本概念・基本的な結果の復習
- Riemann面における解析関数、微分の存在
- Riemann面上のベクトル場
- 可測ベクトル場
- Cr級ベクトル場、グラージェントベクトル場、ダイバージェンス
- Riemann面上の可測ベクトル場のHilbert空間
- Riemann面上の調和ベクトル場
- 主定理
- Riemann面上の解析関数体
- 被覆面
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日付
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毎週日曜日・全４回
１１／１８、 １１／２５、 １２／２、 １２／９
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時間
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１４：００－１７：３０
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講座名
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ＥＡ． 距離空間と解析序説II
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レベル
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初級
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内容
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抽象線型代数と並び最も基本的な現代数学のための型稽古です。本講座の特徴は、実際の解析学の展開の中でつまづきやすい問題点に注意を払っています。
例えば、本格的な解析学では相対位相が大きな役割をしますが、これは意外にわかりにくいものです。そこで一つの節を当てました。
また微積分での区間、関数論で領域（連結開集合）がなぜ別格の位置を占めるかなどを明確に示すようになっています。
ここで扱われる知識はもとより重要ですが、現代数学の抽象の方法も学んでください。抽象線型代数と同様に、ここで扱われる内容は学んだからといってすぐに本当にわかるものではありません。
具体的な将来の本格的な数学の実践の中で鍛えていくものです。
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項目
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- 相対位相と部分距離空間
- 連結性
- 局所定数関数
- 連結性の基本的性質
- Euclid空間の連結開集合
- 連結成分
- 局所連結空間
- コンパクト性
- Heine-Borelの性質・有限交叉性
- コンパクト性についての基本的結果
- コンパクト集合の連続像
- コンパクト集合上の連続関数
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日付
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隔週日曜日・全４回
９／３０、 １０／１４、 １０／２８、 １１／１１
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時間
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〔2012/10/12更新〕 第1回目（９月３０日）は、台風による臨時処置として１４：００－１７：３０の予定を1時間半短縮いたしました。
その分を各回に振り分け、第2回目（１０月１４日）より、時間を１４：００－１８：００に変更いたします。
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講座名
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ＥＢ． 現代ベクトル解析
テンソル場の理論
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2012/10/4更新〕 諸般の事情により、今学期は休講となりました。
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項目
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日付
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休講
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時間
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数II
線型写像、線型変換の構造論
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レベル
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初級
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内容
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線型空間論の基本的な知識は前提として、線型写像、線型変換の一般論を学びます。
ここでの取り扱いは、自然に多様体の概念構成や作用素論等に結びつくように作ってあります。
無論ここで学んだことを使いこなすことは、本当に理解することはそう簡単ではありません。
覚えれば良いというものでないからです。
残念ながら、みなさんも気づかれておられるでしょうが、実際ちゃんと使いこなせる人は少数派です！
そのために今年の夏の「線型空間とは何か？」というような集中講座の形で、
比較的初歩的な材料で線型代数のコツ、技術の向上を図る講座を提供するつもりです。
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項目
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- 線型写像
- 双対基底、座標写像、双対空間
- 行列表示と座標変換
- 線型変換
- 射影と直和
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日付
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隔週日曜日・全４回
９／２３、 １０／７、 １０／２１、 １１／４
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時間
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１４：００－１７：３０
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講座名
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ＭＢ． 解析学のための多様体入門II
ベクトル場、計量、流れ
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レベル
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初級・中級
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内容
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〔2012/11/07更新〕 今学期はベクトル場と微分作用素から始まります。
＊先に、テンソル場から開始するとお知らせいたしましたが、夏学期の進度について誤認がありました。
夏学期は部分多様体まで終わっており、今回はベクトル場と微分から開始のはずでした。私の錯覚でご迷惑をおかけしました。（桑野耕一）
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項目
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- ベクトル場と微分作用素
- ベクトル場
- ベクトル場の作る加群
- 微分作用素としてのベクトル場
- 代数語からの補充
- ベクトル場とLie微分
- Lie微分
- Lie環
- 多様体上のベクトル場のLie環としての構造
- 微分同相から持ち上げられるLie環の自己同型
- 多様体上のテンソル場
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／１０、 １１／２４、 １２／８
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． 複素多様体と多変数複素関数論I
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レベル
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中級
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内容
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〔2012/11/13更新〕 今回は基礎編です。可微分多様体の基本事項・定義から、
接空間、多様体間の可微分写像あたりまでを初めに復習します。
複素多様体の要点は、偶数次元の実多様体で接空間が1点に作用する複素数値の微分作用素全体と同一視されるのだから、
実接空間を複素化すれば良いわけです。
複素多様体の準備の後、講座ISと共通の問題、非自明な解析関数を十分にたくさんもつ複素多様体の特徴づけに向かいます。
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項目
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- 可微分多様体について
- 実ベクトル空間の複素化
- 複素N次元アフィン多様体についての基本事項
- 複素多様体
- 定義
- 正則関数
- 接空間と双対
- 概複素構造
- Hermite計量
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日付
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隔週土曜日・全３回
１１／１７、 １２／１、 １２／１５
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時間
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１４：００－１８：００
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講座名
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演習講座． 外積代数入門
「基礎図形の作る計量線型空間の発見
代数化と双対への埋込みへの手ほどき」
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レベル
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入門・初級
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内容
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〔2012/10/8更新〕 数学の理論は突然天下りに発明されるわけではありません。外積代数の作られ方を例として、半ば発見的に、直観的に諸量を計算しつつ、
有限次元の計量線型空間上の外積代数の実在を素朴な形で認識し確立することです。この過程で、面白い行列式の関係式がたくさん出てきます。
ここで学んでいただきたいのは、直観と代数の持つ抽象性、客観性の相互作用です。このようにして出来上がった理論の数学的実在を最後に論じます。
ところで、Cauchyの仕事には既にそのようなアイデアが見られます。
そこで、Cauchy-Lagrange恒等式の研究から始めましょう。線型代数へのある程度の習熟は期待します。
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項目
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- イントロダクション Cauchy-Lagrange恒等式の拡張から始めよう
- p-ベクトルの空間の算法
- 行列式、外積、線型変換とp-ベクトル
- p-ベクトル間の内積
- 星印作用素
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日付
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隔週土曜日・全２回
１０／１３、 １０／２７
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時間
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１４：００－１８：００
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２０１２年度 夏期集中セミナー
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講座名
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Advanced Linear Algebras
テンソル空間、交代形式、対称形式 （初級・中級）
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内容
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解析学や幾何学にはさまざまなタイプの積が現れる。そのような一般的な積を体系的に計算することが
問題になる。例えば、多様体上に高階の微積分を展開するにはどうするのか、
また多様体上の解析的、あるいは幾何学的なオブジェクトを適切に定義し系統的に計算する、
多重線型代数（テンソル代数）はこのようなタイプの問題への系統的な見通しの良い基礎を与えるものと
いえよう。
抽象線型代数の基礎概念（例えば、基底、次元、行列表現等々）、
多変数の微積分の基本についての知識、抽象的な論法についての馴染みは期待する。
数学工房の講座で言えば、講座G 抽象線型代数と同程度の知識です。
初級レベルの代数の発展的な復習として、また、多様体や関数解析学、現代代数学、
幾何学への予備知識、準備として手頃かと思います。
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項目
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- 多重線型写像
- p 重線型形式
- 多重線型形式の線型空間
- 多重線型形式のテンソル積
- 共変テンソル空間
- 共変テンソルの一般論
- 対称群の作用
- 対称共変テンソル
- 交代共変テンソル
- 対称作用素、交代作用素
- 外積代数
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日時
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８月１１日（土） １４：００－１８：００ ８月１２日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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数学の基本語彙と文法 インテンシブコース （入門）
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内容
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仕事の都合あるいは遠方であるとの理由で「通常講座IF に参加しにくいので、集中セミナーでやってほしい」というご要望が
前々からあったため、この講座を設けました。
この講座は、IFの後半部分で扱う「集合の代数と写像、写像の像、原像の取り扱い等」に内容を短縮して、2日間の集中にまとめたものです。
どのような分野を学ぶにせよ必要最低限の技術的知識です。この部分に難点があると
本格的に数学に取り組む際につまづきの石になりますので、この機会に是非とも受講されることをおすすめします。
この部分の基礎的なスキルを実際的な局面で自由に使いこなせるようになることはもう一段上の問題です。
鈴木桜子が担当します。
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項目
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- 集合論からの概念と記号法
- 集合の算法
- 写像の像と原像
- 写像の算法
- トピックス
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日時
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８月１８日（土） １４：００－１８：００ ８月１９日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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線型空間とは何か （入門）
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内容
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〔2012/08/24更新〕
初めは体系的に多項式空間を取り扱うつもりでしたが、少し考えが変わって、
多項式を題材に線型空間の理念をどのように取り扱うかをめぐる、緩やかなガイド付き散策の形式にしました。
立ち止まり考えつつ歩いてもらいます。イントロダクションは、解析学の最も古い形である多項式補間から始まります。
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項目
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日時
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８月２５日（土） １４：００－１８：００ ８月２６日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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Schwarzの補題からPicardの定理 へ
（複素多様体入門） （初級・中級）
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内容
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〔2012/08/30更新〕複素関数論で、Liouvilleの定理やSchwarzの補題、そして
Picardの定理を初めて学んだ時の不思議さは忘れられない。
Cauchyの積分公式から出発して順を追って定量的評価を繰り返せば、とにかくこの美しい結果が得られることは理解できる。
ではその内在的な理由は何か？まもなく、微分幾何と複素関数論の合同の研究会に先輩に誘われた。
そこでは、小林昭七先生の「Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings: An Introduction 」を購読していたのである。
負の曲率をもつ複素多様体（双曲多様体）の幾何の問題として、SchwarzやPicardの結果が
自然な解釈ができるというのである。
それから私は何を勉強したのか、この研究会がどうなったか全く記憶にないが、その新鮮な驚きだけを
覚えている。最近そのことをふと思い出すことがあり、もう一度そのあたりのことを複素多様体の入門として
まとめようという気になった。そのときめきが伝えられるかどうかは自信がないが、
素晴らしいハイキングコースの展望台までご案内できればと思う。
構想を改めて、1変数の幾何学的関数論の入門部分を丁寧に解説しました。
関数論の基礎をひと通り学ばれた方、これから複素多様体を学ばれる方におすすめです。
[参考] L.V.Ahlfors Conformal Invariants McGraw-Hill, Complex Analysis McGraw-Hill,
S.Kobayashi Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings: An Introduction World Scientific
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項目
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- イントロダクション
- Schwarzの補題のPickによる幾何学化
- Bergmann核関数
- Bergmann計量
- 円板上のBergmann計量と非Euclid距離
- [付録] 円板上の正則自己同型とSchwarzの補題
- 発展
- 擬エルミート計量とSchwarzの補題
- Picardの定理 へ
秋学期講座 複素多様体に続く
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日時
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９月１日（土） １４：００－１８：００ ９月２日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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位相線型空間におけるフィルタとネット （初級・中級）
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内容
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〔2012/09/04更新〕今年度と来年度は、
作用素環に関連した基礎講座を充実することに心がけている。
フィルタやネットの一般論は今までも取り上げたことがあるが、
フィルタの空間そのものを体系的に取り上げたことはない。
位相線型空間の完備化を、Cantorの有理数から数直線を得るメソッドに
パラレルに実行しようという目論見で、Cauchyフィルタの
代数系を整備してみたことがきっかけで、もう一度全体をまとめることにした。
一般位相、線型代数、また抽象的な議論の仕方にはある程度の習熟を仮定している。
位相と線型代数のadvanced コースとして、作用素環等に興味のある人におすすめする。
ネットは、極めて純朴な列の一般化であり直感的であるが、内在的な取扱いがしにくい。
私感では、ネットたちそれ自体を数学化しにくい気がします。
それに対して、フィルタは基礎空間から集合論的解析学のスタンダードな構成法により得られます。
慣れればなんでもないのですが、欠点はいかにも人為的なことです。
基礎的な部分では、なるべくネットとフィルタをパラレルに並べて取り上げることにしました。
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項目
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- フィルタとネット概論
- 位相線型空間の概念
- 位相線型空間上のフィルタ
- 線型空間上のフィルタの代数
- Cauchyフィルタの代数とゼロフィルタ
- Cauchyフィルタから生成される位相線型空間
- 埋込み定理
- トピックス
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日時
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９月８日（土） １４：００－１８：００ ９月９日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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幾何学と線型代数 行列式と初等幾何 （入門）
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内容
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〔2012/09/12更新〕通常講座「ID 多次元空間、初等線型代数と微積分」では体積形式の導入から始まり、
行列式、領域の体積、積分、変数変換公式という筋で進んでいくのだが、その際、
幾何学的に興味深いトピックスが色々あるのだが、無論取り上げる時間はない。
そこでこの機会に、普段は捨てざるを得ないいくつかのトピックスを扱う。
構想を固めるために本棚をひっくり返していたら、幾何学の故栗田稔先生から送っていただいた、
「初等数学15講」という素敵な小冊子が出てきた。（この中からいくつかの問題を
使わせていただくつもりである。）
筋の良い基礎数学を身に付ける上でのポイントは、多次元の微積分、線型代数、多次元の初等幾何学を
三位一体のものとして学ぶことです。この集中セミナーは、通常講座IDの補充として、
3次元に限定して主に線型代数と幾何学からのトピックスを扱っています。無論短い時間ですから体系的な講座ではありません。
いくつかの概念と幾何学をめぐる散歩というイメージにしました。数学の理解のリフレッシュにご利用ください
（このセミナーの内容で養われる感覚は当然、位相線型空間のようなアドバンストコースの基礎素養でもあります）。
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項目
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- Introduction
- 平面と線型形式の表現
- 3次元空間の体積形式と行列式
- 線型変換の行列式
- 演習
- 双対基底の表現
- ベクトル外積
- 幾何学からいくつかの問題
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日時
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９月１５日（土） １３：００～１７：００
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参加料
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会員１０，０００円（学生８，０００円）
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夏学期講座（２０１２年度）
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講座名
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ＩＡ． 解析教程II
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ＩＤ． 多次元空間・多変数の微積分と初等線型代数 Ⅰ
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内容
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春学期から始まった新教程です。本格的な解析学への基礎を扱っています。
扱いは全体として現代的になっています。初級中級で扱うことになる現代的な解析学の基本の雛型は
この部分にあります。今年度直接関連する講座としては、ID、EB、MBなどがあります。
今学期は古典的微積分の基礎を扱っています。来学期はこの結果を踏まえて、まず収束級数の一般論を展開し、
関数項の級数の一般論と古典論の中心である初等超越関数を取り扱います。
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多次元空間は多変数の微積分とともに出現し、解析学が展開される場として１９世紀の半ば
RiemannやGrassmannの半ば哲学的な性格を持つ見通しに従って研究が始まり１９世紀の後半には、
数学者にはポピュラーなものになります。そして線型代数は、数論や幾何学、解析学に組織的な取り扱いの方法を与えます。
そして２０世紀前半になると無限次元の関数空間が現れ、さらに統一原理として抽象線型空間が現れます。
この講座の目的は、多変数解析学の基礎と線型代数の結びつきを認識していただくことと、ベクトル解析や多様体への、
ステップを準備することです。
〔関連講座〕G、EB、MB
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項目
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- 連続性に関する３つの大域的性質
- 微分可能性と可微分関数の基本的性質
- C1級関数のクラス、局所定数関数
- 高階微分の概念 Cr級関数
- Riemann積分、微積分の基本定理
- Taylorの定理
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- 数ベクトル空間
- 内積・直交性
- Euclid空間の初等幾何
- 線型部分空間、Span、独立、従属
- 行列と線型写像、微分
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日付
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５／２０（日）、 ６／３（日）
６／１７（日）、 ７／１（日）
７／１５（日）、 ７／２９（日）
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５／１３（日）、 ５／２７（日）
６／１０（日）、 ６／２４（日）
７／８ （日）、 ７／２２（日）
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時間
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１１：００－１３：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． 位相線型空間と関数空間
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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内容
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抽象線型代数、抽象位相にはある程度の習熟を期待する。函数解析でしばしばあらわれる、
Banach空間にならない関数空間に親しんでもらうこと、また作用素環の代数的位相的部分の基礎素養を提供することを目的としている。
我々は純粋代数と位相のギリギリの相互作用を見ることになるだろう。附値体当も統一的に扱う。
Hilbert空間上の有界作用素の理論と並んで作用素環を学ぶ上での必須の素養である。
[参考] Schaefer Topological Linear space,
F.Treve 位相ベクトル空間・超関数・核,
宮島静雄 函数解析.
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どのような分野の数学をやるにせよ、現代の数学をやるには必須の最低限の技術的知識です。
それ以前の知識にかかわりなく、この部分に難点があるとご自分で本格的に数学をやる際の躓きの石になります
（実際長年の経験ではこの部分が不確かな方が多い！）。この部分に十分に習熟されている例外的な方を除いては、
なるべく早いうちの履修をお勧めします。
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項目
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- 位相線型空間の概念
- 位相線型空間の公理と直接の帰結
- 原点の近傍系
- 原点の閉近傍系とHausdorff性
- 位相線型空間の直積・部分空間・直和・商空間
- 有限次元位相線型空間
- 超平面・線型多様体
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- 総和記号と数学的帰納法
- Σ
- 数学的帰納法
- 非順序和
- 集合論からの概念と記号法
- 集合の算法
- 写像の像と原像
- 写像の算法
- 変換群
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日付
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５／１９（土）、 ６／２（土）
６／１６（土）
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５／１９（土）、 ６／２（土）
６／１６（土）、 ６／３０（土）
７／１４（土）、 ７／２８（土）
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時間
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１４：００－１８：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＨ． 無限の作法
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ＩＳ． 代数函数論を読む その1
（岩澤健吉 代数函数論〔岩波書店〕から）
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内容
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IFの続編で数学の様々な分野で用いられる無限に関係する有用な基礎論法を取り扱う。
IF同様、理解し使いこなすことが重要！
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〔2012/06/20更新〕本来の計画通り第３章から開始します。ただし、第４節 解析関数の存在定理 は概略にとどめます。
予備知識としては関数論の基本的なこと（例えば，複素解析（基礎数学８） 高橋礼司 東京大学出版会 第１章～第４章程度）、
IF、ID、および線型代数と一般位相の極く基礎的な内容は仮定します。
[テキスト] 岩澤健吉 代数函数論 第３章 岩波書店
[参考書] Remmert Theory of Complex Functions Springer,
高橋礼司 複素解析（基礎数学８） 東京大学出版会,
中井三留 リーマン面の理論 数学全書１５ 森北出版,
Forster Lectures on Riemann surfaces Springer
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項目
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- 集合の対等と濃度
- 可算集合・非可算集合
- Zorn の補題
- 無限次元線型空間とHammel基底
- 非可測集合の存在
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- Riemann面と解析的写像 １２５p～１３３p
- Riemann面における函数 １３３p～１３７p
- Riemann面における微分と積分 １３７p～１４７p
- 解析関数の存在定理概説 １４７p～１７２p
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日付
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５／１８（金）、 ６／１（金）
６／１５（金）、 ６／２９（金）
７／１３（金）、 ７／２７（金）
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６／２４（日）、 ７／８（日）
７／２２（日）、 ８／５（日）
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時間
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１９：００－２１：００
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１４：００－１７：００
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講座名
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ＥＡ． 距離空間と位相空間序説Ⅰ
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ＥＢ． 現代ベクトル解析
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内容
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昨年度は、開集合系からフイルターまで抽象位相を通年３期にわたって扱った。
今期は通常の応用では最も頻繁に現れる距離空間に焦点を絞る。
第３期には基本的な関数空間と解析学の基本原理である Baire Category 定理とその応用を扱う。
位相と線型代数は解析学の基本原理です。にもかかわらず、最も学び難いものでもあります。
先の講座に行かれる方、お仕事で応用解析を目指す方はこの講座で学んで置かれる事をお勧めします。
〔関連講座〕IE、EB、MB
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春学期では多変数の高階微分、Taylor公式、多変数の極値・臨界値まで丁寧に扱った。
今回はその続編である。参考書をあえて１冊あげるなら、現代ベクトル解析（岩波）の第８章。
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項目
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- 距離関数、距離空間 定義と典型例
- 近傍系、開集合系、閉集合系 閉包 開核
- 点の位相的分類
- 点列の基本的性質・完備性
- 連続関数・一様連続関数
- 距離空間の正規性
次学期以降 連結性、コンパクト、全有界と完備、Baire Category 定理、
関数空間の位相 などを予定しています。
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- 微分方程式と流れ
- 定常流
- 線型微分方程式
- 有向体積、ベクトル外積、３次元での線型微分方程式
- 定常流の無限小解析
- Divergence
- ３次元空間のベクトル解析
- 調和ベクトル場
- 曲面と接空間
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日付
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５／１３（日）、 ５／２７（日）
６／１０（日）
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６／３０（土）、 ７／７（土）
７／１４（土）
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時間
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１４：００－１８：００
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１４：００－１８：００
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講座名
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Ｇ． 抽象線型代数Ⅰ
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ＭＢ． 解析学のための多様体入門I
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内容
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今年度通常講座３期、集中セミナー２つからなる本格的な線型代数の型稽古の体系です。
今学期は表現論等にかんがみ取り扱いが改定されている。関連講座としてはIE 位相線型空間論があります。
この講座やMB多様体の講座は当然Gの内容への習熟が要求されます。
今学期は線型空間の構造を丁寧に扱います。この部分は我々の通常の空間の背後にある根源的な性格を取り出したものです。
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今学期から６期にわたり、多様体の基礎概念から出発しRiemann多様体上の調和解析の基礎付けまでの連続講座です。
標準的な参考書で言うと 松島与三著 多様体入門のLie群、Lie環を除いた部分を取り上げます。
２０１１年にも多様体の概略を取り上げましたが、前年度はLie群の準備のためのまとめでした。
今年度は、入門、初級で学ばれたことを総合して用いる稽古です。
IA、IF、ID、EA、G で学ばれたことを局面に合わして柔軟に繊細に用いることを学びます。
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項目
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- 表現と実在（線型空間論）
- 線型空間の定義と典型的な線型空間
- 線型部分空間、部分空間の共通部分と和
- 生成される線型空間、直和
- 線型従属・独立
- 次元と基底、座標写像
- 抽象の用法
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- 多様体の定義
- 可微分関数と局所座標
- 接空間と自然基底
- 可微分写像と臨界点
- ベクトル場と微分作用素
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日付
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５／２０（日）、 ６／３（日）
６／１７（日）、 ７／１（日）
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５／２６（土）、 ６／９（土）
６／２３（土）
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時間
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１４：００－１７：３０
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１４：００－１８：００
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講座名
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ＭＣ． 複素多様体
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内容
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〔2012/06/27更新〕 諸般の事情により、今学期は休講になりました。
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項目
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日付
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休講
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時間
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春期集中セミナー（２０１１年度）
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講座名
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Radon Nikodymの定理と有界変動関数 （初級・中級）
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内容
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２０１１年度冬期集中セミナーでは測度の構成についてポイントを解説しました。
今回はより精密な解析学で重要な役割を果たすLebesgue分解、Radon-Nikodymの定理を
符号付き測度の第一歩から丁寧に扱います。尚春学期IEでは、作用素値の測度の枠組みで
作用素解析を導入しました。その有用性に鑑みて一般のベクトル値測度についても触れる予定です。
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項目
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- 符号付き測度・複素測度・ベクトル値測度
- Hahn分解・Jordan分解
- Lebesgueの分解と絶対連続性・特異性
- Radon-Nikodym の定理とRadon-Nikodym 導関数
- 有界変動関数
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日時
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４月２１日（土） １４：００－１８：００ ４月２２日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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IFからの確率論２
確率論を通じて基本語彙の演習
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内容
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近代確率論は確率空間を出発点にします。確率空間は、標本空間、確率の定義される部分集合全体（σ集合体）、
その上の関数である確率測度の３つから構成されます。本講座では、確率測度を題材として、
集合や写像についての丁寧な演習を通じて、現代数学の特徴的な理論の構成法を学びます。
仮定する知識はIF（数学の基本語彙と文法 集合と写像）程度です。集合論の取り扱いをより深めたい方や、
確率の基礎理論を学びたい方に最適です。（鈴木桜子）
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項目
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- Introduction
- 確率測度の定義と例
- 確率測度の性質
- Euclid空間の測度
- 確率空間の完備化
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日時
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４月２９日（日） １１：００－１７：００
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参加料
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会員１０，０００円（学生８，０００円）
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講座名
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セミナー付き懇親会 (軽食飲み物付き)
不等式から始めよう（凸性とゲージ 多次元空間）
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内容
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本来は１日の入門セミナーを予定していたのですが、趣を変えて、懇親会とセットにしました。
セミナーを前菜にして、会員同士またゲストとの交流を深めてください。
無論どちらかのみのご参加も歓迎します。
内容は４月２９日（日）に名古屋で行われる、高校生、受験生、数学愛好者を対象にした
解析学入門講義「不等式を通して多次元空間を見る」のシニアバージョンです。
不等式の背後に潜む多次元空間の必然性を理解します。不等式の面白みは、初等幾何や解析幾何とならんで、
中学生高校生でも十分に理解できるものであり、純朴な意味で数学探求の意欲をかきたて、
その一方で歩んでゆくかなたに豊かで深い世界を予感させてくれるといえるとおもいます。
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日時
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５月３日（木・祝） １３：００－１７：３０
不等式から始めよう １３：００－１５：００
懇親会 １５：３０－１７：３０
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参加料
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￥５０００ （学生 ￥３０００）（セミナー懇親会込み）
セミナーのみ ￥３０００（学生￥２０００）
懇親会のみ ￥２０００（学生￥１０００）
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講座名
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剰余類、商空間
数学の基礎素養のUP （入門・初級）
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内容
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このセミナーは、懇親会の２次会の席での会員との議論に端を発しています。
商空間が出てくると途端に躓く人が増えるのはなぜだろうか？今回は私なりにこの問題を考えてみました。
現代数学の特質を考えてみると、Cantorが数学を解放して以来、数学の対象が無際限と言っていいほどに広がった代わりに、
数学的対象はこちらが慎重に繊細に識別しなければならぬものになりました。そのような事態に対応するために、
現代的な理論では、数学的な対象を確定するという半ば哲学的操作そのものが数学の言語の中に機能的に取り込まれるようになったのです。
２０世紀以降の数学においては数学の対象は自明ではなく、見かけ上は、意識的に作り出すものになってしまったのです。
教育はそのあたりに無頓着に見えます。また数学を学ぶ際に当然始めは事実を学ぶのに精いっぱいでそんなことは気付きません。
そこで改めて、コセット、商空間を通して現代の数学語、方法への理解を深めましょう。
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項目
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- 同値関係とCoset分解
- 剰余空間・類関数
- 作用と軌道、作用不変
- 線形空間の商空間
- いくつかの商空間
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日時
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５月５日（土） １４：００－１８：００ ５月６日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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春学期講座（２０１１年度）
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講座名
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ＩＡ． 解析教程Ｉ
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ＩＢ． 複素関数論 有理型関数
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内容
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解析学の標準的な教程です。一般位相の諸概念や高度な解析学の評価の技術などの基本の型は、
既にこの部分に登場します。今回でいえばIEやEAで用いられる技法の多くは、この段階で身につけるのです。
歴史的なアイデアの発展についてもなるべく時間をさきたいとおもっています。
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秋学期では留数定理に関連して、簡単に有理型関数を導入した。
今回は有理型関数の体系的理論です。
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項目
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- イントロダクション ２項係数・多項式補間
- 数直線
- 収束列・収束級数
- 連続関数と３つの基本定理
来学期開講のＩＡ.解析教程II 微分積分学（微分法の基礎定理とRiemann-Stieltjes積分）へ続く
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- 孤立特異点
- 除去可能な特異点と極
- 極の近傍における正則関数の挙動
- 本質的特異点とWeierstrass-Casoratiの定理
- 有理型関数の一般論
- 基本概念
- 有理型関数の代数
- 有理型関数体 代数と位相
- 附値
- 有理型関数の収束級数
- トピックス
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日付
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１／２９（日）、２／１２（日）
２／２６（日）、３／１１（日）
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１／２９（日）、２／１２（日）
２／２６（日）、３／１１（日）
３／２５（日）、４／８（日）
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時間
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１４：００－１７：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＣ． Unitary 表現への招待II
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ＩＤ． 初等線形代数と微積分
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内容
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コンパクト群の表現論の基礎理論は既知として、今回は、コンパクト群と局所コンパクト群に
ついて具体例を通じて理解する。またこれらはMCの内容前半の補充として有用である。
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Hessianとは、テンソルとは何だろうか？これは極値周辺のTaylor公式の主要項を与え、
幾何学的には曲面の極値周辺の形状の分類になります！この時固有値の符号分布が指標になるのです。
「統計のモデルから、多様体まで」共通の数学的枠組みの背景を明らかにしましょう。
また高階微分の表現法として自然にテンソルが導入されます。多変数の高階微分法の理論を
首尾一貫した座標不変な方法で展開します。とりわけ将来多様体を基礎にした応用解析を目指す方は、
この部分をしっかりと理解してください。ご自分が何をやっているか、何をすべきかを理解するために！
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項目
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- Fourier級数と群の表現
- 線形Lie群
- SO(3)のUnitary表現
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- r回連続微分可能な関数
- ２回連続微分可能な関数とHessianとLaplacian
- 高階微分のTensor表示
- 剰余付Taylor-Lagrange公式
- 極値・極大・極小
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日付
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３／２４（土）、３／３１（土）
４／７（土）
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１／２２（日）、２／５（日）
２／１９（日）、３／４（日）
３／１８（土）、４／１（日）
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時間
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１４：００－１８：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． Hirbert空間上の作用素
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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内容
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Hilbert空間上の作用素の講座もいよいよ最終段階まで来ました。
秋学期では可測集合上のスペクトル測度の一般論を考えました。いよいよ作用素のFourier解析です。
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たとえれば基本素振りです。この部分が本当に身についている人は意外に少ないのです。
数学が高度になるとその真価が問われます。一度はやっておかれる事をお勧めします。
同じ内容でも受講される方の水準によって稽古の内容が変わってきます。
この講座の発展編として鈴木桜子講師によるIFからの確率論シリーズが予定されています。
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項目
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- 自己共役作用素のスペクトル定理の理解
- 自己共役作用素の解析
- 強連続１－パラメータ変換群とStoneの定理
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- 総和記号と数学的帰納法
- Σ
- 数学的帰納法
- 非順序和
- 集合論からの概念と記号法
- 集合の算法
- 写像の像と原像
- 写像の算法
- 変換群
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日付
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１／２８（土）、２／１１（土）
２／２５（土）、３／１０（土）
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１／２８（土）、２／１１（土）
２／２５（土）、３／１０（土）
３／２４（土）、４／７（土）
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時間
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１４：００－１７：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＨ． 代数系入門 Polynomialsとイデアル
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ＥＡ． 抽象位相への招待
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内容
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多項式というと何か知っているような気がするが、実に様々な側面がある。
今回は、イデアルと群に関係した代数的な性質についてのトピックスです。
可換環や群の一般論を復習しつつ奥深い世界へ一歩一歩分け入っていきます。
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一般位相の基本事項（開集合系からコンパクト、連結性）は既知として、
位相の強弱や位相基底や近傍の基底などを準備の後、始位相、終位相、直積空間、写像空間の単純収束etc.
後半はFilterから始まりTikhonovの定理まで関数空間の基礎付けを与える基礎工具を導入します。
解析学や幾何学、表現論、あるいは関数解析の応用等のアドヴァンストコースには必須の基礎になります。
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項目
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- 多項式空間のイデアルとイデアルの算術
- 多項式空間の線形空間への作用と線形変換の最小多項式・固有値
- 円分多項式
- Fibonacci型多項式
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- 一般位相の基本事項からの補充
- 位相の階層
- 基本近傍系
- 第1・第2可算公理
- 連続性の判定
- 始位相・終位相
- 2つの基本定理
- 関数族より定まる始位相・終位相
- 直積位相
- 単純収束位相、一様収束位相
- Filter概論
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日付
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１／２７（金）、２／１０（金）
２／２４（金）、３／９（金）
３／２３（金）、４／６（金）
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１／２２（日）、２／５（日）
２／１９（日）、３／４（日）
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時間
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１９：００－２１：００
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１４：００－１７：３０
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講座名
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ＥＢ． 現代ベクトル解析
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ＭＣ． Lie 群と等質空間
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内容
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前回、線積分の理論とBanach空間値関数の微分法を論じた。今回は、
多変数の高階微分とTaylor公式、ベクトル解析の基礎が主題です。
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前半は良く知られた斉次微分方程式と行列の指数関数の一般化、そして指数表現を用いた標準座標系の導入、
後半は複素多様体の概論です。前半はLie群とLie間についての基礎知識を必要としますが、
後半は線形空間と実多様体のしっかりとした基礎知識をお持ちの方なら、参加可能です。
複素多様体の基礎に興味のある方はどうぞ。
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項目
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- 実数値関数の２階微分とHessian・Laplacian・調和関数
- 高階微分と
- ベクトル場の高階微分、Taylor公式
- ベクトル場の発散
- ３次元Euclid空間のベクトル解析
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- １－パラメータ部分群と指数写像
- Lie群の標準座標
- 複素多様対概論
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日付
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３／１８（日）、３／２５（日）
４／１（日）、 ４／８（日）
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２／４（土）、２／１８（土）
３／３（土）、３／１７（土）
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時間
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１４：００－１７：００
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１４：００－１７：００
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冬季集中セミナー（２０１１年度）
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講座名
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IFからの確率論
確率論を通じての基本語彙の演習（入門）
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内容
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近代確率論は確率空間を出発点にします。確率空間は、標本空間、確率の定義される
部分集合全体（σ集合体）、その上の関数である確率測度の３つから構成されます。
本講座では、確率論の文脈の中で、集合や写像についての丁寧な演習を通じて、
基礎技術の向上を図るとともに現代数学の特徴的な理論の構成法を学びます。
仮定する知識はIF（数学の基本語彙と文法?集合と写像）程度です。
集合論の取り扱いをより深めたい方や、確率の基礎理論を学びたい方に最適です。（鈴木桜子）
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項目
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- Introduction 確率空間
- σ集合体の定義と性質
- σ集合体の生成
- ボレル集合体
- 直積σ集合体
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日時
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１２月１８日（日） １１：００－１７：００
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参加料
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会員１０，０００円（学生８，０００円）
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講座名
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代数学演習
有限群の表現 （入門）
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内容
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群と線形代数の基本的な知識は仮定します。
夏の集中セミナーでAbel群と指標を取り上げ、トピックスとして有限Abel群と調和解析の関係を論じた。
今回はその続きです。（ただし表現論の部分の予備知識は仮定しない。）
表現論の基本知識をまとめつつ有限次元表現の理論を矮小化された場合に手を動かしながら見ていきましょう。
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項目
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- 基本概念
- 完全可約性とSchurの補題
- Characterと直交関係
- 有限群上の調和解析
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日時
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１２月２３日（金・祝） １１：００－１７：００
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参加料
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会員１０，０００円（学生８，０００円）
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講座名
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Euclid空間上のLebesgue-Stieltjes測度、Radon測度 （初・中級）
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内容
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抽象測度空間上の積分の理論、測度の拡張の一般論、直積測度等の一般論は、
既知として（初めに簡単なまとめをする。）より解析的に自然な距離空間、
Euclid空間における測度とLebesgue積分を考察する。
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項目
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- 一般論概略
- Lebesgue-Stieltjes測度
- Riemann積分とLebesgue積分
- Radon測度
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日時
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１２月２４日（土） １４：００－１８：００ １２月２５日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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級数で表示される関数（解析学教程）（入門）
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内容
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夏の集中ではWeierstrassの制限完備性の公理を基礎に収束数列、収束級数を扱いました。
今回は前半は絶対収束級数と条件級数の比較、特にAbel変形、Dirichletの定理etcを重要な例とともに
詳しく扱います。
洗練された形で連続性や微分可能性を扱った後、後半は関数項の級数の一般論、
最後が冪級数と実解析関数。いくつかの特殊関数とつづきます。
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項目
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- 準備
- 絶対収束級数・条件収束級数
- 関数列・関数項の級数
- 連続関数
- 可微分関数
- 関数列・関数項の級数 一般論
- べき級数
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日時
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１月７日（土） １４：００－１８：００ １月８日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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ガイダンス・懇親会
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内容
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数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。
講座の取り方等の個別の相談も承ります。筆記用具をご持参下さい。
新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。
懇親会については、会員の「数学の勉強をめげずに、飽きずに長続きさせるには」等のTalkがあります。会費￥２０００、軽食と飲み物付きです。
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日時
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１月９日（月・祝）
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講座名
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関数解析特論
Banach空間の弱位相、汎弱位相 （中級）
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内容
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関数族で決定する写像の一般論（第1日目）から始めて、ノルム空間の弱位相・汎弱位相を丁寧に解説します。
凸性と弱位相の著しい関係を見た後簡明だが強力なBipolar Theorem（双極定理）をへて
最後に単位球上の弱位相によりBanach空間はかならずコンパクト空間上のBanach空間の部分空間として
埋め込まれるという著しい結果までを予定しています。
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項目
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- 位相的準備 写像族で定まる位相
- 弱位相
- 弱位相・汎弱位相
- 凸性と弱位相
- Bipolar Theorem（双極定理）
- ２つの定理
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日時
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１月１４日（土） １４：００－１８：００ １月１５日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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▲目次へもどる
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秋学期講座（２０１１年度）
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論
大域的Cauchyの積分公式
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ＩＣ． Unitary表現への招待
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内容
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今回は幸い平面上なのでやたらに厳密性に固執せず
発想を理解していただきたいと思っている。
尚ISでは古典的な応用が行われる。余裕がある方にはお勧めする。
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夏学期に位相群のSchurの補題まで進んだが、敢えてこれまでの経緯にあまり拘らず、
位相群や表現論の結果は仮定せず基本的な関数解析の結果のみを用いて、
Unitary表現とは何かを理解してもらうことを主眼にする。
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項目
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- 大域的Cauchy理論
- 位相幾何学からの言葉
- 大域的積分公式
- 局所可積分
- Calculus of Residue
- Residue Theorem
- 偏角原理
- 実積分の評価
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- Unitary表現の概念
- コンパクト群のUnitary表現とPeter-Weylの定理
- TのUnitary表現とFourier級数
- トピックス
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日付
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９／２５（日）、 １０／９（日）
１０／２３（日）、１１／６（日）
１１／２０（日）、１２／４（日）
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１０／８（土）、１０／２２（土）
１１／５（土）、１１／１９（土）
１２／３（土）、１２／１７（土）
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時間
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１１：００－１３：００
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１４：００－１６：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線形代数と微積分
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ＩＥ． Hilbert 空間上の作用素
自己共役作用素のスペクトル分解
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内容
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一般多次元のEuclid空間上の微積分の理論の中心になる部分である。純粋数学にせよ、
応用解析にせよ、必須の素養である。幾何学的な行列式の理論や置換群の表現、Gram行列などの美しいトピックスが登場する。
次のタームは、Euclid空間上の微積分の展開である。
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以前中級講座で古典的な形でこのテーマにつき詳細な証明を与えたが、
今回は概略をよく理解して、使えるようになることに重点を置く。
開講は未定だが、直接関連する講座としてはICがある。
例えばユニタリ表現に関するSchurの補題は自己共役作用素のスペクトル分解の応用問題である。
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項目
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- 写像の微分法
- 行列式の幾何学的定義
- 線型変換の行列式・sgn 再論
- 領域上の積分
- Jacobi行列式と変数変換公式
- Gram行列・Gram行列式・面積分
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- 一様有界性の原理
- 開写像定理、閉グラフ定理
- Stieltjes積分
- 射影作用素と単位の分解
- 自己共役作用素のスペクトル分解
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日付
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１０／２（日）、 １０／１６（日）
１０／３０（日）、１１／１３（日）
１１／２７（日）、１２／１１（日）
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９／２４（土）、 １０／８（土）
１０／２２（土）、１１／５（土）
１１／１９（土）、１２／３（土）
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時間
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１１：００－１３：００
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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ＩＨ． 代数系入門
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内容
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はじめに意識的に学ぶことの少ない∑の用法を、多重添え字の場合を中心に、
応用練習として同じ対象に異なった和の束をすることにより様々な表現が得られることを実践的に学ぶ。
数学的帰納法も状況に応じて、様々な、バリエーションを使いこなすことを学ぶ。
2.、3.で扱うのは理論としての集合論ではない。記述としての、集合写像の取り扱いに習熟することが狙いである。
最後に応用練習として、変換の半群、群を扱う。この部分はご自分で数学をやる際には、
必ず身につけなくてはならぬものであるが、一定の水準を超えないと、武術における素振りのようにこの種の稽古の重要さはわからぬものなのです。
初めての方は基より、一定のブランクの後に数学を学び直す方は、この講座から始めることをお勧めする。
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夏学期は半群から始めて、群の準同型定理に至りました。
夏期集中ではAbel群と指標群を取り扱い、Abel群の双対定理や表現論の入門まで
視野を広めていただけたと思います。その際にも強調したように、
群は多くの場合環の中に加法群と乗法群として現れます。あるいは、解析的対象への作用として現れます。
そこで今学期は環とイデアル、多項式という応用上もっとも自然な基礎を学んでいきます。
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項目
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- Σの用法と数学的帰納法
- 集合の代数
- 写像の概念・像と原像
- 代数語事始め
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- 可換環とイデアル
- 基本概念
- イデアルと商環
- 準同型
- 体
- 多項式
- トピックス
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日付
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１０／１（土）、 １０／１５（土）
１０／２９（土）、１１／１２（土）
１１／２６（土）、１２／１０（土）
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９／３０（金）、 １０／１４（金）
１０／２８（金）、１１／１１（金）
１１／２５（金）、１２／９（金）
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時間
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１１：００－１３：００
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１９：００－２１：００
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相への招待
連結性とコンパクト性
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ＥＢ． 現代ベクトル解析
微分・線積分
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内容
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一見単純だが、理解しにくい、相対位相と部分空間の理解から始める。
線形空間における線型部分空間同様、見かけ以上に強力な概念である。
連結性は局所定数関数による基礎付けから出発する。この方が解析学との結びつきが明瞭だからである。
扱うのは標準的な内容である。コンパクト性はここでは一様構造にかわらぬ部分のみ扱う。
一様構造・全有界・完備性などは集中で扱う予定である。
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ベクトル解析の基礎の中心的な部分です。前半は実数値関数の微分法と線積分を取り扱います。
複素関数論に現れる線積分の議論の一般化です。後半は微分の一般論になります。
過度の一般化を避けるために有限次元の範囲に限定しますが、
多少の修正をすればBanach空間でも通用する形にしました。必要に応じて補いますが、
数学の基本語彙と用法（数学工房ではIF講座）へのある程度の習熟はむろんのことですが、
微積分および抽象線形代数、距離空間の位相の極く基礎的な知識はあったほうがよいでしょう。
丁度ID[初等線形代数と微積分の一般化]の厳密化になっています。
次のタームでは高階微分とテンソル空間に続きます。
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項目
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- 相対位相・部分空間
- 連結性
- 局所定数関数
- 連結性の基本的性質
- Euclid空間の連結開集合
- 連結成分
- コンパクト
- Heine-Borelの性質・有限交叉性
- コンパクト性についての基本的性質
- コンパクト集合上の連続写像
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- 実数値関数の微分法
- 方向微分
- 微分可能な関数
- グラージェント
- 微分１形式（Pfaff形式）
- 線積分
- 定義と基本的な諸性質
- 微積分の基本定理
- ベクトル場の微分法
- 微分とJacobi行列
- 諸公式
- 直積空間で定義された関数の微分について
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日付
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１０／２（日）、 １０／１６（日）
１０／３０（日）、１１／１３（日）
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１０／９（日）、１０／２３（日）
１１／６（日）、１１／２０（日）
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時間
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１４：００－１７：３０
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１４：００－１７：００
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講座名
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ＩＧ． 講読講座
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ＩＳ． 解析数論（Siegel 解析数論を読む）
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内容
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諸般の都合により秋学期は休講になりました。
今学期は、確率統計系のセミナーがありませんが、関連するテーマの集中セミナーを年末に行う予定です。
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２０１０年秋学期から、数学の優れた講義録や本の紹介を目的に始まった
本講座の第１シリーズ「 Siegel 解析数論を読む」は今学期で終了します。
いったんお休みをいただいて来年の夏学期または秋学期から新しいシリーズを始める予定です。
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項目
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- 剰余付素数定理の概説
- Riemann Zetaの関数等式の複素関数論的証明
- クリティカルストリップの零点分布
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日付
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休講
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９／１７（土）、 １０／１（土）
１０／１５（土）、１０／２９（土）
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時間
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１４：００－１７：２０
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講座名
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ＭＣ． Lie 群と等質空間
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項目
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- 多様体の言葉から（概略）
- 基本概念、記号
- ベクトル場と微分作用素のLie環
- ベクトル場と1パラメータ群
- 位相群の等質空間・局所コンパクト群（概略）
- Lie群と等質空間
- Lie群とLie環
- 微分形式概論
- 不変微分形式
- 1パラメータ部分群年数写像
- Lie群の標準座標
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日付
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１１／１２（土）、 １１／２６（土）、 １２／１０（土）
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時間
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１４：００－１８：００
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夏期集中セミナー（２０１１年度）
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講座名
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Topics in complex FunctionTheory
複素対数と無限積 （初級）
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内容
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複素対数関数の概念はこの領域の初学者にとってそれほどわかりやすいものではない。
実際複素対数の多価性による定義の困難は、複素領域の解析学に現れた最初の大いなる謎であった。
それを解決したのはEulerでEulerの名の冠された有名な公式はその副産物である。
正則関数の研究で正則関数の対数と無限積はもっとも基本的な道具である。
この講座で取り扱われる内容はもともと解析数論の講座ISレジュメとして書き始めたものである。
この種のトピックスはまとめて取り上げることがあまりないのでこの機会に取り上げることにした。
Cauchyの積分公式に至る複素解析の基本事項は既知とする。
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項目
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- 複素対数関数
- 正則対数関数と正則冪乗根
- 複素無限積
- 基本積とWeierstrassの定理
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日時
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８月２７日（土） １４：００－１８：００ ８月２８日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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測度とLebesgue式積分
直積測度とFubiniの定理 （初中級）
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内容
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Lebesgue式積分と測度に関する連続シリーズです。測度空間についての基本事項は仮定します。
解析学の様々な状況の中で直積測度と逐次積分を保証するFubiniの定理が現れます。
それをなるべく一般的な言葉で捉えます。
このシリーズの続きはEuclid空間の測度の概略。そしてRadon測度。これは実際の解析学では飛びぬけて重要です。 |
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項目
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- 準備
- 可測空間上の積分
- 測度の拡張
- 直積測度の構成
- Fubiniの定理
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日時
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９月３日（土） １４：００－１８：００ ９月４日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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初級解析学特論
級数で表示される関数 （入門）
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内容
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収束列のCauchy流の定式化を認めて関数項の級数の基礎理論を明確に展開します。
この部分は各分野の応用数学の基本事項として不可欠な部分です。
これなしには微分方程式や特殊関数の取り扱いは不可能です。
数学工房では実１変数の解析学については通常講座で体系的な微積分をほとんど取り扱っていません。
したがって微積分の高度な部分はもっぱら、今のところトピックスとして集中セミナーで扱っています。
今回もその一環です。微積分の基本的な知識（微分の性質や微積分お基本定理などは既知とします。
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項目
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- 級数の基礎理論
- 正項級数の判定法
- Abel変形と総和
- 関数項の級数
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日時
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９月１０日（土） １４：００－１８：００ ９月１１日（日） １１：００－１６：００
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参加料
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会員１６，０００円（学生１２，０００円）
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講座名
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代数学演習
Abel群と指標（入門）
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内容
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Abel群と指標の著しい性質に的を絞った演習講座。
群について既知の人にとっては純然とした代数演習に、
また群の知識がなくとも集合や写像についての用法の発展演習としても有用であると思います。
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項目
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- 群の基本事項
- 指標群
- Abel群の構造定理と指標群の構造
- トピックス
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日時
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９月１８日（日） １１：００－１７：００
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参加料
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会員１０，０００円（学生８，０００円）
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夏学期講座（２０１１年度）
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講座名
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ＩＢ． 複素関数論の展開
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ＩＣ． 位相群の表現
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項目
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- Reimann の延長定理
- 正則関数の一致の定理
- Cauchy の評価と最大原理
- Liouville の定理
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- 位相群G の表現加群
- 直和表現、テンソル積表現、双対表現、共役表現
- コンパクト群の共役表現と双対表現
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日付
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５／１５（日）、５／２９（日）
６／１２（日）、６／２６（日）
７／１０（日）、７／２４（日）
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５／２１（土）、６／４（土）
６／１８（土）、７／２（土）
７／１６（土）、７／３０（土）
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時間
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１１：００－１３：００
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１４：００－１６：００
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講座名
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ＩＤ． 初等線形代数と微積分Ⅰ
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ＩＥ． Hilbert 空間上の作用素
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項目
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- 数ベクトル空間
- 内積・直交性
- 線型部分空間、Span、商空間
- 行列と線型写像
- 随伴と写像の微分法
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- レゾルベントとスペクトル
- 自己共役作用素
- スペクトル定理
- Hilbert 空間の典型例
- トピックス
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日付
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５／２２（日）、６／５（日）
６／１９（日）、７／３（日）
７／１７（日）、７／３１（日）
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５／２１（土）、６／４（土）
６／１８（土）、７／２（土）
７／１６（土）、７／３０（土）
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時間
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１１：００－１３：００
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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ＩＨ． 代数系入門
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項目
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- Σの用法と数学的帰納法の様々な用法
- 集合の代数
- 写像
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- 群と半群、変換群
- 部分群、正規部分群、群準同型
- 群の作用と商空間
- Abel 群と指標群
- 可換環とイデアル
- 既約剰余類とFermat の小定理
- 円分多項式とFibonatti 型数系
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日付
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５／２１（土）、６／４（土）
６／１８（土）、７／２（土）
７／１６（土）、７／３０（土）
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５／２０（金）、６／３（金）
６／１７（金）、７／１（金）
７／１５（金）、７／２９（金）
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時間
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１１：００－１３：００
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１９：００－２１：００
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講座名
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ＥＡ． 抽象位相への案内
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ＥＢ． 現代ベクトル解析
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項目
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- 開集合導入の契機、距離的でない位相空間、擬距離空間
- 近傍と点の位相的分類
- 位相の比較、位相の階層、位相の生成
- 連続写像
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新井朝雄著作［現代ベクトル解析の原理と応用］の６章以降を取り上げます。
計量線形代数、多重線形代数等の知識は必要に応じて復習します。
Ⅰ 曲線の微積分
- ベクトル値連続写像
- 曲線
- 曲線の微分法
- 弱積分
- 弧長
- 曲線の微分幾何
- 常微分方程式と流れ
以下
Ⅱ スカラー場の微積分
Ⅲ ベクトル場の微積分
Ⅳ 微分形式とテンソル場
Ⅴ Stokesの定理
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日付
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５／２２（日）、６／５（日）
６／１９（日）、７／３（日）
７／１７（日）、７／３１（日）
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５／２９（日）、６／１２（日）
６／２６（日）、７／１０（日）
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時間
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１４：００－１６：３０
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１４：００－１７：００
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講座名
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ＩＧ． 講読講座
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ＩＳ． 解析数論（Siegel 解析数論を読む）
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内容
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An Intermediate Course in Probability（ALLAN GUT）」を講読して、統計等の確率を応用する分野に必要な確率論の基礎を身に着けることを目的とします。
高校程度の確率の基礎知識があり、大学1年程度の微積分、線形代数を習得している人を対象とする講座です。
この講座で使う本は、測度論を前提とせず、今述べたような基礎知識だけで読み進める良書です。一歩、一歩読み進んで行きましょう。
扱う内容は、
- 多変量確率変数
- 条件付き確率
- 確率母関数
- 積率母関数
- 多変量正規分布
- 様々な収束と極限定理
と多岐に渡りますが、この中から1講座ごとに完結するようなテーマを選んで進めていきたいと思います。
微積分や線形代数が確率を通して結びついている面白さを味わって頂きたいと思います。鈴木桜子
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今期は63p～102p を予定しています。いよいよ素数定理の複素関数論的証明に向かいます。
- Das Teiler Problem
- Der diskontierlische Faktor und Beweis Primzahlsatzes mit Restglied
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日付
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５／２５（水）、６／８（水）
６／２２（水）、７／６（水）
７／２０（水）、８／３（水）
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５／１４（土）、５／２８（土）
６／１１（土）
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時間
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１９：００－２１：００
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１４：００－１８：２０
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講座名
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ＭＣ． Lie 群と等質空間
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項目
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- 位相群まとめ
- 位相群の等質空間、局所コンパクト群
- Lie 群とLie 環
- 1 パラメータ部分群と指数写像
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日付
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６／２５（土）、 ７／９（土）
７／２３（土）
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時間
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１４：００－１８：００
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春季集中セミナー（２０１０年度）
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講座名
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ガイダンス
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内容
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数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。 講座の取り方等の個別の相談も承ります。
筆記用具をご持参下さい。新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。
参加ご希望の方は早めに数学工房 sugakukobo@w5.dion.ne.jp までお申し込みください。
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日時
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４月１７日（日） １４：００－１５：３０
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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数学工房懇親会と小講義
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内容
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飲み物軽食付きで会費￥２０００です。会員による小講義
「統計科学における数学、最近の話題から」も予定されています。
奮ってご参加ください。参加ご希望の方は、人数に限りがございますのでお早めにお申し込みください。
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日時
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４月３０日（土） １３：３０－１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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Advanced Linear Algebra（特異値、特異ベクトル）
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内容
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特異値、特異値ベクトルは幾何学的には極めて明白な意味を持つ不変量である。このことを基礎にして特異値、特異ベクトルの理論を組み立てていく。
また応用とのつながりを重視して、双線形式の空間と線形写像の空間との関係も体系的に明らかにする。
予備知識としては抽象線形代数を一通り、初めに概略を見るが、線形写像のadjointとその基本的な性質、実対称変換と最大原理あたりまでの知識は復習しておかれるとよい。
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項目
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-
準備
- adjoint
- 対称変換
- 正射影
- 最大原理と固有値
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特異値、特異ベクトル
- イントロダクション（幾何学的視点）
- 特異値、特異ベクトル
- 双線形写像の極値原理
- 行列のDiadic Expansio
- Penrose逆と応用
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日時
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４月２３日（土） １４：００－１８：００ ４月２４日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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名古屋公開講座
解析学事始め（２項係数とFibonacci数）
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項目
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- ２項係数とFibonacci数系の発見
- Fibonacci数のいくつかの性質
- 線形漸化式と解空間
- Fibonacci数からFibonacci多項式へ
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日時
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４月２９日（祝） １３：３０－１８：３０
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問い合わせは下記へ（一般参加者￥４０００）
SEA 〒４６６－００２７名古屋市昭和区阿由知通り５－５
TEL ０５２－８５２－５５７８
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講座名
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凸関数とGamma関数
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項目
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- 凸関数の一般論
- 対数凸
- Gauss積
- Gamma積分
- Gamma関数のいくつかの性質
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日時
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５月１日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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測度の構成、拡張、直積測度
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項目
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- 準備 測度の積分概略
- Caratheodory外測度
- Hopfの拡張定理
- 完備化
- 直積測度とFubiniの定理
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日時
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５月３日（火） １４：００－１８：００ ５月４日（水） １１：００－１６：００
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春学期講座（２０１０年度）
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講座名
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ＩＡ． 解析教程Ⅲ
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ＩＢ． 複素関数論
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内容
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Newton, Leibniz の微積分学の基本定理に端を発した古典解析学の豊かな仕事
は、１８世紀末には「解かれるべき問題は全て解かれ、残されたのは、楕円関
数の本性の理解とか、三角級数展開をめぐって起きた諸問題のように、それま
でのアプローチではもはや手のつけようの無い問題ばかりである」と、当時の
巨匠Lagrange が嘆いています。次の世代のとった態度は基礎を深く掘り下げ問
題の対象を明確にする方向でした。こうして解析学の停滞は克服されたのです。
このような解析学の歩みを剰余付Taylor 定理とFourier 級数論を例に見てみた
いと思います。 |
今期は複素関数のCauchy理論の基礎付けを行う。先ず前半で複素微分形式の
「微積分の基本定理」を確立する。通常の実１変数の微積分と比較すると、積分可能条件に平面トポロジーが本質的にかかわることが分かるであろう。応用として局所的なCauchyの積分定理、積分公式を導き、いくつかの帰結を追求する。ただし曲線、トポロジーの取り扱いは直感的な範囲にとどめることにする。
基本的な一般位相の概念が本質的な役割を果たすことを見るには絶好の材料である。IBと同時に学ばれるのもよいかもしれません。
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項目
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- 平均値定理
- 剰余付Taylor 公式
- Fourier 級数論の始まり（古典解析と近代解析の分水嶺）
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- 複素線積分
- 曲線の微積分
- 複素線積分線積分に関する基本定理
- Cauchyの積分定理・積分公式
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日付
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１／２１（金）、２／４（金）
２／１８（金）、３／４（金）
３／１８（金）、４／１（金）
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１／２３（日）、２／６（日）
２／２０（日）、３／６（日）
３／２０（日）、４／６（日）
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時間
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１９：００－２１：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＣ． 代数学、解析学特論
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ＩＤ． 初等線形代数と多次元の微積分
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内容
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位相群の基本事項をまとめた後、局所コンパクト群上のHaar測度の存在と本質的一意性を基礎にして、コンパクト群の表現論を第１歩から扱う。線形代数と群論、一般位相の文字通り総合演習。特別な知識は要求しないが、線形代数と一般位相には習熟している必要があります。
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多変数の微積分の基礎のアイデアを知りたい人には最適の講座です。この講座
は一貫して多次元Euclid 空間の幾何学的直観を背景にして初等線形代数と微積
分の意味を扱っている。この部分の理解は多くの応用数学に登場する諸量の意
味を明確に理解できる助けになるのでしよう。純粋数学の例でいえば多様体上
の解析の本質的な部分は既にID の中にあらわれています。新規講座ではありま
せんが、初等線形代数と微積分にある程度習熟している方なら参加可能です。
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項目
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■コンパクト群の表現
- 連続群の作用
- 不変測度・不変積分
- 位相群の表現
- コンパクト位相群
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- 曲面上の積分とGram 行列
- C r 級関数
- 多次元の高階微分
- Gradient, Laplacian の座標不変な定義
- 剰余付Taylor の定理
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日付
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１／２９（土）、２／１２（土）
２／２６（土）、３／１２（土）
３／２６（土）、４／９（土）
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１／３０（日）、２／１３（日）
２／２７（日）、３／１３（日）
３／２７（日）、４／１０（日）
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時間
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１４：００－１６：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． Hilbert空間の上の作用素
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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内容
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作用素の理論の特徴は、十分に大きな関数空間上で様々な、解析的なオペレーションに由来する線形写像を同時に扱うという事情から、全空間では、定義されず、元の空間の位相では連続でない作用素を扱うことになります。一見すると、代数的な理論と比べて理論が泥臭く見えるのはそれゆえです。
今期は、一般位相、線形代数の総合演習として線形代数の結果と対照しつつ一歩一歩丁寧に進んでゆきます。
一般位相と抽象線形代数の初歩的な知識は要求いたします。
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どのような分野の数学をやるにせよ、現代の数学をやるには必須の最低限の技術的知識です。それ以前の知識にかかわりなくこの部分に難点があるとご自分で本格的に数学をやる際の躓きの石になります。（実際長年の経験ではこの部分が不確かな方が多い！）この部分に十分に習熟されている例外的な方を除いては、なるべく早いうちの履修をお勧めします。
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項目
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- Hilbert空間の直和
- 線形作用素の概念と基本的な性質
- 作用素のグラフ
- 閉作用素、可閉作用素
- 作用素のアドジョイント
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- 総和記号と数学的帰納法
- Σ
- 数学的帰納法
- 非順序和
- 集合論からの概念と記号法
- 集合の算法
- 写像の像と原像
- 写像の算法
- 変換群
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日付
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１／２９（土）、２／１２（土）
２／２６（土）、３／１２（土）
３／２６（土）、４／９（土）
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２／１２（土）、２／２６（土）
３／１２（土）、３／２６（土）
４／９（土）、 ４／１６（土）
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時間
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１７：００－１９：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＥＡ． 距離空間と解析学
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Ｇ． 抽象線形代数
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内容
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数学工房の稽古の基礎になる講座でまさに型の稽古からできている。この案内
の初中級以降をご覧になればわかるとおりどの講座も一般位相についての習熟
を要求している。今期は関数論の講座も同時に開講されているので位相の働き
を具体的に理解したい方には同時にIB をとることをお勧めする。連結性とコン
パクト性が関数論の言葉として根源的な役割を果たすのをみることになります。
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一般位相と並び現代数学の言語の根幹であり初中級以上の講座を受講するには
この部分への習熟は必須です。今期は内積空間を最も一般的な形で学ぶ。内積
空間Ⅰでは直交性と正射影定理，Ⅱでは線形形式の表現定理と近似定理、直交
化を扱います。後半では内積空間上の線形写像の一般論としてadjoint とその構
造、対称変換、正射影等を扱います。抽象の方法を身につけるもっとも基本の
型稽古であるとともに、多くの計量をもつ線形理論が統一された方法で簡明に
扱うことができます。無論、中級であつかう関数解析やRiemann 多様体上の理
論の理解には決定的な役割を果たします。
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項目
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- 実数値連続関数
- 連結の特徴付け
- 連結性の諸性質
- ｎの領域、
- 連結成分
- コンパクト性の定義。コンパクト集合の基本的性質
- コンパクト集合上の連続関数。
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◆内積空間上の作用素のクラス
-
内積空間
- 内積空間と例
- 内積空間の幾何Ⅰ
- 内積空間の幾何Ⅱ
-
作用素の一般論
- adjoint
- 対称変換と正射影
- 等距離変換
- ２次形式の最大原理
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日付
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１／２３（日）、２／６（日）
２／２０（日）、３／６（日）
３／２０（日）、４／３（日）
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１／３０（日）、２／１３（日）
２／２７（日）、３／１３（日）
３／２７（日）、４／１０（日）
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時間
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１４：００－１６：３０
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１４：００－１６：３０
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講座名
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ＩＳ． Analytisch Zahlentheorie
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ＭＢ． 多様体の理論の展開
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内容
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Siegelの解析数論のGoettingenにおける１９６８年の講義のマニスクリプトに沿った紹介です。
今回の中心テーマはDirichletの素数定理の証明です。始めにmod mの既約剰余類上の指標χに対
応するL級数(sχ)たちが導入され、対応するEuler積を用いて
ｐ≡ a (mod m) なる素数のクラスを分離するので
ある。この証明の鍵になるのが、L(１χ) ≠ ０を主指標と異なるχについて示すことで、先ずDirichlet
の組み合わせ的論的な証明が示され、それから、一般のDirichlet級数とその複素領域への拡張をもちいて新証明が示される。この部分の証明の改良が複素関数論的な研究の方向が解析数論に現れた理由を示唆しています。
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２０１０年秋学期で多様体の向き付け、体積要素、多様体上の積分、Stokesの定理を扱った。今学期はその発展編でDivergence Theoremなどベクトル解析の諸定理の発展編から始まり、Riemann多様体上の調和形式までを扱い、コンパクト多様体上のKodaira-Hodgeの理論への入門としたい。
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項目
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◆Dirichletの素数定理とL関数
- DirichletのL関数と算術級数上の素数定理
- Dirichlet級数の一般論
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◆微分形式の積分とその応用
- Stokesの定理とベクトル解析の諸定理
- 内積空間上の交代形式
- Riemann多様体上の調和形式
- 調和形式とコホモロジー、Kodaira-Hodgeの理論への入門
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日付
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１／２２（土）、 ２／５（土）
２／１９（土）、 ３／５（土）
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３／１９（土）、４／２（土）
４／１６（土）
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時間
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１４：００－１７：００
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１４：００－１８：００
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冬季集中セミナー（２０１０年度）
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講座名
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Matrix Algebras 入門（行列代数と線形代数）（入門・初級）
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項目
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- 行列の代数と線形写像の方法
- 練習問題
- 冪等行列と射影
- 一般化逆
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日時
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１２月１１日（土） １４：００－１８：００ １２月１２日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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統計モデルと行列解析入門（入門・初級）
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項目
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- 基本概念 多次元分布
- 行列値関数の確率測度による積分
- 平均・分散共分散行列
- 多変量正規分布と関連する諸量
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日時
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１２月１８日（土） １４：００－１８：００ １２月１９日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Riemann- Zetaと関数等式、解析接続（初級）
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項目
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- 解析学からの準備
- 和公式とZetaの積分表示、Re（ｓ）＞0 の領域への解析接続
- Zeta関数等式
- いくつかの別証明（Riemannの原証明を含む）
- HamburgerによるZetaの特徴付け
- 有理形関数としてのRiemann- Zetaと零点
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日時
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１２月２５日（土） １４：００－１８：００ １２月２６日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Lebesgue式積分と測度（一般論）（初級）
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項目
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- 基本概念の概略
- 積分可能な関数の基本的な性質
- 収束定理とその帰結
- 測度の構成（概略）
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日時
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１月８日（土） １４：００－１８：００ １月９日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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ガイダンス
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項目
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数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。 講座の取り方等の個別の相談も承ります。
筆記用具をご持参下さい。新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。
参加ご希望の方は早めに数学工房sugakukobo@w5.dion.ne.jpまでお申し込みください。
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日時
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１月１５日（土） １３：３０－１５：３０
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講座名
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一様空間 （初級・中級）
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項目
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- 一様構造の基本知識 まとめ
- Cauchy Filterと一様連続
- 全有界性とコンパクト
- 擬距離と擬距離空間
- 擬距離空間と一様構造
- 一様空間の完備化
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日時
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１月１６日（日） １１：００－１７：００
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秋学期講座（２０１０年度）
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講座名
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ＩＡ． 微積分の基本定理の発見と展開
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ＩＢ． 複素関数論（正則性とはなにか）
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項目
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- 微分法再論
- 定積分の概念
- 微積分の基本定理
- 微積分の基本定理から導かれる諸公式
- トピックス
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- 複素数系・複素平面
- 複素級数
- Cauchy－Riemann方程式
- 正則関数 調和関数
- 複素線積分
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日付
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９／１７（金）、１０／１（金）
１０／１５（金）、１０／２９（金）
１１／１２（金）、１１／２６（金）
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９／２５（土）、１０／９（土）
１０／２３（土）、１１／６（土）
１１／２０（土）、１２／４（土）
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時間
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１９：００－２１：００
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１４：００－１７：００
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講座名
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ＩＣ． 位相群上の不変積分と表現論
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ＩＤ． 初等線形代数から微積分へ
（領域の積分・曲面の積分）
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項目
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- イントロダクション 有限群上の表現
- 局所コンパクト群上のHaar測度の概略
- 局所 コンパクト群上の表現
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- 基本図形の有効体積
- 基本図形の作るユーグリッド空間
- 領域上の関数の積分
- 曲面上の関数の積分
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日付
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９／２４（金）、１０／８（金）
１０／２２（金）、１１／５（金）
１１／１９（金）、１２／３（金）
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９／１９（日）、１０／３（日）
１０／１７（日）、１０／３１（日）
１１／１４（日）、１１／２８（日）
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時間
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１９：００－２１：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． Hilbert空間への招待
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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項目
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- 線形作用素の概念
- 有界線形作用素のクラス
- 閉作用素、可閉作用素
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- Σ の用法と数学的帰納法
- 集合と写像
- トピックス
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日付
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９／２５（土）、１０／９（土）
１０／２３（土）、１１／６（土）
１１／２０（土）、１２／４（土）
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９／１８（土）、１０／２（土）
１０／１６（土）、１０／３０（土）
１１／１３（土）、１１／２７（土）
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時間
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１７：００－１９：００
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＥＡ． 距離空間と位相空間序説
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Ｇ． 抽象線形代数Ⅱ 線形写像・線形代数
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項目
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- 距離関数、距離空間 定義と典型例
- 近傍系、開集合系、閉集合系 閉包 開核
- 点の位相的分類
- 点列の基本的性質・完備性
- 連続関数・一様連続関数
- 距離空間の正規性
※ 最も基本的な型稽古で、長い期間にわたり改良を繰り返し用いられてきた、定番である。
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- 線形写像
- 重ねあわせ原理と斉１次式
- 写像としての性質
- Image-Kernel TheoremとRank
- 存在と一意性定理
- 双対基底と座標写像・双対空間
- 双対基底と座標写像
- 双対空間
- 随伴写像
- 行列表示と座標変換
- 標準表示との関係
- 座標変換の行列表示
- 基底の変更に伴う行列表示の変換
- 線形変換
- 線形変換の代数
- 線形変換群
- 射影と直和
- 射影と直和
- 代数的理論
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日付
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９／２６（日）、１０／１０（日）
１０／２４（日）、１１／７（日）
１１／２１（日）、１２／５（日）
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９／１９（日）、１０／３（日）
１０／１７（日）、１０／３１（日）
１１／１４（日）、１１／２８（日）
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時間
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１４：００－１６：３０
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１４：００－１６：３０
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講座名
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ＩＳ． 解析数論序説
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ＭＢ． 多様体 微分形式の積分（Stokesの定理）
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項目
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Ⅰ乗法的整数論
- 素因数分解（イントロダクション）
- Dirichletの素数定理
- 特別な場合の初等的解法
- 有限Abel群の指標
- DirichletのL関数と主定理の証明
- Dirichlet級数と主定理の新証明
- 分割問題
- Dirichletの不連続因子と剰余つき素数定理の証明
- Riemann Zeta-Functionの関数等式
C.L.Siegel Analytische Zahlentheorie Ⅰ
Vorlesung,gehalten im Sommersemester 1963
An der Universitaet Goettingen
講義用草稿 Goettingen大学数学研究所発行
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- コンパクトな台をもつ微分形式の積分
- Stokesの定理
- 写像度
- DivergenceとLaplacian
- 楕円型微分作用素の一性質
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日付
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１０／１１（月・祝） １１：００－１６：００
１０／２４（日）、１１／７（日）
１１／２１（日）、１２／５（日）
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９／１８（土）、１０／２（土）
１０／１６（土）、１０／３０（土）
１１／１３（土）、１１／２７（土）
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時間
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１１：００－１３：００
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１４：００－１６：００
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夏季集中セミナー（２０１０年度）
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講座名
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確率論における収束の概念（入門・初級）
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項目
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- 準備
- 確率分布の収束
（分布の弱収束、特性関数列の収束、法則収束）
- 確率変数の収束の種々のモード
（概収束、確率収束、平均収束の定義と相互関係）
- The Low of Large Numbers
- Central Limit Theorem
- Poisson’s Low of Small Numbers
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日時
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８月７日（土） １４：００－１８：００ ８月８日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Lebesgue式積分と測度（一般論）（初級）
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項目
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シグマ加法族と可測空間、測度、測度空間
- シグマ加法族と可測空間
- 可測写像、可測関数
- 単関数の代数
- 測度、測度空間
-
測度による積分
- 積分の定義
- 収束性に関する基本定理
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日時
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８月２１日（土） １４：００－１８：００ ８月２２日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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Riemann-ZetaをめぐってⅠEuler積とDirichlet級数 （フリー）
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項目
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- Euler積とDirichlet級数
- Zeta関数に関係する様々なDirichlet級数
- Dirichlet級数と数論的関数
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日時
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８月２８日（土） １４：００－１８：００ ８月２９日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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超関数の諸公式 （初中級）
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項目
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- 概略
- 超関数のテンソル積、畳み込み積
- 急減少関数
- 超関数のFourier変換
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日時
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９月５日（日） １１：００－１７：００
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講座名
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ガイダンス
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内容
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数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。
講座の取り方等の個別の相談も承ります。筆記用具をご持参下さい。
新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。
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日時
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９月１１日（土）
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講座名
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一様構造とFilter （初中級）
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項目
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- Filterの概略
- 一様構造と一様空間
- 完備性
- 一様連続性
- 前有界・コンパクト
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日時
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９月１２日（日） １１：００－１７：００
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夏学期講座（２０１０年度）
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講座名
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ＩＡ． 解析教程Ⅰ
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ＩＢ．Fourier解析
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項目
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- イントロダクション
- 解析関数
- 微分法と微積分の基本定理
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- Fourier解析のＬ2理論
- L1(R)上のFourier変換
- Fourier-Stieltjes変換
- 多次元空間におけるFourier 変換
- トピックス
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日付
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５／２１（金）、
６／４（金）
６／１８（金）、
７／２（金）
７／１６（金）、
７／３０（金）
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５／８（土）、
５／２２（土）
６／５（土）、
６／１９（土）
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|
時間
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１９：００－２１：００
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１４：００－１７：００
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講座名
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ＩＣ． 秋学期より再開します
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ＩＤ．初等線形代数と微積分
（多次元Euclid空間の幾何と初等線形代数）
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項目
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- イントロダクション
- 数ベクトル
- 内積とノルム
- 直交性と直交性
- 多次元の基本図形
- 線形写像と行列算法
- 微分の概念Ⅰ
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日付
|
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５／１６（日）、
５／３０（日）
６／１３（日）、
６／２７（日）
７／１１（日）、
７／２５（日）
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時間
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|
１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． Hilbert空間への招待
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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項目
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- 内積空間
- 距離空間と位相から
- Hilbert空間の幾何学
- Hilbert空間の典型例
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- Σ の用法と数学的帰納法
- 集合の代数
- 写像
- トピックス
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日付
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５／１４（金）、
５／２８（金）
６／１１（金）、
６／２５（金）
７／９（金）、
７／２３（金）
|
５／１５（土）、
５／２９（土）
６／１２（土）、
６／２６（土）
７／１０（土）、
７／２４（土）
|
|
時間
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１９：００－２１：００
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＥＡ． 位相と解析序説
秋学期より開講します
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Ｇ． 抽象線形代数
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項目
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- 線形空間、線形部分空間
- 従属、独立、基底、次元
- 基本的な線形空間
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日付
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５／１６（日）、
５／３０（日）
６／１３（日）、
６／２７（日）
７／１１（日）、
７／２５（日）
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|
時間
|
|
１４：００－１６：３０
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|
講座名
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ＭＡ． Schwartz超関数 超関数のFourier変換
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ＭＢ． ベクトル場に働く基本的な作用素
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項目
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- 緩増加超関数
- 急減少関数の空間
- 緩増加超関数
- １点を台とする超関数の構造
- 緩増加超関数の直積と畳み込み
- Fourier変換
- 急減少関数のFourier変換
- 緩増加超関数のFourier変換
- 諸性質
- Fourier変換と畳み込み
- 演習
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- 共変テンソル場の変換
- 微分形式に働く種々の作用素
- 多様体上のコホモロジー
- 多様体の向き付け
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日付
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７／３（土）、
７／１７（土）、
７／３１（土）
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５／１５（土）、
５／２９（土）
６／１２（土）、
６／２６（土）
７／１０（土）、
７／２４（土）
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時間
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１４：００－１８：００
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１４：００－１６：００
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講座名
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ＩＳ． 加藤敏夫著位相解析入門との対話
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ＭＣ． Hilbert空間の作用素の解析学
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内容
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加藤敏夫先生の名著 位相解析(理論と応用への入門)共立出版が２００１年に復刊されました。
じっくりと基本的な例を見ながら、関数解析の考え方、対象を平易な、言葉で解き明かした、
本当にその領域を知る人の見事な入門書です。今期は第３章Lebesgue積分を読み進みます。 |
- 準備 単位の分解と自己共役作用素（スペクトル定理）
- 作用素の解析
- 作用素の関数
- Neumann－Riesz-Miuraの定理
- Stoneの定理
- 固有値問題
- 一般調和解析
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日付
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５／１９（水）、
６／２（水）
６／１６（水）、
６／３０（水）
７／１４（水）、
７／２８（水）
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６／２０（日）、
７／４（日）、
７／１８（日）
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時間
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１９：００－２１：００
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１３：００－１７：２０
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▲目次へもどる
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春季集中セミナー（２００９年度）
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講座名
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確率統計の基礎数学 特性関数と母関数
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内容
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今回は１日セミナーということもあり特性関数と母関数のみに焦点を絞りました。
細かい知識はひとまずおいて、確率の理論における分布の空間と特性関数の空間の構造的な理解をしてもらいます。
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項目
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- 基礎概念の概略
- 特性関数・母関数Ⅰ
- 特性関数・母関数Ⅱ
- 重要な例の計算
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日時
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４月４日（日） １１：００－１７：００
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講座名
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ガイダンスと懇親会
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内容
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ガイタンス １３：００－１４：００ 懇親会１４：３０－１７：３０ 会費￥１５００ つまみお飲み物付き。
当日は研究会や、会の運営に参加されている会員にお話しをしてもらいます。それから、中央大学の諏訪先生が、
北イタリアのパドヴァ大学でのサバテカルから１年ぶりにお帰りになりましたので、
パドヴァでのお話を中心に北イタリア数学事情などをうかがいたいと思います。
普段知り合うことの少ない会員の交流が目的です。奮ってご参加ください。
なお教室の収容力の問題がありますので、参加ご希望の方は早めに数学工房sugakukobo@w5.dion.ne.jpまでお申し込みください。
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日付
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４月２９日（祝・木）
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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フイルター
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内容
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Filterはもっとも、根源的な数学の構造の一つで、
現象の統一的な記述に有用な道具です。
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項目
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- 基本的な性質
- フイルターの収束とコンパクトの特徴付け
- Tikonovの定理
- フイルターと一様構造
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日時
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５月２日（日） １１：００－１７：００
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講座名
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古典解析の真珠
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項目
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- イントロダクション 関―Bernoulliの冪和の探求
- Bernoulli多項式
- Eulerの三角級数展開
- Eulerの公式
- ある３角級数
- Bernoulli多項式との関係
- Zetaの特殊値
- Eulerの和公式とPoissonの和公式
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日時
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５月４日（火） １４：００－１８：００ ５月５日（水） １１：００－１６：００
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▲目次へもどる
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春学期講座（２００９年度）
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講座名
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ＩＡ．入門解析教程
（解析学とは何か？どこから来たのか？）
今年度は休講します。
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ＩＢ．Fourier解析序説Ⅲ
（函数空間とFourier解析序説）
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項目
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- 準備 用語・記号
- p乗可積分函数の空間
- Hilbert空間
- Euclid空間上の函数空間と近似定理
- Euclid空間上のFourier変換
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日付
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１／２３（土）、
２／６（土）
２／２０（土）、
３／６（土）
３／２０（土）、
４／３（土）
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時間
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|
１４：００－１６：００
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講座名
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ＩＣ．位相群（表現論を目指して）
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ＩＤ．初等線形代数と微積分Ⅲ
（領域の積分、多変数の高階導関数、
Taylorの公式）
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項目
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- 位相群、定義と例
- 位相群の部分群 コセット空間、商空間
- 位相群の同型と準同型
- 位相群の連結成分
- 等質空間・局所コンパクト群
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- 領域上の積分２
- 微分と偏導関数
- 高階微分とテンソル表示
- Taylor公式
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日付
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１／２２（金）、
２／５（金）
２／１９（金）、
３／５（金）
３／１９（金）、
４／２（金）
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１／３１（日）、
２／１４（日）
２／２８（日）、
３／１４（日）
３／２８（日）、
４／１１（日）
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時間
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１９：００－２１：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＧ． 現代数学入門
複素数平面を通しての現代数学入門
（存在と表現）
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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項目
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-
複素数系
- Hamiltonの流儀と表現論的な正当化
- Cauchyの方法
- 複素函数と複素微分
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- 総和記号
- 数学的帰納法の様々な形
- 集合の代数
- 写像（像と原像）
- 変換と変換群
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日付
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２／１２（金）、
２／２６（金）
３／１２（金）、
３／２６（金）
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１／３０（土）、
２／１３（土）
２／２７（土）、
３／１３（土）
３／２７（土）、
４／１０（土）
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時間
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１８：３０－２０：３０
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＥＡ． 位相と解析学序論
（コンパクト空間からのトピックス、
Baire Category定理）
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Ｇ． 抽象線形代数入門
今年度は休講します。
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項目
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- コンパクト空間上の連続関数環
（Diniの定理、Ascoli-Arzelaの定理など）
- 点別収束位相とTychnoffの定理
- Baire Category定理と若干の応用。
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日付
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１／３１（日）、
２／１４（日）
２／２８（日）、
３／１４（日）
３／２８（日）、
４／１１（日）
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時間
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１４：００－１６：３０
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講座名
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ＭＡ． Schwartz超函数の基礎理論
（テンソル積、接合積、
パラメータの入った超函数）
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ＭＢ． 解析のための多様体入門Ⅲ
（テンソル場、微分形式）
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項目
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- 基礎概念の復習
- 超関数のテンソル積
- テンソル積の定義
- テンソル積の性質
- 超関数の畳み込み
- 局所可積分函数の畳み込み
- 畳み込みの定義と存在
- 畳み込みの性質
- 非負数直線上に台を持つ超関数の畳み込み代数と分数階微積分作用素
- 超関数の正則化と近似定理
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- 準備
- 多様体上の共変テンソル場
- ベクトル場とPaff形式
- テンソル場の内部積
- 写像による共変テンソル場の変換
- 外微分
- 共変テンソル場とベクトル場上の交代線型形式
- テンソル場の3つの演算
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日付
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２／７（日）、
２／２１（日）
３／７（日）
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１／３０（土）、
２／１３（土）
２／２７（土）、
３／１３（土）
３／２７（土）、
４／１０（土）
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時間
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１１：００－１７：００
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１４：００－１６：００
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講座名
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ＩＳ．加藤敏夫著位相解析入門との対話
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Ｇ．Hilbert空間上の作用素
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内容
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加藤敏夫先生の名著 位相解析(理論と応用への入門)共立出版が２００１年に復刊されました。
じっくりと基本的な例を見ながら、関数解析の考え方、対象を平易な、言葉で解き明かした、
本当にその領域を知る人の見事な入門書です。今期は第２章 内積とHilbert空間を読み進みます。 |
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単位の分解、スペクトル
- Hilbert空間の射影作用素の幾何学と単位の分解
- 実解析からの予備知識
- Unitary作用素のスペクトル分解
- Neumannのスペクトル分解定理
- トピックス
-
作用素の関数
- 作用素の関数の概念
- Neumannの定理
- Stoneの定理
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日付
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１／２０（水）、
２／３（水）
２／１７（水）、
３／３（水）
３／２４（水）、
４／７（水）
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４／１７（土） １４：００－１８：００
４／１８（日） １１：００－１７：００
４／２５（日） １３：００－１６：００
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時間
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１９：００－２１：００
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冬期集中セミナー（２００９年度）
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講座名
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微積分の考え方(解析学とは何か？Ⅰ） － 入門 －
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内容
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解析学の基本理念は近似である。近似計算そのものの起源は古い。
面積や体積のような実用と結びついて古代から行われてきた。
それが17世紀に極限に結びついたとき、無限解析と呼ばれる、
現在の微積分・代数の直接の先祖が誕生しました。
このような立場から Ⅰでは、補間法、初等超越函数の発見、
微分法を扱う。Ⅱでは、積分の代数化、剰余評価が一般論として、
確立されていく様子をみる。
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項目
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- イントロダクション Newtonの多項式補間と差分近似
- 古典的解析函数
- 局所近似としての微分法
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日時
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１２月１３日（日） １１：００－１７：００
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講座名
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Hilbert空間上の作用素のスペクトル分解 － 初中級 －
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内容
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線型代数で学んだように、正射影の１の分解は、全空間を互いに直交する部分空間の和に分解する。
また対称変換は射影作用素によりスペクトル分解される。今回のテーマは、その、無限次元バーションです。
無限次元では、連続する添え字をパラメータとする正射影族や、連続的な固有値を取り扱うことになります。
有限次元線型代数における結果と無限次元の結果をどのように統合するのだろうか、
構造をよく見るとスペクトル分解はStieltjes積分に見えてくるであろう。このようにして、
有限次元代数の方法を自然に拡張しようとすれば、作用素の空間の、
解析学の研究が必然的になってくるということが分かるとおもいます。
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項目
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- 準備
- 対称作用素、自己共役作用素
- 単位の分解
- 正の定符号列とStieltjes測度
- Unitary作用素のスペクトル分解
- スペクトル分解定理
固有値問題、作用素値函数に続く
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日時
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１２月１９日（土） １４：００－１８：００
１２月２０日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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確率統計の数学的基礎 期待値と確率測度の積分 － 入門 －
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内容
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確率変数の期待値が存在するとして、確率測度の積分を近似することを考えると、
必然的にLebesgueの近似和のアイデアがあらわれ、しかもその結果を分布関数の言葉で読み直すと、
数直線、あるいはn次元Euclid空間上のRiemann-Stieltjes積分があらわれる。
結果として確率測度の積分の存在が確立できるのです。この考え方は参考書や、教科書にはありません。
詳細な数学的解析を研究するのならともかく、やたらにLebesgue積分の結果を引用するのは賢明とは思えません。
ただし、応用で使いこなすには、積分論の確率論研究での必然性を理解し、構造を理解することは必要です。
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項目
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- 準備
- 確率測度の積分とStieltjes測度の積分
- 期待値と特性量
- 母函数、特性関数
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日時
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１２月２６日（土） １４：００－１８：００
１２月２７日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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微積分の考え方(解析学とは何か？Ⅱ） － 入門 －
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項目
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- 微積分の基本定理 積分の代数化
- 剰余評価の考え方
- 剰余付きTaylor公式
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日時
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１月９日（土） １１：００－１７：００
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講座名
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ガイダンス・懇親会
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内容
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数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。
講座の取り方等の個別の相談も承ります。筆記用具をご持参下さい。
新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。
懇親会については、後日お知らせいたします。
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日時
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１月１０日（日）
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講座名
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Multi-linear Algebras テンソル代数、外積代数 － 初中級 －
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内容
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多変数の微積分を構造的に理解しようとするときテンソル表示はきわめて有用です。
取り分け多様体上の解析学を展開する場になるのは、接空間の上に構成される、
タンジェント束とその上のテンソル場です。この集中では、多重線型代数として、
線型代数的な部分のみに焦点をあわせます。純粋な予備知識としては抽象線型代数のみで事足ります。
多様体上の解析学の準備として、あるいは線型代数と多変数の微積分の理解を深めたい方に最適です。
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項目
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- イントロダクション
- 多重線型写像の空間
- 対称共変テンソル、交代共変テンソル
- 交代共変テンソルの外積代数
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日時
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１月１６日（土） １４：００－１８：００
１月１７日（日） １１：００－１６：００
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講座名
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可換代数演習 多項式環、形式冪級数環のイデアルの構造 － 初中級 －
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内容
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Atiyah-Macdonald Introduction to Commutative Algebra
第２章 練習問題１－５を中心に。解説と演習
前回は、可換環を素イデアルの空間上の関数環と見るという、
現代的な双対原理をテーマにした。今回は、基礎的な問題に戻って、
可換代数の理論の最も基本的な対象である、多項式環と形式冪級数環のイデアルを演習の形で取り上げる。
可換環Aを係数とする多項式環は、構造上充分に一般的な性格をもち、
第１章で扱ったイデアルの一般論の理解が容易になるであろう。
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日時
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１月２４日（日） １１：００－１７：００
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講座名
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函数解析学演習 － 初中級 －
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内容
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応用の世界では多くの特別な超関数があり、その間の関係を示す多くの公式があります。
これらの諸公式はどのように導出するのでしょうか。結局は超関数の概念の正しい理解と、
公式で問題にされている量の理解、後は微積分の基本的な計算能力です。
多様な式の織り成す曼荼羅を楽しみつつ、超函数概念の理解を深めましょう。
冬期の集中セミナーとしてはきわめて変則ですが3月の集中です。
会員の強いご希望もあり1日集中のオープションセミナーです。
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日時
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３月２１日（祝・日） １１：００－１７：００
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秋学期講座（２００９年度）
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講座名
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ＩＡ．入門解析教程Ⅰ
（解析学とは何か？どこから来たのか？）
今年度は休講します。
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ＩＢ．Fourier解析序説Ⅱ
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項目
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- Fourier級数からFourier解析へ
- 急減少関数のクラス
- 急減少関数のFourier変換
- Fourier変換の固有関数
- ２乗可積分関数の空間のFourier変換
- 可積分関数のクラスのFourier変換
- トピックス
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日付
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９／１９（土）、
１０／３（土）
１０／１７（土）、
１０／３１（土）
１１／１４（土）、
１１／２８（土）
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時間
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１４：００－１６：００
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講座名
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ＩＣ．可換代数入門 （加群Ⅱ）
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ＩＤ．初等線形代数と微積分Ⅱ
（有向体積としての行列式と領域の積分）
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項目
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- 前期の要約
- 完全系列
- 加群のテンソル積
- スカラー積の縮小と拡大
- テンソル積の完全系列
- Algebras
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- 有向体積としての行列式
- 線形変換の行列式
- 置換群の表現とSgn
- 領域上の積分と逐次積分
- Jacobi行列と積分変数の変換
- Gram行列と曲面の計量
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日付
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１０／９（金）、
１０／２３（金）
１１／６（金）、
１１／２０（金）
１２／４（金）、
１２／１８（金）
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９／２７（日）、
１０／１１（日）
１０／２５（日）、
１１／８（日）
１１／２２（日）、
１２／６（日）
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時間
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１９：００－２１：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． 距離空間上の測度
（Radon－Nykodymの性質）
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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項目
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-
加法的集合関数
- 一般論
- Jordan分解
- Radon-Nykodymの定理
- 有界変動関数
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- 総和記号
- 数学的帰納法の様々な形
- 集合の代数
- 写像（像と原像）
- トピックス
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日付
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１０／２（金）、
１０／１６（金）
１０／３０（金）、
１１／１３（金）
１１／２７（金）、
１２／１１（金）
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９／２６（土）、
１０／１０（土）
１０／２４（土）、
１１／７（土）
１１／２１（土）、
１２／５（土）
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時間
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１９：００－２１：００
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＥＡ． 位相と解析学序論Ⅱ
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Ｇ． 抽象線形代数入門Ⅰ
今年度は休講します。
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項目
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- コンパクトと全有界
- W.Bの性質(点列コンパクト)
- 点列コンパクト性の帰結
- プレコンパクトと全有界
- 点列コンパクトとHeine-Borelの性質
- 有限交叉条件
- コンパクト集合上の連続関数
- 空間 C(X)
- Diniの定理
- Ascoli-Arzelaの定理
- 連結性
- 局所定数関数と連結性
- 部分空間の連結性
- 連結性の諸性質
- 弧状連結
- 連結成分
- Rnの領域
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日付
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９／２７（日）、
１０／１１（日）
１０／２５（日）、
１１／８（日）
１１／２２（日）、
１２／６（日）
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時間
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１４：００－１６：３０
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講座名
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ＭＡ． Schwartz超関数の基礎理論Ⅰ
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ＭＢ． 解析のための多様体入門Ⅱ
（ベクトル場と微分作用素）
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項目
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- 基礎空間
- 超関数の概念と幾つかの例
- 超関数の台と貼り合わせ、局所化の原理
- 超関数の微分法、関数との乗法
- 測度と超関数
- 合成積
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- 多様体のベクトル場と微分作用素としての作用
- 多元環上の微分とLie環
- ベクトル場のつくるLie環
- Lie環の自己同型
- ベクトル場の１－parameter変換群
- Riemann多様体上の運動、無限小運動
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日付
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１０／４（日） １４：００－１６：００
１０／１８（日） １１：００－１８：００
１１／１５（日） １１：００－１８：００
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９／２６（土）、
１０／１０（土）
１０／２４（土）、
１１／７（土）
１１／２１（土）、
１２／５（土）
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時間
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１４：００－１６：００
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講座名
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Ｓ．加藤敏夫著位相解析入門との対話
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Ｇ．Hilbert空間上の作用素Ⅰ、Ⅱ
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内容
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加藤敏夫先生の名著 位相解析(理論と応用への入門)共立出版が２００１年に復刊されました。
じっくりと基本的な例を見ながら、関数解析の考え方、対象を平易な、言葉で解き明かした、
本当にその領域を知る人の見事な入門書です。今期は第１章 連続関数の空間と一様ノルム（１ｐ－４５ｐ）を読み進みます。 |
- Hilbert空間上の作用素Ⅰ
- Hilbert空間概略
- 線形作用素の一般論
- 作用素のグラフ
- 閉作用素・可閉作用素
- 共役作用素
- Hilbert空間上の作用素Ⅱ
- 対称作用素・自己共役作用素
- Unitary作用素
- 自己共役作用素のスペクトル分解
- 単位の分解
- 単位の分解から構成されるStieltjes積分
- 自己共役作用素のスペクトル定理
ⅢとしてUnitary作用素のスペクトル分解を予定しています。
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日付
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９／３０（水）、
１０／１４（水）
１０／２８（水）、
１１／１１（水）
１１／２５（水）、
１２／９（水）
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Hilbert空間上の作用素Ⅰ：９／２１（月・祝）
Hilbert空間上の作用素Ⅱ：１１／１（日）
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時間
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１９：００－２１：００
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１１：００－１７：００
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夏季集中セミナー（２００９年度）
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講座名
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可換代数演習Ⅱ
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内容
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現代的な可換環の手法の最も重要な方法にひとつは、
与えられた可換環Aに適切な定義域Xとその上に位相を付与することにより、
連続函数環の部分環とみなすことです。これによって、
函数の空間としてのより豊かな構造を考えることが出来るようになります。
例えば、ある条件のもとに、複素函数論の強力な武器である、
冪級数展開を考えることが出来る、という具合です。
このような取り扱いに雛形は、複素函数論やFourier解析
の一般化であるBanach環のGelfand理論に見られます。
関連する問題は第１章 練習問題 １５－２１、２６です。
I.C講座を受講しているか、あるいはAtiyahの教科書の第１章をお読みになっておいてください。
無論ここで私たちが扱うのは極初歩的なことに過ぎません。 |
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項目
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Prime spectrum 0f a Ring
- 環Aの素イデアル空間とZariski位相
- 素イデアル空間の開集合の性質
- 素イデアル空間の分離性
- 環準同型からの引き戻し
- Maximal Ideal space
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日時
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８月９日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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数学の基本語彙と文法としての確率解析の基礎Ⅱ
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内容
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Random variablesと確率分布０９、４月の集中セミナーⅠの続編、
概念の本質を、きちっと理解し、その結果に基づいて基本的な確率変数から作られる種々の統計量の分布を見通し良く導きましょう。
測度論や実解析の知識は仮定しません。
ただし集合や写像の取り扱い(特に写像による原像の計算)、
そして概念的な対象の理解はある程度の習熟を期待します。
Ⅲ（Stieltjes積分と測度の積分、期待値）へ続く。
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項目
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- 確率論の枠組み(復習)
- 確率変数と分布
- 連続的分布と離散的な分布
- 確率変数の函数
- 多次元確率変数と分布
- 統計量の分布
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日時
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８月２２日（土） １４：００～１８：００
８月２３日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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楕円函数の基礎理論（代数と解析学特論）
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内容
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複素函数論の最も美しいトピックスのひとつをとりあげます。実際、RiemannとWeierstrassが、
それぞれ異なったスタンスで作り上げた複素函数論の基礎理論は、楕円関数、さらにその一般化である、
Abel函数の問題を解明するための足場として生まれてきたのです。
函数論を折角勉強したら、せめてこの美しい結果のトレッキングに参加したいとおもいませんか。
予備知識としては、正則性の概念から始まって、Laurent展開と留数あたりまでの概略を掴んでいれば十分でしょう。
Liouvilleの２重周期函数の一般論から始めてWeierstrassの方法に従いр函数を導入します。
楕円函数のmoduleiの空間辺りまでを、じっくり理解しましょう。
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項目
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- ホモトピー型積分公式、有理型関数、留数定理
- 周期加群
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楕円函数
- ２重周期函数の一般論
- P-函数
- 楕円函数体
- モジュラス
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日時
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８月２９日（土） １４：００～１８：００
８月３０日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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Fibonacci型数論の世界（数学的解析入門）
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内容
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Fibonacci数には、たくさんの美しい性質がある。例えばよく見ると、
整除の性質などは、自然数にそっくりである。そうおもってよく見ると、
そのような性質を持つ対象はすくなからずある。自然数同様、
このような者たちの仲間が自然科学や工学の様々な領域に顔を出すのはなぜか。
このようなものたちに共通の理念的存在は何か？
数論、幾何、解析、代数の交差を楽しみながら、
背景にある神秘的な法則の正体を探っていきましょう。
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項目
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- Introduction ２項係数とFibonacci数
- Fibonacci数からFibonacci型多項式系へ
- Fibonacci型多項式の性質
- この美しい性質はどこから来たのか
- 単位円周の幾何学と円分多項式
- Fibonacci型の分解定理
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日時
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９月５日（土） １４：００～１８：００
９月６日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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Schwartz超関数の理論と応用 準備の章
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内容
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秋学期から、前々から要望のあったSchwartz超関数の理論をMAでとりあげます。
今回はそのための序章です。
テスト函数の理論の基礎を0章として、C∞貼り合わせテクニックすなわち、
非自明なコンパクト台を持つ関数と単位の分解、Friedrichsの軟化子を中心にした構成にしました。
この内容は、超関数あるいは多様体上の解析学の最も有用な道具で、MA、MBの共通の基礎として重要です。
数学工房の位相や代数の初級講座の内容にはある程度の習熟を仮定します。
扱い方のスタンスは溝畑茂の偏微分方程式論あるいは、理論の創設者自身の著書、
数理物理学の方法にそって話を組み立てるつもりです。
先ず必要な基本概念と結果をざっと学びましょう。
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項目
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-
テスト函数の空間と単位の分解（いわゆる貼り合わせテクニック）
- コンパクト台を持つC∞函数
- パラコンパクト性
- 単位の分解
- Friedrichsの軟化子と近似定理
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測度と函数のとらえかた
- 複素測度
- 実測度、正測度
- F.Rieszの定理
- 測度の台
- 函数と測度の関係
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日時
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９月１２日（土） １４：００～１８：００
９月１３日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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第一部：ガイダンス
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第二部：小講義 多次元の発見をめぐって
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内容
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数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。
講座の取り方等の個別の相談も承ります。筆記用具をご持参下さい。
新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。
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多次元空間の概念が数学の世界に登場するのは、ようやく19世紀の半ばで、始はためらいがちに用心深く。
それから50年で集合論誕生もあいまって、多次元幾何学は、爆発的な発展をとげます。
それどころか20世紀のになると無限次元の世界も数学に取り込まれます。
現在の数学では、多次元世界は、ごくポピュラーな概念です。それにもかかわらづその自然な経緯はあまり知られていません。
（１）多次元空間登場
（２）多次元の理解
※ご参加の方には設備費として￥５００ご寄付いただきます。
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日時
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９月２２日（火・祝） ガイダンス：14:00 - 15:00 小講義：15:30 - 17:00
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場所
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数学工房 駒込教室
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▲目次へもどる
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夏学期講座（２００９年度）
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講座名
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ＩＡ．入門解析教程Ⅰ
（解析学とは何か？どこから来たのか？）
今年度は休講します。
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ＩＢ．Fourier解析序説Ⅰ
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内容
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１７世紀に誕生した解析学は１８世紀に入る
と爆発的な発展を遂げ、１８世紀末には言わ
ば、解きえる問題は全て解かれてしまってい
る停滞期に入っていたそこに彗星のように
現れたのが、Fourierの新しい方法である。
新方法の基礎付けの努力が、現代的な関数
概念、集合論、積分論、一般位相の理論を
生み出し。１８世紀の古典解析に対し、実
解析学、関数解析学の時代が始まるのである。
Fourier級数の概念から始まり、三角級数
の起源からDirichletの仕事まで（実解析
縁起）、Fourier級数の幾何学的理論、
Fourier級数の総和法などを扱う。
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項目
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- 三角級数論縁起(実解析学の源泉)
- Fourier級数の概念と基本的な問題
- Fourier級数の幾何学
- トピックス
- 畳み込みの代数
＊Fourier解析序説Ⅱ （Fourier変換１）に続く。
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日付
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５／２３（土）、
６／６（土）
６／２０（土）、
７／４（土）
７／１８（土）、
８／１（土）
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時間
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＩＣ．可換代数入門 Modules
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ＩＤ．初等線形代数と微積分Ⅰ
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内容
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前回に続いてAtiyah-MacDonald を下敷きにした
概論で例はなるべく解析学からとる予定である。
完全系列の理論や代数的なテンソルの理論を学ぶ
絶好の機会である。
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I.A、I.Fと伴に本格的な学びに入る前に、
必ず学んで置くべき基本知識である。微
積分とは局所的にはEuclid空間の初等図
形の計量に他ならない。微分法は、写像
を定義域の与えられた点の近くで、線形
写像で近似することである。初等線形代
数を学びつつその概念を利用して、任意
次元のEuclid空間の初等幾何を展開する。
その結果を用いて、曲面上の積分、高階
の微分、多変数のTaylor公式あたりまで
を論ずる。
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項目
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-
- イデアルの拡大と縮小
- 形式冪級数環と多項式環（１章練習問題から）
- Module の定義と基礎理論
- 有限生成加群
- 完全列
- 加群のテンソル積
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- 数ベクトル空間
- 内積・直交性
- Euclid空間の初等幾何
- 線形部分空間、Span、商空間
- 行列と線型写像
- 随伴と写像の微分法
以下
Ⅱ 行列式と領域上の積分、曲面上の積分
Ⅲ 高階微分、Taylor公式
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日付
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５／２２（金）、
６／５（金）
６／１９（金）、
７／３（金）
７／１７（金）、
７／３１（金）
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５／２４（日）、
６／７（日）
６／２１（日）、
７／５（日）
７／１９（日）、
８／２（日）
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時間
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１９：００－２１：００
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． 距離空間上の測度
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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内容
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岩波講座 現代数学の基礎[測度と確率]に沿った
講義で今回は第４章から材料を選ぶ。０８年秋、
０９年春の講義は、純粋に測度の抽象論で、基
礎空間の幾何学的な構造とは、無関係に存立す
る理論で、自然な解析学と、そのままでは結び
つかない。既に論じた、積分論の一般論、と測
度の構成の理論を既知としてEuclid空間の開集
合系から自然に生成されるBorel測度空間を取
り扱う。ここで漸く関数の連続性と積分の概念
が結びつく。
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数学の記述法の根幹という意味で尤も重要な講
座で、この講座を抜かして他の講座をとること
は、あまりお勧めできない。原則として、学期
ごとに開講する。意識的に学ぶことの少ない∑
の用法を、多重添え字の場合を中心に、応用練
習として同じ対象に異なった和の束をすること
により様々な表現が得られることを実践的に学
ぶ。数学的帰納法も状況に応じて、様々な、バ
リエーションを使いこなすことを学ぶ。（２）、
（３）で扱うのは理論としての集合論ではない。
記述としての、集合写像の取り扱いに習熟するこ
とが狙いです。
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項目
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-
Euclid空間上の測度
- Lebesgue-Stieltjes測度
- Lebesgue非可測集合
- Riemann積分とLebesgue積分
- Radon測度
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- 総和記号
- 数学的帰納法の様々な形
- 集合の代数
- 写像（像と原像）
- 変換と変換群
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日付
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５／２９（金）、
６／１２（金）
６／２６（金）、
７／１０（金）
７／２４（金）、
８／７（金）
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５／１６（土）、
５／３０（土）
６／１３（土）、
６／２７（土）
７／１１（土）、
７／２５（土）
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時間
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１９：００－２１：００
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＥＡ． 位相と解析学序論Ⅰ
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Ｇ． 抽象線形代数入門Ⅰ
今年度は休講します。
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内容
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最も基本的な型稽古で、長い期間にわたり改良
を繰り返し用いられてきました。０８年度は、
抽象位相を応用上重要な道具立てを中心に幅広
く扱いましたが、今期は距離空間に焦点を絞り、
演習の時間をもう少し取りたいと考えています。
「距離の定義からBaireのCategory定理まで。」
を３期に分けて学ぶ。位相の応用の実践は、
IB、IE、MA、MB等でいたるところで遭遇する
ことになります。
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項目
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- 距離空間の位相Ⅰ、連続性
- 距離関数、距離空間 定義と典型例
- 近傍系、開集合系、閉集合系 閉包 開核
- 点の位相的分類
- 点列の基本的性質・完備性
- 連続関数・一様連続関数
- 距離空間の正規性
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日付
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５／１７（日）、
５／３１（日）
６／１４（日）、
６／２８（日）
７／１２（日）、
７／２６（日）
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時間
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１４：００－１６：３０
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講座名
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ＭＡ． ヘルマンダーの複素解析学を読む
（擬凸領域上の存在定理）
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ＭＢ． 解析のための多様体入門Ⅰ
（多様体の概念）
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内容
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Hilbert空間上の閉作用素の理論を道具として
存在問題を解く。こうして、正則領域(正則関
数の存在領域)の概念が、擬凸性で特徴付けら
れることが分かるのである。ここに岡によって
最終的に解決された、多変数関数論の大問題に
ついてのトピックスを切り上げる。現在の多変
数関数論はここから始まるわけであるが、数学
工房の講座の性格上通常講座ではここまでとす
る。続きは、また別の機会に取り上げたい。来
期から、Hilbert空間上の作用素環（C*環）の
位相代数的なアプローチかSchwarz超関数を取
り上げる予定です。
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解析が展開される場としての多様体を材料と
した演習。入門、初級で培った全ての数学的
知識の総合演習である。今期は可微分多様体
の定義から出発し、関連する概念の構造の理
解に時間をかける。
以下次のような内容を予定している。
解析のための多様体入門Ⅱ ベクトル場と微分作用素
解析のための多様体入門Ⅲ 微分形式とテンソル場
解析のための多様体入門Ⅳ 外微分とコホモロジー
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項目
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- Hilbert空間の閉作用素
- 重み付き２乗可積分(p,q)形式の作るHilbert空間
- ノルム基本評価
- Neumann問題の弱解
- 弱解の微分可能性
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- 多様体の定義と典型的な例
- 微分可能関数、局所座標
- 写像の微分
- 接空間
- 関数の微分と臨界点
- Sardの定理
- 写像の微分
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日付
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５／１６（土）、
５／３０（土）
６／１３（土）、
６／２７（土）
７／２０（月・祝） １１：００～１６：００ （集中）
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５／２３（土）、
６／６（土）
６／２０（土）、
７／４（土）
７／１８（土）、
８／１（土）
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時間
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１４：００－１６：００
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１４：００－１６：００
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講座名
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H.Cartanの複素関数論を読む
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内容
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今期は、留数解析の理論と応用、このシリーズは、
このタームを持って、一端終了する。Cartanの
教科書第３章§５，６ ８８ｐ－１１８ｐから
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項目
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-
準備
- 閉微分形式のホモトピー的原始関数
- 複素対数関数と巻き次数
- ホモトピー的積分公式
- Riemann球と無限遠点
- 留数の定理
- 留数の計算
- 有理形関数の極、零点の個数の決定
- 二重周期関数
- 留数の方法による積分
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日付
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５／２７（水）、
６／１０（水）
６／２４（水）、
７／８（水）
７／２２（水）、
８／５（水）
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時間
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１９：００－２０：３０
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▲目次へもどる
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春季集中セミナー（２００８年度）
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講座名
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数学の基本語彙と文法としての確率解析の基礎入門
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内容
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数学の基本語彙と文法講座は、数学工房の入門講座のなかで、現代的な数学に
スムースに進むために飛びぬけた重要性を持っています。遠方の会員からも纏め
てやれないかとのお問い合わせをしばしばいただきます。そこで今回は、1日講
座の形で、確率論の記述の基礎を材料に、集合や写像の概念の用法を実習します。
特に数学的記述能力に不自由を感じている人にオススメです。
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項目
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-
確率の記述の数学的枠組み
- 標本空間
- 事象の代数
- 確率事象族と確率
- 確率計算の基本的ルール
-
確率変数と分布
- 写像の原像
- 確率変数
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日時
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４月１２日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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無限を捕らえる作法
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内容
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数学の基本語彙と文法のアドヴァンストコースで普段余り纏めて意識して扱うことの少ない、超越論法
の基礎、選択公理とZornの補題を中心に例を扱う。後半は、無限次元線形空間、自由ベクトル空間の諸性
質を扱います。
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項目
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-
イントロダクション Hammel Basis とCauchy の関数等式
-
選択公理の用法
-
Zornの補題 とその用法
- 順序系、上界、下界、上限、下限
- Zornの補題
- 幾つかの存在定理
-
無限次元線形空間
- 有限台を持つ写像の空間
- 無限次元線形空間への基本概念の延長
- 次元、同型
- 自由ベクトル空間
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日時
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４月１８日（土） １４：００～１８：００
４月１９日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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Jordan標準形の構造と応用
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内容
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Jordan標準形は、有限次元の線形代数では究極の構造定理である。無限次元の作用素論では、この様な
ことは望めない。但し、これは理論的な問題で具体的な問題に対してはもっと簡便な標準形が存在するこ
とが多い。しかし理論的には最も完全な形になる。
いつもJordan標準形は構成法までで終ってしまうので、今までも何度も会員からJordan標準形そのもの
を中心に据えたセミナーへの要望が出ていたので、今回は、抽象線形代数と線形変換の既約成分への分解
等に対する知識を一通り持っている事は前提にする。ただし、第１日目に概略は復習する。
有限次元の線形代数の基礎知識を仮定する。
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項目
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- 線形変換への既約成分への分解(概論)
- Jordan標準形の存在と構造
- 基本的な性質(演習)
- 典型モデル
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日時
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４月２５日（土） １４：００～１８：００
４月２６日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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一般計量を持つ線型空間概論Ⅰ
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内容
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抽象線形代数（数学工房の講座ではG）特に内積空間上の作用素既習者あるいは、同等以上の素養をお持ち
の方向けの講座。不定計量と定値計量を統合した形で論じていく。不定計量に移行する事により、内積空間
をもっぱら扱っていたときには,見えにくい、計量の本質的な構造が見えて来るでしょう。例えばSylvester
の慣性律の意味がハッキリと理解されるでしょう。
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項目
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- 計量と計量の分類、典型例
- 部分空間の計量とグラム行列式
- 直交系と直交補空間
- 正規直交基底の存在と計量の標準形、Sylvesterの慣性律
- Minkowsky空間
- 計量同型
- 線形形式の表現定理と双対空間
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日時
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５月２日（土） １４：００～１８：００
５月３日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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講座名
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複素関数論の展開Ⅰ
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内容
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複素関数論の一般論の基礎（Cauchyの積分公式、Cauchy-Taylorの表現定理）辺りまでの知識を仮定します。
有理形関数は、正則関数を含む最も良い性質の関数のクラスで、多くの重要な関数を含んでいます。これらの
基礎付けの上に、適切な機会に楕円関数の理論まで扱う予定です。
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項目
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-
孤立特異点
- Riemannの延長定理
- 孤立特異点、極
- 極の周りの展開
- 真正特異点
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有理形関数
- 有理形関数の代数
- 有理形関数環の性質と定義域の性質
- 一致の定理
-
有理形関数の収束列
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日時
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５月４日（月） １４：００～１８：００
５月５日（火） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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春学期講座（２００８年度）
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講座名
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ＩＡ．解析教程Ⅳ
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ＩＢ．複素関数論Ⅲ
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内容
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Cours d'Analyse の時代 （解析学の新しい基礎付け）
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複素関数論の理論の中心部分です。Goursatの鮮やかな積分定理の導出を出発点として、
前半は積分公式の導出このときトポロジーがどのように着てくるかに注意をしてください。
その後は応用としてCauchy変換を扱い・Cauchy-Taylorの表現定理を導出します。
以下は表現定理の応用の教科書とは、かなり異なるアプローチを取っています。
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項目
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-
数列のCauchy理論
- 収束列
- Cauchyの判定
- 集積点、部分列
- 級数のCauchy判定
- 幾つかの収束判定
- 絶対収束級数、条件収束級数
-
連続関数
- 連続関数
- Riemann積分
- 微分可能な関数のクラス
-
実数を捕まえる
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- 複素線積分のまとめ
-
Cauchyの積分公式
- Goursatの補題と星型領域の積分公式
- 円盤上の積分公式
- 平均値定理
- 連続微分可能な関数のクラスの積分公式
- Schwarzの積分公式
-
Cauchy-Taylorの表現定理
- Cauchy変換
- Cauchy-Taylorの表現定理
-
表現定理の応用
- Riemannの連続定理
- 解析接続
- 冪級数の積
- 正則関数の理論
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日付
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１／２５（日）、
２／８（日）
２／２２（日）、
３／８（日）
３／２２（日）、
４／５（日）
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１／１７（土）、
１／３１（土）
２／１４（土）、
３／２８（土）
３／１４（土）、
３／２８（土）
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時間
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１１：００－１３：００
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＩＣ．可換代数入門
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ＩＤ．初等線形代数と微積分Ⅲ
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内容
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Atiyah, MacDonaldの有名な教科書 Introduction to Commutative Algebra
の第１章に沿った代数語入門 後半で多項式環
や形式冪級数環の代数的理論とモダンな理論の
基礎である素イデアルと極大イデアルの作る
位相空間にも触れる予定である。
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今回は、微分と偏微分の関係をきちっとつかんだ上で、
まず高階偏導関数の概念を理解する。２階を例にして
各方向の偏導関数が存在して連続なら、導関数の局所近似
が存在することを詳しく示す。その結果としてHesse行列
とLaplace作用素が内在的な定義される。さらにテンソル表示
を導入し高階導関数を論じる。その結果を用いてTaylor－Lagrange公式を
多重線型形式による一点の近くでの近似として変数の数に無関係に統一的
に理解する。最後にGram行列をとりあげる。この行列がなぜ解析学の様々
な場所に現れるかの理由の一端が分かるであろう。Gram行列式を用いて
曲面上に積分を定義するのである。ここで扱われた概念は抽象線型代数や
中級のベクトル解析の背景を与えている
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項目
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-
可換代数の基礎理論
- 可換環と準同型写像
- イデアルと商環
- 零因子と冪零元、単元
- 素イデアルと極大イデアル
- ニルラジカル、ヤコブソンラジカル
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多項式環、形式冪級数環 Exercisesからの補充
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-
高階導関数とTaylor公式
- 微分と偏微分
- 高階偏導関数
- ２階導関数とHessian
- 高階導関数
-
Taylor公式
- 微分の記法の整理とテンソル表示
- Taylor-Lagrange公式
- Taylor公式
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Gram行列と曲面上の積分
- Gram行列
- Cauchy-Lagrange恒等式
- ｋ次元曲面上の面積
- 曲面上の積分
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日付
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２／６（金）、
２／２０（金）
３／６（金）、
３／２０（金）
４／３（金）、
４／１０（金）
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１／１８（日）、
２／１（日）
２／１５（日）、
３／１（日）
３／１５（日）、
３／２９（日）
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時間
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１８：３０－２０：３０
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． Lesbegue積分と測度論を読む
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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内容
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今回は先ず測度拡張の手段としてCarathéodory外測度、
E.Hopfの拡張定理を理解し、完備測度の構成法を学ぶ。
その結果の応用として直積測度の構成をする。
Fubiniの定理がひとつの頂点である。
後半はLebesgue－Stielties測度を学ぶ。
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どの分野に進むにしても必ずこなさなくてはいけない、
避けられぬ基礎ツールである。この部分の習熟が不十
分だと、先の段階でいたる所で躓くことになる。実際、
数学の専門講義についていけなくなる大きな要因のひ
とつである。原則として、各講座の受講以前に必ず受
講していただきたい。
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項目
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-
測度の構成
- Carathéodory外測度
- E.Hopfの拡張定理
- 測度空間の完備化
- 直積測度
-
Euclid空間の測度
- Lebesgue－Stielties測度
- Lebesgue積分とRiemann積分
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- ∑の用法と、数学的帰納法の様々な用法
- 集合
- 写像
- トピックス（代数語入門）
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日付
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１／１６（金）、
１／３０（金）
２／１３（金）、
２／２７（金）
３／１３（金）、
３／２７（金）
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１／２４（土）、
２／７（土）
２／２１（土）、
３／７（土）
３／２１（土）、
４／４（土）
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時間
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１８：３０－２０：３０
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＥＡ． 解析学と抽象位相の基礎Ⅲ
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Ｇ． 抽象線形代数特論
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内容
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今年度は例年に比して関数解析や作用素論の基礎を
意識したために一般的な性格が強くなり、演習に十
分に時間が割けなかった。その代わり重要な対象は
一通り網羅した。今期は、現代解析の重要な道具で
あるフィルター、一様構造を取り上げる。
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始めは、一般計量空間にウエイトを置くつもりであったが、
実用上から考えるとまず、通常のEuclidあるいはHermite計量
から知るべきであろう。実際一般計量は、数学的にはその結果
の応用である。前半はEuclid内積空間の幾何、不定計量の幾何
は付録である。前半のピークは正射影定理と表現定理
後半は与えられた内積に対する線型写像のアジョイントを扱う。
その応用として基本的な作用素のクラスを扱う。
この結果を使って有限次元の実または複素べクトル空間の計量が分類されるのである。
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項目
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-
距離空間からの補充
- 完備距離空間と完備化
- 全有界距離空間
- コンパクト距離空間
-
フィルター
-
一様位相
- 一様構造
- Cauchyネット、Cauchyフィルターと完備性
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-
内積の概念
- 内積と内積空間 定義と例
- 基本的な性質
- 一般の計量について
-
内積空間の幾何学Ⅰ
- 直交性
- 部分空間
- ノルムと距離
- 直交系、正規直交系、正規直交基底
- 正射影定理
- 一般計量からの補充、Sylvesterの慣性律
-
内積空間の幾何学Ⅱ
- 近似定理、正規方程式
- 線型形式の表現定理
- 一般計量空間での表現定理
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内積空間上の作用素
- アジョイントの構造
- 直交変換
- 対象変換
-
線型空間上の計量と２次形式
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日付
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１／２５（日）、
２／８（日）
２／２２（日）、
３／８（日）
３／２２（日）、
４／５（日）
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１／１８（日）、
２／１（日）
２／１５（日）、
３／１（日）
３／１５（日）、
３／２９（日）
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時間
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１４：００－１６：３０
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１４：００－１６：３０
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講座名
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ＭＡ． ヘルマンダーの複素解析学を読むⅢ
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ＭＢ． 線形作用素の理論入門Ⅲ
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内容
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今期はHoermannderの教科書の中心部分第４章の
準備に当てる。Hilbert空間と閉作用素の一般論
に関心のある方にも興味深いと思われます。多変
数関数論の素養が不十分な方は「２．関数解析からの準備」のみ参加され
ると宜しいでしょう。 |
いよいよ作用素論の本論です。今回は関数解析の歴史で最も早い時期に
現れた典型的な理論を扱います。線型代数と位相の知識がいたるところで
活躍するのを見ることになります。
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項目
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-
擬凸開集合
-
関数解析からの準備
- Hilbert空間とC.ON
- Legendre級数とWeierstrassの近似定理
- Hilbert空間の閉作用素
- トピックス
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-
Banach空間の閉部分空間の幾何
-
コンパクト作用素の理論
- コンパクト作用素の基本的性質
- コンパクト作用素の作る閉部分空間とイデアル
- Schauderの定理
- 有限次元作用素
- I-Kなる形の作用素
-
Fredholm作用素
- Fredholm作用素と指数
- Fredholm作用素の基本的性質
- 指数の安定性
- コンパクト作用素のスペクトル理論
-
関数空間におけるコンパクト作用素
- 位相的準備
- Hilbert空間におけるコンパクト作用素
-
自己共役なコンパクト作用素
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日付
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１／２４（土） 講義報告、
２／７（土）
２／２１（土）、
３／７（土）
３／２１（土）、
４／４（土）
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１／１７（土） 講義報告、
１／３１（土）
２／１４（土）、
３／２８（土）
３／１４（土）、
３／２８（土）
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時間
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１４：００－１６：００
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１４：００－１６：００
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講座名
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H.Cartanの複素関数論を読む
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内容
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前半は、線積分とホモトピーの概論、今回の中心は、
複素関数論の根幹、正則性の理解とCauchyの積分定
理、積分公式の理解と基本的な応用
主に第２章の内容である。第３章はトピックスの
なかで若干触れる予定です。
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項目
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- 線積分とホモトピー
- 正則関数の基本定理
- トピックス
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日付
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１／２１（水）、
２／４（水）
２／１８（水）、
３／４（水）
３／１８（水）、
４／１（水）
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時間
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１９：００－２０：３０
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▲目次へもどる
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冬季集中セミナー（２００８年度）
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| 講座名 |
関数解析学特論
Banach空間値関数の複素解析（初・中級）
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内容
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既に秋学期で、複素領域のBanach値関数について、簡単に触れた。
＜１＞はCauchy理論を中心にしたよりシステマチックな纏めである。
1変数の複素関数論と対比しつつ学ばれると良い。＜２＞はDunfordの
アイデアによる作用素の一般Cauchy理論である。スペクトルという特
異点によって、作用素が決定する有様をDunford積分によって理解する
ことが出来るのである。
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項目
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＜１＞ 一般論
（０） Banach空間値複素変数関数
（１） Banach値正則関数
（２） Banach空間値関数の複素線積分
（３） Cauchyの積分定理・積分公式
＜２＞ 作用素のDunford積分
（１） 有界作用素のDunford積分
（２） Dunford積分の準同型定理
＜３＞ Dunford積分の応用
（１） スペクトル写像定理
（２） 有界作用素の特徴づけ
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日時
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１２月１３日（土） １４：００～１９：００
１２月１４日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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| 講座名 |
解析教程Ⅲ
（１８世紀解析学から１９世紀解析学へ）（入門）
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内容
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18世紀解析学が、徐々に19世紀的な解析学に変容していく有様を級数の剰余評価の考え方と、
剰余評価の組織化、を通して理解してみよう。この後の不等式の楽しみとあわせるといっそう
深い理解への手がかりになるであろう。解析教程の雛形Cauchyの教程はこのときに現れたのである。
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項目
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（１） 級数の剰余評価の考え方
（２） Lagrange・Cauchyの平均値定理
（３） 積分の平均値定理
（４） Bolzano
（５） 剰余付きTaylor公式
（６） Taylor公式の応用
（７） 古典解析からのトピックス
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日時
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１２月２０日（土） １４：００～１９：００
１２月２１日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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| 講座名 |
不等式の楽しみ
（デリケートな和の評価の様々な技法）（フリー）
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内容
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和の評価というと、先ず思い出すのは、Abelの交代級数の一般化とDirichle’tのFourier級数の
総和と和の評価の方法である。Abelは無限級数の和は収束の吟味無しに扱うと不合理な現象がお
きることを指摘し，冪級数の収束に関する一般的な命題を与え，その際無限級数の値の求和
（Abelの連続定理）に関連して、交代級数の収束判定を一般化した、1つの判定条件を与えている。
この判定のメソッドを不等式として、まとめたものをAbelの不等式という。Dirichle’tは収束級数
には、絶対収束級数と条件収束級数と言う２つの根本的に異なったクラスがあることを指摘し、
条件収束級数は和の纏め方によっては全く異なる値に収束することを実例によって示した。さらに、
現在の言葉で言えば、有界変動な関数のクラスのFourier級数の評価に成功したFourier級数は後者の
クラスに属し、冪級数で成功したような、三角不等式による単純な和の評価は通用しないのである。
よりデリケートな和はどのようにして評価するか？
解析学、解析数論、確率論、組み合わせ論、数値解析などから取った、いくつかのすばらしいアイデア
の例を通して、その様な和の評価の骨をつかみたい。
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項目
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＜１＞ Abelの不等式
＜２＞ 三角級数の評価
（１） 一般論
（２） 一次の指数和
（３） ２次の指数和
＜３＞ ２次形式の評価とVan der Coupt不等式
（４） Rademacher直交関数系の挙動の評価
（５） 様々な評価に関する不等式
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日時
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１２月２３日（祝・火） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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| 講座名 |
代数学・解析学特論
形式ベキ級数講義Ⅱ（初・中級）
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内容
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予告した形式冪級数の講義第2弾である。講義Ⅰでは形式冪級数の空間は、
数列空間と同一視できることを利用して、線型漸化式と定数係数の線型
微分方程式の関係を論じた。今回は、形式冪級数の空間が多項式空間の
双対および多項式空間上の微分と可換な線型変換全体という2通りの解釈
が出来ることを、理解する。その際、自然な興味のある、形式冪級数は、
当然期待されるように、意味のある、線型形式に結びついていることを
見ることが出来る。また双対空間や作用素の空間を形式冪級数の空間と
見ることが出来るために豊富な代数構造を付与することが出来、より深
い研究が可能になるのである。応用として解析で知られた多くの特殊多
項式系（例えばLrgendre多項式系、Hermit多項式系、）を含むSheffer
多項式系を導入する。時間があれば、多項式空間の線形形式の空間を形
式冪級数の構造によりさらに構造的に研究することにする。
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項目
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＜０＞ 準備 形式冪級数の基本的な性質・演算
＜１＞ １変数多項式空間の双対空間としての形式冪級数環
（１） 形式冪級数の線形形式としての作用
（２） 基本的性質
（３） 興味深い冪級数に対応する線形形式
＜２＞ １変数多項式空間への線形変換としての作用
（１） 線形変換としての作用
（２） 多項式空間の線形変換が形式冪級数で表示される条件
＜３＞ Sheffer多項式系
（１） 基本概念
（２） 母関数
（３） Sheffer多項式系の表示と特徴づけ
（４） Sheffer多項式系の例としての特殊多項式系
＜４＞ Umbral解析
（１） Sheffer作用素・Sheffer移動作用素
（２） 連続変換
（３） Adjoint変換
（４） 自己同型群
（５） 微分
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日時
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１２月２７日（土） １４：００～１９：００
１２月２８日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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| 講座名 |
解析学と抽象位相の基礎（距離空間の位相）
（初・中級）
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内容
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通常講座では、距離によらない一般論を扱ってきたが、集中では、
距離空間上でのより深い特有の性質を扱う。始はより一般的に一
様構造をテーマに集中セミナーをやる予定であったが、この部分
の素養がないと、何が問題なのかが分かりにくいと思われる。最
後に距離空間の根源的な性質であるBaire Categorie定理を扱う。
多変数関数のHartogsの定理や、Banach－Stainhausの一様有界性
原理、いたるところ微分不能な連続関数の存在など、微妙な問題
の根拠となる、Hahn-Banachと並ぶ根源的な定理として学んでおきたい。
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項目
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＜１＞ ３つの一様位相的性質
（１） 写像の一様連続性
（２） 完備距離空間
（３） 全有界距離空間
＜２＞ コンパクト距離空間
（１） コンパクト・完備・全有界
（２） ユーグリッド空間のコンパクト集合
（３） 点列コンパクト
（４） コンパクト距離空間上の連続関数環
＜３＞ BaireのCategorie定理
（１） Categorie 定理の定式化
（２） 幾つかの応用
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日時
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１月１０日（土） １４：００～１９：００
１月１１日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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▲目次へもどる
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秋学期講座（２００８年度）
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| 講座名 |
多変数関数論特論 多重劣調和関数（MA集中）
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内容
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凸集合と凸関数の関係のパラレルが，擬凸集合と多重劣調和関数である。この場合、
線型写像に対応するのが、正則関数（調和関数）である。凸関数と同様に幾何学的に豊富な性質を持っている。
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展望
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この言葉の準備の下に、前世紀半ばまでに、OKAその他により解決された多変数関数論の３大問題を定式化し、
多重劣調和関数を用いて定式化される擬凸領域でのCauchy－Riemann方程式の解の存在定理を２乗可積分
微分形式のHilbert空間で解くというのが、Hoelmanderの教科書の核心である。（第４章）。
関数解析の基礎知識の良い演習にもなるので、そこまでは、いずれご案内したいと考えている。
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項目
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（１）劣調和関数と多重劣調和関数
（２）位相的解析的補助手段
１）Friedlichs軟化子
２）単位の分解
（３）多重劣調和関数の近似列
（４）多重劣調和超関数
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日時
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１１月３日（文化の日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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参加料
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１０，０００円
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講座名
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ＩＡ．解析教程Ⅱ
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ＩＢ．複素関数論Ⅱ
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内容
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I.F、I.Dと並び最も基本的、かつ重要な講座でどの方向に進むにせよ必須の講座である。今回は、解析関数の発見から始まり、
微積分の基礎公式の発見までである。微積分もわからないで代数的な方法、位相的な方法の真の力を思い知るような豊かな対象
に出会うことは難しい。本講座は微積分の漫然たる知識の羅列ではない。幾つかの基礎理論が生まれてきた現場に立ったつもりで、
微積分の理論を18世紀的精神で再構成していく。無論、実際的な意味では、初級レベル終了後現代解析を学びなおすべきである。
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複素微分・実微分・正則性・複素線積分を過度の厳密さは避けつつ明快に論じる。微分形式の概念や、微分作用素等の取り扱い、
ポアンカレカリキュラスなどは初等的な解析学の教科書（Cartanでさえ！）のように天下りな方針はとらず、モダンかつ幾何学的な
定式化にしたがっている。次期はCauchyの積分公式（局所理論）とその応用である。
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項目
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（１） 冪級数の発見と初等関数
（２） 微分法再論
（３） 定積分と微積分の基本定理
（４） 微積分の基礎公式
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（１） 複素微分
（２） 正則関数
（３） 実微分と複素微分 Cauchy－Riemann方程式
（４） 複素数値関数の積分
（５） 複素線積分
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日付
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９／２８（日）、
１０／１２（日）
１０／２６（日）、
１１／９（日）
１１／２３（日）、
１２／７（日）
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９／２０（土）、
１０／４（土）
１０／１８（土）、
１１／１（土）
１１／１５（土）、
１１／２９（土）
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時間
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１１：００－１３：００
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＩＣ．確率論および統計学の数学的基礎概論
今学期は休講します。
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ＩＤ．初等線形代数と微積分Ⅱ
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内容
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Ｉ．Ｃの開講、今期は見合わせます。同じ時間帯に１０月半ばより解析・代数あるいは応用系のトピックスを考えています。
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今期は、一般次元のEuclid空間上の微積分の理論の中心になる部分である。幾何学的な行列式の理論や置換群の表現、
Gram行列などの美しいトピックスが登場する。次回は、Euclid空間上の微積分の展開である。
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項目
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（１） 写像の微分法
（２） 行列式の幾何学的定義
（３） 線型変換の行列式・sgn 再論
（４） 領域上の積分
（５） Jacobi行列式と変数変換公式
（６） Gram行列・Gram行列式・面積分
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日付
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９／２１（日）、
１０／５（日）
１０／１９（日）、
１１／２（日）
１１／１６（日）、
１１／３０（日）
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時間
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１１：００－１３：００
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講座名
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ＩＥ． Lesbegue積分と測度論を読む
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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内容
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会員の提案により誕生した講座です。現代解析の最も基本的素養です。Lebesgue積分と測度論の基礎を1年かけて丁寧に扱います。
材料と取り扱いは、小谷真一 ［測度と確率１］岩波講座 現代数学の基礎に従う予定です。比較的丁寧に初心者向けに書かれて
いるので、初級程度の素養がある方の解析、アドバンストコースとしてお勧めです。
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始に意識的に学ぶことの少ない∑の用法を、多重添え字の場合を中心に、応用練習として同じ対象に異なった和の束をすることに
より様々な表現が得られることを実践的に学ぶ。数学的帰納法も状況に応じて、様々な、バリエーションを使いこなすことを学ぶ。
（２）、（３）で扱うのは理論としての集合論ではない。記述としての、集合写像の取り扱いに習熟することが狙い。最後に応用
練習として、変換の半群、群を扱う。
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項目
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（１） 測度の概念
（２） 可測関数
（３） 単関数の代数と積分
（４） 積分の定義と基礎的な性質
測度の拡張と構成へ続く
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（１） Σの用法と数学的帰納法
（２） 集合の代数
（３） 写像の概念・像と原像
（４） 代数語事始
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日付
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１０／３（金）、
１０／１７（金）
１０／３１（金）、
１１／１４（金）
１１／２８（金）、
１２／１２（金）
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９／２７（土）、
１０／１１（土）
１０／２５（土）、
１１／８（土）
１１／２２（土）、
１２／６（土）
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時間
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１８：３０－２０：３０
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１７：００－１９：００
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講座名
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ＥＡ． 解析学と抽象位相の基礎Ⅱ
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Ｇ． 抽象線形代数特論
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内容
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一見単純だが、理解しにくい、相対位相と部分空間の理解から始める。線形空間における線型部分空間同様、見かけ以上に
強力な概念である。連結性は局所定数関数による基礎付けから出発する。この方が解析学との結びつきが明瞭だからである。
扱うのは標準的な内容である。コンパクト性はここでは一様構造にかわらぬ部分のみ扱う。ネットによる定式かも行う。
一様構造・全有界・完備性などは集中で扱う予定である。
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線型変換の分類と標準形の意味を構造的に理解したい。ここでは実効的な計算法は取り扱わない。この手の標準形は，
しばしば何故にという問いかけなしに、行き当たりばったりの式変形として扱われている。事の本質に無関係な計算
技巧や説明に多くのページを費やす文献が多い。私たちは、抽象線型代数の力を実感することが出来るであろう
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項目
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＜０＞相対位相・部分空間
＜１＞連結性
（１）局所定数関数
（２）連結性の基本的性質
（３）Euclid空間の連結開集合
（４） 連結成分
＜２＞コンパクト
（１） Heine-Borelの性質・有限交差性
（２） コンパクト性についての基本的性質
（３） コンパクト集合上の連続写像
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（０） 準備
１） 線型変換の代数
２） 多項式の補題
３） 最小多項式と固有値
（１） 線型変換の分解
１） 不変部分空間
２） 既約成分への直和分解
（２） 標準形
１） 標準の概念
２） Jordan標準形
（３） 例と演習
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日付
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９／２８（日） 講義報告、
１０／１２（日）講義報告
１０／２６（日）、
１１／９（日）
１１／２３（日）、
１２／７（日）
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９／２１（日）、
１０／５（日）
１０／１９（日）、
１１／２（日）
１１／１６（日）、
１１／３０（日）
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時間
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１４：００－１６：３０
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１４：００－１６：３０
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講座名
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ＭＡ． ヘルマンダーの複素解析学を読むⅡ
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ＭＢ． 線形作用素の理論入門Ⅱ
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内容
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第2章2.5 -2.7を読みます。そのほかにsubharmonic functionについての補充が入ります。
この部分はページ数の見かけより大変な部分です。
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TをBanach空間E上の作用素とする。Tの構造を知りたい。Eが有限次元ならば、最小多項式の因数分解により完全に
決定してしまう。無限次元では、そうは行かないが、T(λ)＝λI－Tの逆変換に注目する事によって、
有限次元の場合を含む理論を作ることが出来る。T(λ)が逆変換を持ち有界であるときこれをTのリゾルベントR（λ；T）
と言い、Tのリゾルベントが存在する複素平面上の集合をリゾルベント集合ρ（T）という。重要な点はρ（T）上の関数、
としてTのリゾルベントがE値正則関数になる事である。そこでBanach空間値関数の微積分から始めよう。
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項目
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（０） 基礎的な事実
（１） 正則領域と正則凸性
（２） Subharmonic functions
（３） Plurisubharmonic functionsとBergman核関数
（４） 擬凸領域
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（０） Neumann級数
（１） Banach値関数の微積分
１） 連続関数の積分
２） 微分可能性
３） 作用素の強微分
４） 正則関数
（２） リゾルベントとスペクトル
１） 基本概念
２） リゾルベント方程式と正則性
３） 擬リゾルベント
４） スペクトル半径公式
（３） 演習と例
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日付
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９／２７（土）、
１０／１１（土）
１０／２５（土）、
１１／８（土）
１１／２２（土）、
１２／６（土）
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９／２０（土） 講義報告、
１０／４（土）
１０／１８（土）、
１１／１（土）
１１／１５（土）、
１１／２９（土）
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時間
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１４：００－１６：００
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１４：００－１６：００
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講座名
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H.Cartanの複素関数論を読む
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内容
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主に第2章 正則関数・Cauchyの積分を読む。項目を見て判るようにこの部分は極めて重要度の高い部分である。
Cauchy流複素関数論の解析的―位相的道具の準備である。したがって若干、今までと方針を変えてじっくり学ぶ
予定である。複素微分形式や複素微分の深い理解についてはI.B講座の関数論を活用されたい。
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項目
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（０）解析関数
１）解析性の判定
２）解析接続の原理
３）解析関数の零点
（１）線積分
１）微分形式の線積分
２）微分形式の原始関数
３）Green-Riemannの公式
４）閉形式
５）一価でない原始関数
６）ホモトピー
７）単連結領域
８）閉路の指数
※正則関数基本的諸定理（２）に続く
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日付
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９／２４（水）、
１０／８（水）
１０／２２（水）、
１１／５（水）
１１／１９（水）、
７／２３（水）
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時間
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１９：００－２０：３０
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▲目次へもどる
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夏季集中セミナー（２００８年度）
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| 講座名 |
解析学とは何か(１７世紀解析学から１９世紀解析学へ)
多項式補間と、剰余の評価をめぐって（入門・初級）
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内容
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解析学の歴史は17世紀の始に、自然現象を特徴付ける基本的な量を見出し、
その量の間に成立する関係を数学的モデルにより理論的に研究し、得られた結
果を実験することにより検証するという方法論をGalileo Galilei が提唱した
ときから始まりました。Galileiがそう述べたとき、関数はもとより、私たちが、
当たり前のように用いている座標空間の概念ですらなかったのです。考えてみる
と、これは大変なことで、それまで、目の前に、いつでもありながら、誰も、見
ることも聞くことも出来なかったことを、発見したのです。この驚きと言うか、
ときめくような、気持がきっかけになって解析学と言う学問が、どのように生まれ、
どのように育ってきたかを、多項式補間というトピックスを通して、お話してみよ
うと思いました。多項式補間は自然現象の解析の手段として解析学の歴史の、尤も
初期に現れ、計算手段の発達によって現在でも発達中で重要さを失っていません。
例えば、グーグルをみると、６万件近い関連するインターネット情報が出てきます。
(因みに数学工房は、この項目では６０番目ぐらいです。)
尚この内容にほぼ平行な、記事を雑誌「現代数学」８月号に書きましたので、
宜しければ、参考にしてください。
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項目
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[２] 冪級数展開の発見とTaylor型補間
（１） 一点での補間
（２） 微分法との関係
（３） 剰余付きTaylor公式の発見
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[３] Newton-Hermite型補間法
（０）線型代数の視点から
（１） Newton-Hermite型補間。
（２） Rolleの定理とRolleの定理の一般化
（３） Newton-Hermite補間のLagrange剰余
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日時
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８月２日（土） １４：００～１８：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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参加料
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会員８，０００円 （学生７，０００円）
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| 講座名 |
現代数学演習 形式冪級数講義（初・中級）
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内容
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複素関数論の独特の魅力は、局所的な代数計算と大域的な積分の評価と計算の結びつき、
そして幾何学の反映である。その鍵のひとつが正則関数は各点の近傍で冪級数展開でき、
その関数の全ての情報がある意味で、冪級数の中に封じ込められていると言うことです。
関数の冪級数展開と言う古典的な主題だけに限っても、形式冪級数は有用なのですが、
このような現象は、古典的な問題の枠を超えて様々なところに表れてきます。例えば、
可換環なら、スカラー値の準同型を点とみて、対象の環を関数の環と見ることが出来、
関数としての解析性、局所的挙動を考えることが可能になります。
形式冪級数はそのようなわけで様々な領域に姿を変えて表れてきます。
私の中にその様々な諸相を、応用を眼目に、統一的に纏めたノートを一度作っておきたい
と言う気持ちが生まれました。これは一連のシリーズの１です。
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項目
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（１）定義
（２）位数
（３）冪級数の和の一般化
（４）多項式環の埋め込み
（５）単元
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（６）形式冪級数の導関数
（７）形式冪級数の高階微分
（８）合成の高階微分と形式的逆関数定理
（９）数列空間からの３つの同型
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日時
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８月３日（日） １０：００～１６：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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参加料
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会員１０，０００円 （学生８，０００円）
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| 講座名 |
線型作用素の基礎理論
共役空間・共役作用素 (中級)
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内容
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通常の有限次元の線型代数でも経験したと思いますが、線型写像Tの性質を知るには、
そのアジョイントの性質を知ることが重要です線型空間の特性は双対とペアーで理解
すべきなのです。無限次元になるとさらに位相が絡んで興味深いことが起きてきます。
超関数の概念も双対性の応用のひとつです。
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項目
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（１）有界線型形式と双対空間
（２）Rieszの表現定理とHilbert空間の双対
（３）Hahn-Banachの定理
（４）共役作用素
（５）第２共役空間
（６）弱収束・汎弱収束
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日時
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８月９日（土） １４：００～１８：００，
８月１０日（日） １０：００～１６：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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参加料
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会員１６，０００円 （学生１２，０００円） 非会員２０，０００円
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| 講座名 |
速習線型代数集中１
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内容
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線型代数通年コースの第二期線型写像と線型変換に対応する短縮コースです。
秋学期の標準形の準備を兼ねています。２つの集中セミナーの形に纏めました。
もともと速修コース参加者のために設けられていますが、それ以外の方でも、
復習、標準形へのウォームアップになどのご利用ください。
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項目
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（１）重ねあわせ原理・線型写像
（２）線型写像の基本定理
（３）線型写像の線型空間・線型変換の代数
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日時
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８月１６日（土） １４：００～１９：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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参加料
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会員１０，０００円 （学生８，０００円） 非会員１５，０００円
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| 講座名 |
H.Cartanの複素関数論演習(初級・中級)
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内容
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H.Cartan複素関数論（岩波書店 高橋礼二訳）の２１ｐ－４３ｐよりトピックスと
読みにくいところを選んで講義します。練習問題からも題材を選んで解説する。
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項目
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＄３．指数関数と対数関数
＄４．一実変数または複素変数の関数
練習問題
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日時
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８月１７日（日） １１：００～１７：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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参加料
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会員１０，０００円 （学生８，０００円） 非会員１５，０００円
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| 講座名 |
代数学・解析学特論
Mikusinski演算子法入門（入門・初級）
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内容
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整域や商体といった概念が、整数と有理数、多項式環と有理関数体というものたちを
抽象化したもの以上なのか。単に概念の整理に便利なだけではないかと言う疑念をお
持ちの皆さんには、目から鱗が落ちるような創造的な例である。代数的方法の強力さ
をじっくり味わって欲しい。
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項目
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（１）連続関数のコンボリュウション代数
（２）Titchmarschの定理
（３）整域・商体
（４）コンボリュウション代数の商体としての演算子代数
（５）演算子法の展開
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日時
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８月２３日（土） １４：００～１８：００，
８月２４日（日） １０：００～１６：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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参加料
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会員１６，０００円 （学生１２，０００円） 非会員２０，０００円
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| 講座名 |
速習線型代数集中２
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内容
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線型代数通年コースの第二期線型写像と線型変換に対応する短縮コースです。
秋学期の標準形の準備を兼ねています。２つの集中セミナーの形に纏めました。
もともと速修コース参加者のために設けられていますが、それ以外の方でも、
復習、標準形へのウォームアップになどのご利用ください。
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項目
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（４）双対空間
（５）代数的アジョイント
（６）行列表現Ⅰ
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日時
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９月１４日（日） １１：００～１６：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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参加料
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会員１０，０００円 （学生８，０００円） 非会員１５，０００円
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| 講座名 |
H.Cartanの複素関数論を読む(初級・中級)
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内容
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モダンではあるが、多変数関数論のドイツ学派のにおいもするバランスの良い教科書、
１回当たり平均６ページの進度。教科書は、古書でまだ手に入るようです。予習・復習を前提にします。
読みにくい場所、問題にしていることは何か、背景等にと言う点に焦点を絞り解説します。
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日時
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８月６日（水） １９：００～２０：３０、
８月２７日（水） １９：００～２０：３０
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場所
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数学工房 駒込教室
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参加料
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会員８，０００円 学生７，０００円 （２回分）
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夏学期講座（２００８年度）
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ＩＡ．入門解析教程 無限小解析以前
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ＩＢ．複素関数論概論
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［内容］
数学工房の尤も基本的な講座のひとつです。数学の歴史の流れから
幾つかの材料を題材に、想像力を働かせて、その数学が生まれてくる現場に立会い、
解析学とは何かを考えていきます。
今回は、数学的帰納法の様々な用法と非順序和からはじめて、２項係数の発見、
そして１２世紀のFibonacciの発見をひとつの仮説に基づいて再発見する。
続くのは、ルネッサンスの代数だが、ここは飛ばして、補間と差分、無限小解析の
発見前夜まで。Taylorの公式もこの流れの中で発見された。Newtonを頂点にした
多項式補間に焦点を絞る。このあたりの話は、計算手段の発達により、現代でも、
新しい意味で発展を遂げている。基礎理論は線型代数･関数解析の意味で読み直されている。
次のタームは、無限小解析の発見と解析関数の概念と新しい関数たち
［項目］
（１） イントロダクション 総和と数学的帰納法
（２） 2項係数の発見
（３） Fibonacci
（４） 多項式補間・差分（解析学事始）
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［内容］
複素関数論の特徴の理解を題材にトポロジーと解析の相互作用を丁寧に見ていく。
(１)は付録である、（２）、（３）では主に完備norm空間としての、複素平面の解析の基礎を取り扱う。
（４）以降は一般位相との関係に重点がおかれる。続編の骨格は[理系への数学]へ執筆記事による。
［項目］
（１） イントロダクション 複素数系・複素平面
（２） 列・級数
（３） 連続関数・関数項の級数・冪級数
（４） Cauchy－Riemann方程式
（５） 正則関数
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［日付］
５／１８（日）、
６／１（日）
６／１５（日）、
６／２９（日）
７／１３（日）、
７／２７（日）
［時間］１１：００－１３：００
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［日付］
５／１０（土）、
５／２４（土）
６／７（土）、
６／２１（土）
７／５（土）、
７／１９（土）
［時間］１７：００－１９：００
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ＩＣ．確率・統計の数学的基礎
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ＩＤ．微積分と初等線形代数Ⅰ
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［内容］
理論の枠組みは明確に、意味を説明するが、その仕組みが理論の理解に不可欠な場合を除き証明はしない。
確率空間を作ったり、様々な分布の関係を求めたり、特性関数を求めたり、素材を自由に扱うための手習い
のつもりである。応用分野ではこけおどしの道具が扱われることが多い。そのような目くらましに騙されぬ
感性を磨きたい。１年間で、基本的な背景を理解してもらうつもりである。
［項目］
Ⅰ 確率論の枠組み
（１）標本空間・事象の代数
（２）確率計算の基礎公式、条件付確率
（３）典型的な確率空間
（４）確率変数と確率分布
（５）離散分布
（６）絶対連続分布
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［内容］
微積分とは局所的にはEuclid空間の初等図形の計量に他ならない。微分法は、写像を定義域の
与えられた点の近くで、線形写像で近似することである。初等線形代数を学びつつその概念を利用して、
任意次元のEuclid空間の初等幾何を展開し任意次元の空間に属する基本図形たちそれ自体の空間が
また計量構造を持つ、数学特有の入れ子の構造を理解する。その結果を用いて、曲面上の積分、
高階の微分、多変数のTaylor公式あたりまでを論ずる。
［項目］
（１） 数ベクトル空間
（２） 内積・直交性
（３） Euclid空間の初等幾何
（４） 線形部分空間、Span、商空間
（５） 行列と線型写像
（６） 随伴と写像の微分法
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［日付］
５／１６（金）、
５／３０（金）
６／２０（金）、
７／４（金）
７／２５（金）
［時間］１８：３０－２０：３０
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［日付］
５／１１（日）、
５／２５（日）
６／８（日）、
６／２２（日） 講義報告
７／６（日） 講義報告、
７／２０（日）
［時間］１１：００－１３：００
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ＩＥ． 数学書を読もう
今学期は休講します。
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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I.Eはお休みしますが、纏まった数学書、論文を独力で読みたい方のためには、
余裕があればOne Point講座の時間帯を利用してマンツウマンの形で、サポート
いたします。無論グループでも対応いたします。概略と疑問点をあらかじめお
送りいただくか、話していただいて、問題点を解決していきます。あるいは、
演習をアドバイスします。内容にもよりますが,基本料金は￥１５００/時間 です。
ご希望の方はご相談ください。
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［内容］
始に意識的に学ぶことの少ない∑の用法を、多重添え字の場合を中心に、応用練習として同じ対象に
異なった和の束をすることにより様々な表現が得られることを実践的に学ぶ。数学的帰納法も状況に応じて、
様々な、バリエーションを使いこなすことを学ぶ。（２）、（３）で扱うのは理論としての集合論ではない。
記述としての、集合写像の取り扱いに習熟することが狙い。
［項目］
（１） Σ（SIGUMA）の用法と、数学的帰納法の様々な用法
（２） 集合
（３） 写像
（４） トピックス（代数語入門）
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［日付］
［時間］
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［日付］
５／１７（土）、
５／３１（土）
６／１４（土）、
６／２８（土）
７／１２（土）、
７／２６（土）
［時間］１７：００－１９：００
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ＥＡ． 一般位相と解析学
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Ｇ． 抽象線型代数速習コース
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［内容］
抽象位相の基礎理論の概略を、道具として使うことを念頭に理解する。したがって、専門分野としての、
位相空間論には深入りしない。
今回は、若干抽象位相の材料の取り上げ方を変える。したがって、途中で、テキストの内容を変更する部分
が出てきます。例年のコースでは、意識的に避けている、内容も含めて取り上げる。実際の局面で位相が
どのように用いられるかは、IB 複素関数論概論 M.Aの多変数関数論 M.B 作用素論などを通して学んでください。
［項目］
（１） 開集合導入の契機、距離的ではない、位相空間、疑距離
（２） 近傍系と点の位相的分類
（３） 有向集合とネット
（４） 連続写像・位相同型 開写像・閉写像
（５） コンパクト性・連結性Ⅰ
（６） 位相の比較、位相の階層。位相の生成
（７） 位相の基底、準基底
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［内容］
レクチャーノートをあらかじめ読んでおいていただくという条件で、
夏学期と夏休み期間の 集中講座を利用して、多少演習時間が少なく
なりますが、内積空間を除く抽象線型代数の主要部を学びます。
秋からは標準形に入る予定です。
［項目］
（１） 線型空間・線型部分空間
（２） 典型モデル
（３） Span、線型独立・従属・次元
（４） 総合演習 形式冪級数環・多項式環の線型空間としての構造
（５） 重ねあわせ原理・線型写像
（６） 線型写像の基本定理、存在定理と構成定理。Image－Kernel定理
（７） 線型写像の線型空間・線型変換の代数
（８） 代数的Adjoint
（９） 行列表現Ⅰ
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［日付］
５／１８（日） 講義報告、
６／１（日） 講義報告
６／１５（日） 講義報告、
６／２９（日） 講義報告
７／１３（日） 講義報告、
７／２７（日） 講義報告
［時間］１４：００－１６：３０
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［日付］
５／１１（日）、
５／２５（日）
６／８（日）、
６／２２（日）
７／６（日）、
７／２０（日）
［時間］１４：００－１６：３０
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ＭＡ． Hoermander多変数複素解析を読む
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ＭＢ． 関数解析学 線型作用素の理論
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［内容］
Hoermanderの多変数複素解析学の第2章を読みます。一変数複素関数論にパラレルな部分である、
しかし既にこの部分でさえもHartogsの定理のような多変数複素関数論特有の性格が現れてくる。
今回はあまり細部に立ち入らないで定理の意味を考える。概念をきっちり組み立てていく、
本来の多変数関数論に比べると、多少、構造的理解が粗っぽく見えるのは私(桑野)の偏見だろうか？ |
［内容］
作用素の理論の概略を材料に、解析・代数・位相の総合演習をすることが狙いである。Banach空間上の
作用素から、始める。今期は共役空間の概念や弱位相、汎弱位相等の取り扱いはしない。
［項目］
（０） イントロダクション
（１） 有界線型作用素
（２） 一般の線型作用素の概念と例
（３） 一様有界性の原理
（４） 開写像定理・閉グラフ定理
（５） Neumann級数とレゾルベント・スペクトル
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［日付］
５／１７（土）講義報告、
５／３１（土）講義報告
６／１４（土）講義報告、
６／２８（土）講義報告
７／１２（土）講義報告、
７／２６（土）講義報告
［時間］１４：００－１６：００
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［日付］
５／１０（土） 講義報告、
５／２４（土） 講義報告
６／７（土） 講義報告、
６／２１（土） 講義報告
７／５（土） 講義報告、
７／１９（土） 講義報告
［時間］１４：００－１６：００
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オプション講座
H.Cartanの複素関数論を読む
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［内容］
モダンではあるが、多変数関数論のドイツ学派のにおいもするバランスの良い教科書、
１回当たり平均６ページの進度。教科書は、古書でまだ手に入るようです。予習・復習を前提にします。
読みにくい場所、問題にしていることは何か、背景等にと言う点に焦点を絞り解説します。
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［日付］
５／１４（水）講義報告、
５／２８（水）講義報告
６／１１（水）講義報告、
６／２５（水）
７／９（水） 、
７／２３（水）
［時間］１９：３０－２１：００
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春季集中セミナー（２００７年度）
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| 講座名 |
数学工房駒込移転１周年特別企画 講演とお茶の会
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テーマ
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第１部 「代数学の基本定理を巡って」
講師 諏訪紀幸 （中央大学 理工）
第２部 軽食とお茶（講師を交えての、立食式数学懇親会です。）
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内容
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Liouville の定理を用いた証明と高校数学の範囲で収まる証明を読み砕きながら、
関連する事項を巡り歩くという趣向を考えています。特別講演というよりは対話を
通じて数学を楽しんでいただければと思います。
１月の懇親会の２次会で諏訪先生を囲むグループで盛り上がっていたテーマです。いつまでも話が尽きぬようなので、
それなら特別企画でやってくださいと桑野からお願いしたところ、ご快諾いただき、今回の催しになりました。
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日時
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４月１３日（日）１３：３０－１６：３０
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場所
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数学工房 駒込教室
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| 講座名 |
距離空間と抽象位相とは、何だろうか
レベル 入門・初級
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内容
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対象を分類し、何らかの位置関係（類縁関係）を定めるというのは、
古来学問の基本である。無論、それに精密な、言葉を与えられるよう
になるには、Cantorの集合論の創造を待たねばならない。このことに
よって、単なる配列の定性的な記述が、幾何学化されたのである。
今回の、集中では、距離空間とさらに、より微妙な表現である位相の
言葉の使い方に、典型的な例を通して、学ぶことにする。
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項目
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０） 距離空間・距離関数
１） 位相空間の概念
２） 距離空間の位相
３） 連続性
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日時
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４月１９日（土） １４：００～１９：００，
４月２０日（日） １０：００～１６：００
講義報告
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場所
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数学工房 駒込教室
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| 講座名 |
Matrix Algebra 特異値分解と一般化逆
レベル 初級・中級
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内容
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線形代数の、実際的な応用の最も重要な部分である。例えば多変量統計学の
主要部は分散共分散行列の解析である。今回何人かの会員の要望により
特異値・特異ベクトルの、幾何学的な理論を出発点に、diadic expansion、
一般化逆 とその応用を扱う。
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項目
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０） 準備
０．１．Adjoint
０．２．対称変換と正射影
１） 線形写像の特異値と特異分解
１．１．線形写像の特異値分解（幾何学的理論）
１．２．行列のdiadic expansion とS.V.D分解
２） 線形写像のペンローズインバース
２．１．線形写像の構造的一般化逆
２．２．行列のペンローズインバース
３） 双線形形式の最大原理
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日時
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４月２６日（土） １４：００～１９：００，
４月２７日（日） １０：００～１６：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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| 講座名 |
多項式補間とTaylor級数を廻って～解析学はどのようにして生まれたのか。～
名古屋公開講座
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内容
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補間法とは、与えられたデータから、現象をよく近似する関数を決定する尤も基本的な
アイデアです。数学によって自然を探求するために微積分の発見以前に発生しNewtonによって
基礎が確立されました。古い数学と思われるかもしれませんがそんなことはありません。
現代でも、実際の応用の世界では、コンピューターの発達により、この方法は一層-改良され、
重要さを増しています。そして、この考え方の無限小化の中でTaylor公式は発見されたと
言われています。今回は皆さんが学ぶ微積分の背景と諸科学で解析学がどのように使われるかを、
歴史を遡って理解していきましょう。
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項目
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（１）多項式補間の考え方
（２）Taylor型補間からベキ級数へ
（３）解析学の基礎付け
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日時
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４月２９日（祝）
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場所
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４６６－００２７ 名古屋市昭和区阿由知通５－５ SEA科学教育研究会
TeL０５２－８５２－５５７８ FAX ０５２－８５２－６０４５ お問い合わせは直接SEAまで。
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共催
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SEA科学教育研究会
詳細についてはこちらをご覧ください。
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| 講座名 |
線形代数・解析学特論 行列・作用素の微積分
レベル 入門・初級
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内容
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Euclid空間上では、微積分の理論が成立する。ｍ×ｎ行列の空間上でも極自然に、
微積分の一般論が成立する。微分も、積分も、級数への展開、様々な行列値関数
の性質などを取り扱う。
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項目
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１） 行列空間の作用素ノルム 行列値列の級数論
２） 行列値関数の微分法
３） 行列値関数の積分
４） 行列値関数のクラス
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日時
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５月３日（土） １４：００～１９：００，
５月４日（日） １０：００～１６：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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| 講座名 |
対称式と調和多項式
レベル フリー
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内容
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群論的解析学の最も初等的な例として、対称群の作用の不変式、すなわち対称式
と対称群で生成される、微分作用素環の定める斉次微分方程式の解、調和多項式
との関係を取り上げる。Euclid空間の調和関数と比較しながら学ぶと、いろいろ
発見があると思います。
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項目
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１） 対称群と不変式環
２） 基本対称式と対称式の不変定理
３） 調和多項式の概念と基本的な性質
４） 調和多項式の平均値定理
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日時
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５月５日（祝） １３：００～１８：００
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場所
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数学工房 駒込教室
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春学期講座（２００７年度）
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ＩＡ．解析教程Ⅴ
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ＩＢ．Fourier変換と関数空間
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（０）いくつかの問題
（１）Limes再論
（２）Cauchyの定式化（Cauchy列は、収束する）
（３）Cauchyの方法による基本定理の証明
（４）一様連続性と連続関数の積分可能性
（５）演習
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［１］Fourier変換の概念
（１）急減少関数のクラスの構造
（２）等長変換としてのFourier変換
（３）Fourier変換の固有関数としてのHermite多項
式
（４）2乗可積分関数の空間のFourier変換
（５）特論
（６）可積分関数の空間のFourier変換
（７）Fourier－Stieltjes積分とBochnerの定理
［２］関数解析の言葉より
（１）ノルム空間・Banach空間
（２）ノルム空間上の線形作用素
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［日付］
２／１０（日）、 ２／２４（日）
３／９（日）、 ３／２３（日）
４／６（日）
［時間］１１：００－１３：００
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［日付］
１／１９（土） 講義報告、
２／２（土） 講義報告
２／１６（土） 講義報告、
３／１（土） 講義報告
３／１５（土） 講義報告、
３／２９（土） 講義報告
［時間］１４：００－１６：００
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ＩＣ．確率測度概論
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ＩＤ．初等線形代数と微積分
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［１］確率変数の特性量
（１）期待値とStieltjes積分
（２）様々な特性量
（３）共分散・相関、分散共分散行列
［２］分布の特性関数
（１）モーメント母関数
（２）複素期待値
（３）特性関数
［３］分布の収束
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［１］領域上の積分
（１）領域と領域の体積
（２）領域上の積分
（３）積分の基本的な性質
（４）逐次積分
［２］変数変換
（１）Jacobi行列
（２）体積の変換公式
（３）変数変換公式
［３］曲面の面積
（１）Gram行列
（２）ｋ次元微小面積の変換公式
（３）曲面上の積分
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［日付］
２／８（金）、 ２／２２（金）
３／７（金）、 ３／２１（金）
４／４（金）
［時間］１８：３０－２０：３０
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［日付］
２／３（日） 講義報告
、 ２／１７（日） 講義報告
３／２（日）、 ３／１６（日）
３／３０（日）
［時間］１１：００－１３：００
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ＩＥ． 数学書を読もう
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ＩＦ． 数学の基本語彙と文法
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前期は多項式の算法を材料にした、今期は複素数を材料に、
本の読み方の演習をする予定である。但し、参加者との相談で
取り上げる材料を変更する可能性があります。
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（１）Σ記号の用法
（２）数学的帰納法の様々なかたち
（３）集合族の代数
（４）写像の概念
（５）写像の像と原像
（６）演習
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［日付］
２／１４（木）、 ２／２８（木）
３／１３（木）、 ３／２７（木）
［時間］１９：００－２１：００
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［日付］
２／９（土）、 ２／２３（土）
３／８（土）、 ３／２２（土）
４／５（土）
［時間］１４：００－１６：００
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ＥＡ． 位相と解析序説Ⅲ
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Ｇ． 抽象線形代数 内積空間と作用素のクラス
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［１］連続写像の空間
（１）Euclid空間上の開集合上の連続写像の空間の自
然な距離
（２）正規族、連続写像の空間における相対コンパクト
（３）Arzeraの定理
［２］線形空間の位相
（１）局所凸空間
（２）有向系と無限和
（３）直和
［３］線形作用素
（１）線形写像・線形形式
（２）Banach環
（３）スペクトル
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［１］内積空間の幾何学
（１）内積空間の概念と典型モデル
（２）直交性
（３）正射影補題、Cauchy－Schwartzの不等式
（４）正射影定理・正規直交基底の存在
（５）近似定理
［２］線形写像のクラス
（１）線形形式の表現定理と双対空間の内積
（２）アジョイントと代数的アジョイント
（３）対称変換・交代変換・等長変換
（４）正射影の代数
（５）対称変換の最大原理
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［日付］
１／２７（日） 講義報告、
２／１０（日） 講義報告
２／２４（日） 講義報告、
３／９（日） 講義報告
３／２３（日） 講義報告、
４／６（日） 講義報告
［時間］１４：３０－１７：３０
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［日付］
２／３（日） 講義報告
、２／１７（日）
３／２（日）、 ３／１６（日）
３／３０（日）
［時間］１４：３０－１７：３０
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ＭＡ． Hoermanderの多変数複素解析入門を読む
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ＭＢ． テンソル場の概念と外微分
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０７年秋学期の続き、今回は、有理型関数の定義を、多変数でも用いられるやり方で与え、
極と零点の分布についての基礎定理Mittagleffler・Weierstrassの定理を扱う。また、
補助的な関数のクラスとして劣調和関数のクラスを扱います。
（１）Mittaglefflerの定理
（２）Weierstrassの定理
（３）劣調和関数のクラス
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共変テンソルの空間の自然な根拠は、例えば、ベクトル変数・ベクトル値の写像の
高階微分の棲家を捉えようとすれば自ずから明らかであろう。代数的なテンソルの
理論は既に充分に扱った。各点での、テンソル空間を滑らかに貼り合わせた対象が
テンソル場である。
（１）テンソル場の概念
（２）引き戻し
（３）外微分作用素
（４）Poincareの補題
（５）余微分作用素
（６）練習問題
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［日時］
２／１１（月） １４：００－１９：００
３／８（土） １７：００－１９：００
３／２０（木） １４：００－１９：００
４／５（土） １７：００－１９：００
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［日付］
２／２（土）、 ２／１６（土）
３／１（土）、 ３／１５（土）
３／２９（土）
［時間］１７：００－１９：００
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